Простейшие законы распределения случайной величины

а) Равномерное распределения

Если случайная величина с равной вероятностью может принимать значения в области х₁£х£х₂, то такое распределение называют равномерным (рисунок 20.2а,б).

Рисунок 20.2

Аналитически функция распределения плотности вероятности и интегральная функция распределения записываются следующим образом:

(20.7)

Вычисление первого и второго центрального момента по формулам

и

(20.8)

приводит к следующим результатам

(20.9)

Рисунок 20.3

Нормальный закон распределения или закон Гаусса играет важную роль во всех практических приложениях теории вероятностей. На рисунке 20.3а,б соответственно, показаны дифференциальная f(x) и интегральная F(x) функции распределения, которые соответственно записываются:

, где

(20.10)

(20.11)

Последний интеграл не выражается через элементарные функции. Для него введена специальная функция называемая интегралом вероятности или функцией Лапласа, для которой составлены таблицы. Интеграл вероятности обозначают обычно:

(20.12)

Первый начальный и второй центральный моменты, вычисленные по формулам (20.8), для нормального распределения равны:

и

(20.13)

т.е. параметры функции распределения имеют смысл математического ожидания и дисперсии. Для нормального распределения справедливо соотношение

(20.14)

т.е. случайная величина с вероятностью 0,9972 не выходит за пределы 3s. Этот способ оценки возможных значений СВ называют правилом «трех сигм» и часто используют при выборе допусков параметров и других расчетов.

в) Распределение Релея.

При решении радиотехнических задач часто встречаются величины распределенные по закону Релея.

Аналитически, распределение Релея записывается в виде:

(20.15)

График функции f(x) показан на рисунке 20.4.

Рисунок 20.4

Интегральная функция распределения равна

(20.16)

Математическое ожидание СВ распределенной по Релею равно

(20.17)

Второй начальный момент

(20.18)

Дисперсия СВ х имеет значение

(20.19)

Модой функции распределения называют точку, где т.е. точку максимума функции f(x). В данном случае

откуда имеем

т.е.

Таким образом, для релеевского закона в отличие от нормального мода функции распределения не совпадает с положением математического ожидания случайной величины.

В статистической радиотехнике часто используются другие распределения – логорифмически нормальное, гамма распределение, c² – распределение.