Средние показатели в рядах динамики

Изучение тренда включает в себя два основных этапа :

1) Ряд динамики проверяется на наличие тренда

2) Производится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение тренда с экстраполяцией полученных показателей – результатов .

Проверка на наличие тренда в ряду динамики может быть осуществлена по нескольким критериям .

1) Метод средних . Изучаемый ряд динамики разбивается на несколько интервалов (обычно на два) , для каждого из которых определяется средняя величина ( ) . Выдвигается гипотеза о существенном различии средних . Если эта гипотеза принимается , то признается наличие тренда .

2) Фазочастотный критерий знаков первой разности (критерий Валлиса и Мура) . Суть его заключается в следующем : наличие тренда в динамическом ряду утверждается в том случае , если этот ряд не содержит либо содержит в приемлемом количестве фазы – изменение знака разности первого порядка (абсолютного цепного прироста).

3) Критерий Кокса и Стюарта . Весь анализируемый ряд динамики разбивают на три равные по числу уровней группы (в том случае , когда число уровней ряда не делится на три , недостающие уровни надо добавить) и сравнивают между собой уровни первой и последней групп .

4) Метод серий . По этому способу каждый конкретный уровень временного ряда считается принадлежащим к одному из двух типов : например , если уровень ряда меньше медианного значения , то считается , что он имеет тип А , в противном случае – тип В. Теперь последовательность уровней выступает как последовательность типов . В образовавшейся последовательности типов определяется число серий (серия – любая последовательность элементов одинакового типа , с обоих сторон граничащая с элементами другого типа).

Если в ряду динамики общая тенденция к росту или снижению отсутствует , то количество серий является случайной величиной , распределенной приближенно по нормальному закону (для n > 10) . Следовательно , если закономерности в изменениях уровней нет , то случайная величина R оказывается в доверительном интервале

.

Параметр t назначается в соответствии с принятым уровнем доверительной вероятности Р.

Среднее число серий вычисляется по формуле 22 :

. (22)

Среднее квадратическое отклонение числа серий вычисляется по формуле 23 :

. (23)

здесь n -- число уровней ряда .

Выражение для доверительного интервала приобретает вид

Полученные границы доверительного интервала округляют до целых чисел , уменьшая нижнюю границу и увеличивая верхнюю .

Непосредственное выделение трендаможет быть произведено тремя методами .

1) Укрупнение интервалов . Ряд динамики разделяют на некоторое достаточно большое число равных интервалов . Если средние уровни по интервалам не позволяют увидеть тенденцию развития явления , переходят к расчету уровней за большие промежутки времени , увеличивая длину каждого интервала (одновременно уменьшается количество интервалов) .

2) Скользящая средняя . В этом методе исходные уровни ряда заменяются средними величинами , которые получают из данного уровня и нескольких симметрично его окружающих . Целое число уровней , по которым рассчитывается среднее значение , называют интервалом сглаживания . Интервал может быть нечетным (3,5,7 и т.д. точек) или четным (2,4,6 и т.д. точек).

При нечетном сглаживании полученное среднее арифметическое значение закрепляют за серединой расчетного интервала , при четном это делать нельзя . Поэтому при обработке ряда четными интервалами их искусственно делают нечетными , для чего образуют ближайший больший нечетный интервал , но из крайних его уровней берут только 50%.

Недостаток методики сглаживания скользящими средними состоит в условности определения сглаженных уровней для точек в начале и конце ряда . Получают их специальными приемами – расчетом средней арифметической взвешенной . Так , при сглаживании по трем точкам выровненное значение в начале ряда рассчитывается по формуле 24 :

. (24)

Для последней точки расчет симметричен .

При сглаживании по пяти точкам имеем такие уравнения (формулы 25):

(25)

Для последних двух точек ряда расчет сглаженных значений полностью симметричен сглаживанию в двух начальных точках .

Формулы расчета по скользящей средней выглядят , в частности , следующим образом (формула 26):

для 3--членной . (26)

3) Аналитическое выравнивание . Под этим понимают определение основной проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого явления . Развитие предстает перед исследователем как бы в зависимости только от течения времени . В итоге выравнивания временного ряда получают наиболее общий , суммарный , проявляющийся во времени результат действия всех причинных факторов . Отклонение конкретных уровней ряда от уровней , соответствующих общей тенденции , объясняют действием факторов , проявляющихся случайно или циклически . В результате приходят к трендовой модели , выраженной формулой 27:

, (27)

где f(t) – уровень , определяемый тенденцией развития ;

-- случайное и циклическое отклонение от тенденции.

Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости f(t) . На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t) , а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t) выбирают таким образом , чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса .

Чаще всего при выравнивании используются следующий зависимости :

линейная ;

параболическая ;

экспоненциальная

или ).

1) Линейная зависимость выбирается в тех случаях , когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные и цепные приросты , не проявляющие тенденции ни к увеличению , ни к снижению.

2) Параболическая зависимость используется , если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития , но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют .

3) Экспоненциальные зависимости применяются , если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста , темпов прироста , коэффициентов роста) , либо , при отсутствии такого постоянства , -- устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных же темпов роста , цепных коэффициентов роста цепных же коэффициентов или темпов роста и т.д.).

Оценка параметров ( ) осуществляется следующими методами :

1) Методом избранных точек,

2) Методом наименьших расстояний,

3) Методом наименьших квадратов (МНК)

В большинстве расчетов используется метод наименьших квадратов , который обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических уровней от выровненных :

.

Для линейной зависимости ( ) параметр обычно интерпретации не имеет , но иногда его рассматривают , как обобщенный начальный уровень ряда ; -- сила связи , т. е. параметр , показывающий , насколько изменится результат при изменении времени на единицу . Таким образом , можно представить как постоянный теоретический абсолютный прирост .

Построив уравнение регрессии , проводят оценку его надежности . Это делается посредством критерия Фишера (F) . Фактический уровень ( ) , вычисленный по формуле 28, сравнивается с теоретическим (табличным) значением :

, (28)

где k -- число параметров функции , описывающей тенденцию;

n -- число уровней ряда;

Остальные необходимые показатели вычисляются по формулам 29 – 31 :

(29)

(30)

(31)

сравнивается с при степенях свободы и уровне значимости a (обычно a = 0,05). Если > , то уравнение регрессии значимо , то есть построенная модель адекватна фактической временной тенденции.