Системы счисления. Правила перевода числовой информации в различные системы счисления.

Понятие числа является фундаментальным как для ма­тематики, так и для информатики. С числами связано еще одно важное понятие — система счисления.

Система счисления — это способ изображения чисел и соответствующие ему правила действия над числами.

Система счисления - способ наименования и изображение чисел с помощью символов, имеющих определённые количественные значения.

СС бывают непозиционные и позиционные.

Непозиционные СС - от положения знака в записи числа не зависит величина, которую он обозначает. Непозиционными системами пользовались древние египтяне, греки, римляне и некоторые другие народы древности.

До нас дошла римская система записи чисел (римские цифры), которая в некоторых случаях применяется в нумерации (века, тома в собрании сочинений, главы книги). В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы:

IV X L С D М

15 10 50 100 500 1000

Например, число CCXXXII складывается из двух сотен, трех десятков и двух единиц и равно двумстам тридцати двум. В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если слева записана меньшая цифра, а справа — большая, то их значения вычитаются: VI= 5 + 1= 6,a IV=5-1= 4.

MCMXCVII- 1000 + (-100+1000) + (-10 + 100) +5 + 1+ 1= 1997.

Непозиционные системы счисления были более или менее пригодны для выполнения сложения и вычитания, но совсем не удобны при умножении и делении.

Впервые идея позиционной СС возникла в древнем Вавилоне. В позиционной СС значение символа зависит от позиции в числе. Количество используемых цифр называется основаниемпозиционной системы счисления.Система счисления, применяемая в современной мате­матике, является позиционной десятичной системой. Ее основание равно десяти, так как запись любых чисел производится с помощью десяти цифр:

О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Хотя десятичную систему принято называть арабской, но зародилась она в Индии, в V веке. В Европе об этой системе узнали в XII веке из арабских научных трактатов, которые были переведены на латынь. Этим и объясняется название «арабские цифры». Однако широкое распространение в науке и в обиходе десятичная позиционная система получила только в XVI веке. Эта система позволяет легко выполнять любые арифметические вычисления, записывать числа любой величины. Распространение арабской системы дало мощный толчок развитию математики.

Всякое десятичное число можно представить как сумму произведений составляющих его цифр на соответствующие степени десятки. То же самое относится и к десятичным дробям.

26,387 = 2 * 10¹ + 6 * 10°+ 3 * 10^-1 + 8 * 10^-2 + 7 * 10^-3.

Очевидно, число «десять» — не единственно возможное основание позиционной системы. Известный русский мате­матик Н.Н.Лузин так выразился по этому поводу: «Пре­имущества десятичной системы не математические, а зоо­логические. Если бы у нас на руках было не десять пальцев, а восемь, то человечество пользовалось бы восьмеричной системой».

За основание позиционной системы счисления можно принять любое натуральное число большее 1. Упомянутая выше вавилонская система имела основание 60. Следы этой системы сохранились до наших дней в порядке счета единиц времени (1 час = 60 мин, 1 мин = 60 с).

Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n<10 используют n первых арабских цифр, а при n>10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы.

Вот примеры алфавитов нескольких систем:

Основание системы, к которой относится число, обозначается подстрочным индексом к этому числу: 101101₂, 3671₈, 3B8F₁₆.

Кроме упомянутых СС существуют смешанные СС – 2-8, 2-16. Перевод из одной системы в другую осуществляется довольно просто по определенным правилам.