Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

Определение.Числовой ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные члены.

Теорема.Пусть – знакопеременный ряд. Если ряд , составленный из абсолютных величин его членов, сходится, то данный ряд также сходится.

В этом случае знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся.

Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся. Сумму условно сходящегося ряда путём перестановки его членов можно сделать равной любому заданному числу.

Для ответа на вопрос об абсолютной сходимости ряда к ряду можно применять все признаки, используемые для рядов с положительными членами.

Определение.Знакочередующимсяназывается ряд, в котором любые два соседних члена имеют разные знаки, т.е. ряд:

(2)

или

(3)

где все – положительные действительные числа.

Признак Лейбница

Знакочередующийся ряд (2) или (3) сходится, если выполняются условия:

(4)

(абсолютные величины членов ряда монотонно убывают);

(общий член ряда стремится к нулю при ).

Пример 6.Исследовать на сходимость ряд .

Решение. 1. Проверим, сходится ли данный знакопеременный ряд абсолютно. Для этогоисследуем на сходимость ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

Так как

то

Поскольку ряд , являющийся рядом Дирихле с , сходится, то на основании первого признака сравнения, так как сходится больший ряд, то сходится и меньший ряд . А значит, исходный ряд сходится абсолютно.

Пример 7.Исследовать на сходимость ряд .

Решение. 1. Проверим, сходится ли данный ряд абсолютно. Для этогоисследуем на сходимость ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

Сравним данный ряд с рядом Дирихле , который расходится, так как .

Так как

то по второму признаку сравнения ряд также расходится.

Следовательно, исходный ряд не является абсолютно сходящимся.

2. Используя признак Лейбница, выясним, является ли данный знакочередующийся ряд условно сходящимся. Для этого проверим условия (4):

Очевидно, что данное неравенство верно для любого

2) .

Таким образом, для данного знакочередующегося ряда выполняются условия признака Лейбница, откуда следует, что исходный ряд сходится условно.

3.5. Функциональные ряды: основные определения

Определение. Ряд, членами которого являются функции, называется функциональным, т.е. это ряд вида

(5)

Придавая аргументу определенное значение, мы получим числовой ряд.

Определение.Функциональный ряд называется сходящимся в точке , если сходится соответствующий ему числовой ряд .

Определение. Множество всех тех значений , при которых функции определены и функциональный ряд (5) сходится, называется областью сходимости функционального ряда.

Определение. Функциональный ряд называется абсолютно сходящимся в области , если в этой области сходится ряд, составленный из модулей его членов, т.е. сходится ряд .

Определение.Функциональный ряд называется условно сходящимся в области , если в этой области ряд, составленный из модулей его членов, расходится, а сам ряд сходится.

Замечание. Исследуя функциональный ряд на абсолютную сходимость можно применять признаки Даламбера или Коши. Именно, если

или

то для определения области абсолютной сходимости функционального ряда (5) следует решить функциональное неравенство , а для определения области расходимости – функциональное неравенство . При этом для изучения поведения ряда в граничных точках получаемой области, т.е. в точках, описываемых уравнением , требуется исследовать соответствующие числовые ряды, получаемые подстановкой граничных точек в функциональный ряд (5).

Пример 8.Найти область сходимости функционального ряда

Решение.Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда

По признаку Коши

Таким образом, интервал абсолютной сходимости ряда:

;

Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

При получим ряд

который расходится, так как общий член ряда не стремится к нулю, т.е. не выполняется необходимое условие сходимости ряда.

Аналогично, при , получим расходящийся ряд

Следовательно, согласно последнему замечанию

ряд при

Пример 9.Найти область сходимости функционального ряда

Решение. 1) Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Зафиксируем и рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда

Сравним ряд из абсолютных величин с рядом Дирихле , который расходится, т.к. . Применим второй признак сравнения. Для этого вычислим:

Так как получили независящий от и отличный от нуля предел, то при любом расходится и ряд .

Следовательно, ряд при любом не является абсолютно сходящимся рядом.

2) Исследуемый ряд при всех является знакочередующимся рядом. Используя признак Лейбница, выясним, является ли данный ряд условно сходящимся. Для этого проверим условия (4):

а)

Очевидно, что данное неравенство верно для любого и .

б) При всех выполняется

Таким образом, для данного знакочередующегося ряда при любом выполняются условия признака Лейбница. Следовательно, ряд сходится условно при всех .

Степенные ряды

Определение.Степенным рядомназывается функциональный ряд вида

, (6)

где – постоянные числа, называемые коэффициентами ряда.

Если , то степенной ряд примет вид:

(7)

Теорема (Абеля).Если степенной ряд (6) сходится в точке , то он абсолютно сходится в каждой точке , для которой .

Следствие.Если степенной ряд (6) расходится при некотором значении , то он расходится и при всех значениях , для которых .

Из теоремы Абеля и её следствия следует, что для степенного ряда (6) возможны три случая:

1) ряд сходится только в точке ;

2) ряд сходится при всех ;

3) существует число такое, что при всех из интервала ряд сходится абсолютно, а при всех , для которых , ряд расходится.

Определение. Радиусом сходимости ряда (6) называется число , такое, что при ряд сходится, а при расходится. Интервал в этом случае называется интервалом сходимостиряда (6).

Замечание 1. Если числовой ряд (6) сходится на всей числовой оси, то полагают ; если он сходится только при , то .

Замечание 2. На концах интервала вопрос о сходимости или расходимости данного ряда решается путём исследования соответствующих числовых рядов, получающихся при подставлении граничных значений в исследуемый ряд.

Для отыскания интервала и радиуса сходимости степенного ряда можно пользоваться одним из следующих способов:

1) Если среди коэффициентов ряда нет равных нулю, т.е. ряд содержит все целые положительные степени разности , то для вычисления радиуса сходимости степенного ряда можно применять формулы:

(8)

(9)

2) Во всех случаях интервал сходимости можно находить, применяя непосредственно признак Даламбера или признак Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда, т.е. к ряду

или

Пример 10.Найти область сходимости ряда .

Решение. Так как среди коэффициентов ряда есть нулевые, то найдем интервал сходимости, применяя признак Даламбера к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда, т.е к ряду

Имеем:

; ;

Тогда

По признаку Даламбера ряд сходится, если . Значит, интервалом абсолютной сходимости данного ряда будет интервал:

;

Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

При , получим числовой ряд

1. Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Для этогоисследуем на сходимость ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

Сравним его с гармоническим рядом , который расходится.

Так как

т.е. . Следовательно, на основании второго признака сравнения ряд также расходится.

Следовательно, исходный ряд не является абсолютно сходящимся.

2. Используя признак Лейбница, исследуем ряд на условную сходимость. Для этого проверим условия (4):

Очевидно, что данное неравенство верно для любого

2) .

При получим ряд

расходимость которого доказана выше.

Следовательно, – область сходимости ряда;

– область абсолютной сходимости ряда.

Пример 11. Найти область сходимости ряда .

Решение. Так как ряд содержит все целые положительные степени разности и все коэффициенты ряда содержатся в степени , то для вычисления радиуса сходимости степенного ряда воспользуемся формулой (9).

Так как , то согласно формуле (9) находим

Таким образом, исследуемый ряд сходится абсолютно на всей числовой оси.

Ряды Тейлора

Мы рассматривали степенные ряды вида

или

Каждый из таких рядов в своей области сходимости сходится к некоторой функции, сумме степенного ряда. Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, т.е. функцию представлять в виде суммы степенного ряда.

Как известно, для любой функции , определённой в окрестности точки и имеющей в ней производные до -го порядка включительно, справедлива формула Тейлора:

, (10)

где – остаточный член в форме Лагранжа. Число можно записать в виде , где .

Формулу (10) кратко можно записать в виде

где – многочлен Тейлора.

Если функция имеет производные любых порядков ( т.е. бесконечно дифференцируема ) в окрестности точки , то в формуле Тейлора мы можем использовать сколь угодно много членов. Тогда формула (10) примет вид:

. (11)

Определение. Ряд в разложении (11), называется рядом Тейлора для функции , а коэффициенты этого степенного ряда

называются коэффициентами Тейлора.

Если в ряде Тейлора положить , то получим разложение функции по степеням в так называемый ряд Маклорена:

Замечание. В ряд Тейлора можно разложить любую бесконечно дифференцируемую в окрестности точки функции . Это является необходимым условием разложения функции в ряд Тейлора. Но отсюда ещё не следует, что он будет сходиться к данной функции ; он может оказаться расходящимся или сходящимся, но не к функции .

Теорема.Для того чтобы при некотором значении имело место разложение (11), необходимо и достаточно, чтобы при этом значении остаточный член формулы Тейлора (10) стремился к нулю при неограниченном возрастании , т.е. чтобы