Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами

Простейшие свойства числовых рядов. Необходимый

Признак сходимости

Свойства:

1. Если ряд сходится, то сходится и любой из его остатков.
Если сходится какой-либо из остатков ряда, то сходится и сам ряд.

2. Если числовой ряд сходится и его сумма равна , то и ряд , где – произвольное число, также сходится и его сумма равна .

3. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно и , то ряд также сходится и его сумма равна .

Необходимый признак сходимости ряда

Если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю при стремлении к бесконечности, т.е.

Следствие. Если общий член ряда не стремится к нулю при стремящемся к бесконечности, т.е. если не выполняется условие

то ряд расходится.

Замечание. Условие является необходимым, но недостаточным, т.е. если , то ряд может, как сходится, так и расходится. Например, ряд расходится, хотя .

Пример 1.Используя необходимый признак сходимости, доказать расходимость ряда .

Решение. Согласно необходимому условию, если ряд сходится, то .

Имеем: .

Найдем :

Так как не выполняется необходимое условие сходимости ряда, то ряд расходится.

Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами

Первый признак сравнения

Пусть и - ряды с положительными членами, причём при любых , начиная с некоторого , т.е. для всех . Тогда:

1) если ряд сходится, то сходится и ряд ;

2) Если ряд расходится, то расходится и ряд .

Второй признак сравнения

Пусть и - ряды с положительными членами, причем существует конечный и отличный от нуля предел

Тогда ряды и сходятся или расходятся одновременно.

Замечание 1. При использовании 1-го и 2-го признаков сравнения, как правило, сравнивают исходный ряд с рядами, о которых заранее известно, сходятся они или расходятся:

1) ряд Дирихле – сходится при и расходится при . При получаем ряд , называемый гармоническим.

2) ряд вида

члены которого образуют геометрическую прогрессию со знаменателем . Ряд сходится, если и расходится при .

Замечание 2. При отыскании ряда для сравнения по второму признаку, можно в общем члене исследуемого ряда заменять бесконечно малую функцию на эквивалентную ей функцию, используя основные эквивалентности бесконечно малых функций при :

Если в результате замены мы получим ряд, рассмотренный в замечании 1, то его можно взять в качестве ряда , с которым нужно сравнить исследуемый ряд.

Замечание 3. Вопрос о сходимости рядов вида:

где и – многочлены степени m и k, решается путем сравнения с рядом Дирихле , где . При этом целесообразно применять второй признак сравнения.

Признак Даламбера

Пусть – ряд с положительными членами, и существует конечный предел

Тогда при , данный ряд сходится; при – расходится.

Радикальный признак Коши

Пусть – ряд с положительными членами, и существует конечный предел

Тогда при , данный ряд сходится; при – расходится.

Замечание 4. Если в признаках Даламбера и Коши предел не существует или равен 1, то ряд может, как сходится, так и расходится. В этом случае требуется исследовать ряд с помощью других методов.

Интегральный признак Коши

Пусть – ряд с положительными членами и положительная, непрерывная и монотонно убывающая на промежутке функция такая, что

Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Пример 2.Исследовать сходимость ряда , используя первый признак сравнения.

Решение.Так как , то ,

а ряд , члены которого образуют геометрическую прогрессию со знаменателем , сходится. Тогда на основании первого признака сравнения, ряд также сходится.