Мнемонические приемы при заучивании таблицы умножения.

Данный прием сходен с приемами заучивания иностранных слов (двусторонние карточки с записями табличных случаев в любом удобном месте).

Действие деления рассматривается в начальной школе как действие, обратное умножению.

С теоретико-множественной точки зрения смыслу деления соответствует операция разбиения множества на равночисленные подмножества.

Конкретный смысл деления раскрывается в процессе решения задач на деление по содержанию и на равные части.

«Учительница раздала ученикам 12 тетрадей по 3 тетради каждому. Сколько учеников получили тетради?»

Задача решается путем практического оперирования предметами (отсчитывание по 3 тетради). При этом необходимо обратить внимание на то, что дети получили тетрадей поровну. 12 : по 3 = 4.

«Мама разделила 6 груш 3 детям поровну. Сколько груш получил каждый из детей?»

Оперируя наглядными пособиями (раздавая по одной груше), ученик приходит к решению: 12 : на 3 = 4.

Следующий шаг в ознакомлении учащихся с умножением и делением – рассмотрение вопроса о связи между компонентами и результатом умножения, а после введения соответствующей терминологии и связи между компонентами и результатом деления.

Связи эти раскрываются на основе рассмотрения задачи на нахождения неизвестного компонента действия по данным результату и второму компоненту.

Методика соответствующей работы аналогична той, которая использовалась при нахождении неизвестных компонентов сложения и вычитания.

После изучения этих вопросов становится возможным доказать детям, что задачи на деление по содержанию и на равные части могут быть истолкованы как задачи на нахождение одного из множителей по данным произведению и другому множителю. Обобщение этих задач на деление дает возможность в дальнейшем рассматривать каждую из них как задачу на деление, и различие между ними будет выступать только в истолковании полученного ответа.

2. Случаи умножения и деления с 0 и 1 считаются особыми и рассматриваются отдельно от табличных случаев умножения и деления, поскольку они не могут быть объяснены с общих позиций смысла действий умножения и деления.

7 * 1 = 1 * 7 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7 (опора на переместительное свойство умножения)

5 * 0 = 0 * 5 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0

В общем виде правила оформляются в буквенном выражении:

а * 1 = а а * 0 = 0

Соответствующие правила предлагаются школьникам для запоминания.

При умножении любого числа на 1 получается то число, которое умножали.

При умножении любого числа на нуль получается нуль.

Для объяснения случаев вида а : а = 1 (если а не равно 0); а : 1 = а; 0 : а = 0 следует обратиться к правилу взаимосвязи компонентов умножения и деления.

Рассмотрим случай: 7 : 7. Для нахождения значения частного воспользуемся правилом: « если значение частного умножить на делитель, то получим делимое». Единственное число, подбираемое к данному значению частного – это 1, поскольку 1 * 7 = 7, значит, 7 : 7 = 1.

Рассмотрим случай 7 : 1. Для нахождения значения частного воспользуемся правилом: « если значение частного умножить на делитель, то получим делимое». Единственное число, подбираемое к данному значению частного – это 7, поскольку 7 * 1 = 7, значит, 7 : 1 = 7.

Рассмотрим случай: 0 : 7. Для нахождения значения частного воспользуемся правилом: « если значение частного умножить на делитель, то получим делимое». Единственное число, подбираемое к данному значению частного – это 0, поскольку 0 * 7 = 0, значит, 0 : 7 = 0.

В общем виде закономерности оформляются в буквенном виде:

а : а = 1 а : 1 = а 0 : а = 0

и в виде словесного правила:

При делении числа на то жен самое число получается 1.

При делении числа на 1 получается то же самое число.

При делении нуля на любое другое число получается 0.

Рассмотрим случай: 7 : 0. Учитель предлагает подобрать такое число, при умножении которого на 0, получим делимое 7. Такого числа не существует, следовательно, на нуль делить нельзя!

3. К внетабличным случаям умножения и деления в пределах 100 относят случаи умножения двузначного числа на однозначное (20 * 3; 18 * 3), а также случаи деления двузначного числа на однозначное (80 : 4; 96 : 6), не входящие в число табличных и случаи деления двузначного числа на двузначное в пределах 100 (80 : 40; 96 : 16). Данные случаи рассматриваются как случаи устных вычислений, и предполагается, что учащийся выполнит их без обращения к письменным алгоритмам вычислений, а лишь используя известные ему правила и законы арифметических действий и знание табличного умножения и деления.

Для подготовки к изучению внетабличного умножения и деления необходимо рассмотреть:

1. Правило умножения суммы на число и числа на сумму.

2. Правило деления суммы на число.

3. Правило группировки множителей (сочетательное свойство умножения).

Знакомство с правилом умножения суммы на число.

Задача: «На каждую вазу положили по 4 шоколадных конфет и по 2 карамели. Сколько конфет на 3-х вазах?» Задача иллюстрируется.

Рассматривается два способа решения задачи:

I способ: - Сколько конфет в одной вазе?

- Сколько конфет на 3-х вазах?

(4 + 2) * 3 = 18

сумма число

I сл. II сл.

II способ: - Сколько шоколадных конфет на 3-х вазах?

- Сколько карамелей на 3-х вазах?

- Сколько всего конфет?

(4 * 3) + (2 * 3) = 18

I сл. число II сл. число

- Что такое 4? 2? 3?

Правило оформляется в буквенном выражении:

(а + в) * с = а * с + в * с

Правило: чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

При знакомстве с правилом умножения числа на сумму можно предложить учащимся прочитать выражение и вычислить его значение разными способами: 4 * (3 + 2).

Правило оформляется в буквенном выражении:

с * (а + в) = с * а + с * в

Правило: чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Эти два правила являются вариантами раскрытия смысла распределительного свойства умножения относительно сложения.

Аналогичным образом вводится правило деления суммы на число.Это правило является вариантом раскрытия смысла распределительного свойства деления относительно сложения.

Задача: « На даче посадили в 2 ряда поровну 10 кустов смородины и 8 кустов малины. Сколько деревьев в каждом ряду?»

Всего - ? к., 10 к. и 8 к., 2 р. по ? к.

I способ: (10 + 8) : 2 = 18 : 2 = 9 (к.)

II способ: 10 : 2 + 8 : 2 = 9 (к.)

В буквенном виде правило может быть представлено следующим образом:

(а + в) : с = а : с + в : с

Правило: чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

Усвоение правил умножения числа на сумму, умножения и деления суммы на число вплотную подводит младших школьников к раскрытию приемов внетабличного умножения и деления.

Правило группировки множителей (сочетательное свойство умножения) представлено в учебниках математики как правило умножения числа на произведение. Это правило позволяет научить младших школьников новым способам действия при выполнении устных внетабличных вычислений. В буквенном виде правило может быть представлено следующим образом:

(а * в) * с = а * (в * с) = ( а * с) * в

В основе его разъяснения лежит конкретный смысл действия умножения и правило перестановки множителей.

Рассматривая три способа вычисления результатов, школьники убеждаются в том, что результат при всех способах вычислений одинаковый.

Правило: чтобы найти произведение нескольких множителей, их можно перемножить в любом порядке.

Сначала вводятся приемы для случаев умножения и деления чисел, оканчивающихся нулем. Нахождение значения таких выражений сводится к умножению и делению однозначных чисел, выражающих число десятков.

20 * 3 = 2 дес. * 3 = 6 дес. = 60

80 : 4 = 8 дес. : 4 = 2дес. = 20

При умножении однозначных чисел на круглые двузначные числа используется прием перестановки множителей.

Затем учащимся предлагается найти значения выражения вида:

12 * 3 = (10 + 2) * 3 = 10 * 3 + 2 * 3 = 36

Учащиеся самостоятельно выделяют три этапа рассуждения: заменить первый множитель суммой разрядных слагаемых; прочитать полученное выражение и найти значение произведения удобным способом.

Приемы внетабличного деления двузначного числа на однозначное изучаются в следующей последовательности:

46 : 2 = (40 + 6) : 2 = 40 : 2 + 6 : 2 = 20 + 3 = 23

50 : 2 = (40 + 10) : 2 = 40 : 2 + 10 : 2 = 20 + 5 = 25

72 : 6 = ( 60 + 12) : 6 = 60 : 6 + 12 : 6 = 10 + 2 = 12

Особенно трудным для учащихся является усвоение последнего приема, в котором целесообразно заменить делимое суммой таких удобных слагаемых, первое из которых выражает наибольшее число десятков, делящееся на делитель.

К внетабличному делению относится также деление двузначного числа на двузначное, где используется способ подбора частного, основанного на связи между компонентами и результатом действия умножения: подбирают частное, а затем проверяют его умножением.

С целью облегчения вычислений могут быть использованы два приема:

1) ориентировка на последнюю цифру делимого (учитель обращает внимание на единицы делителя и единицы делимого);

2) прием округления.

75 : 15

2 * 5 = 10 – не подходит

3 * 5 = 15, подходит, умножаем до конца: 3 * 5 = 15, 3 * 10 = 30, 30 + 15 = 45, ответ не верен;

4 * 5 = 20 – не подходит

5 * 5 = 25 – подходит, 5 * 10 = 50, 50 + 25 = 75 – подходит. Ответ верный – 5.

Первый прием предполагает, что при подборе возможной цифры частного ученик ориентируется на знание таблицы умножения, сразу перемножая подобранное число и последнюю цифру делителя.

Второй прием предполагает округление делителя и подбор цифры частного с ориентиром на округленный делитель.

Данные приемы позволяют сократить затраты сил и времени при выполнении вычислений данного вида, но требуют хорошего знания таблицы умножения и умения округлять числа.

Работа над делением с остаткомв пределах 100 расширяет знания учащихся о действии деления, создает новые условия для применения знаний табличных результатов умножения и деления, для применения вычислительных приемов внетабличного умножения и деления, а также своевременно готовит учащихся к изучению письменных приемов деления.

Особенностью деления с остатком по сравнению с известными детям действиями является тот факт, что по двум данным числам – делимому и делителю – находят два числа: частное и остаток.

Познакомить с данным приемом деления возможно на основе решения жизненно практических задач.

«17 карандашей разложили в три коробки поровну. Сколько карандашей в каждой коробке?»

Выполняя предметные действия в соответствии с заданной ситуацией, учащиеся убеждаются в том, что выполнить такое разбиение множества карандашей невозможно. Остаются два карандаша, которые нельзя распределить поровну в три коробки.

На основании выполнения подобных заданий, учитель вводит новую запись, позволяющую определить роль оставшихся в процессе распределения предметов:

17 : 3 = 5 (ост.2) и поясняет, что действие, записанное таким образом называют «делением с остатком». В данной записи: 17 – делимое, 3 – делитель, 5 – неполное частное от деления 17 на 3, 2 – остаток.

Для проверки правильности выполненного деления следует:

1. Умножить неполное частное на делитель.

2. К полученному произведению прибавить остаток.

В буквенном выражении данные операции соответствуют общему правилу деления с остатком.

а : в = q (ост.p), тогда а = q * в + p

В общем виде правило деления с остатком в начальной школе не рассматривается.

Основное требование к делению с остатком: при делении остаток всегда должен быть меньше делителя.

Для нахождения результатов деления с остатком в начальной школе используют два основных приема:

1) при делении вида 27 : 5 основным приемом нахождения результата является опора на таблицу умножения. В качестве неполного частного подбирается такое значение множителя, чтобы при умножении на 5 (на делитель) получалось число, ближайшее к 27 (делимому);

2) при делении с остатком вида 85 : 15 применяется прием подбора частного с проверкой, поскольку этот случай не может опираться на знание табличного умножения и деления. В этом случае примерную цифру частного следует проверять умножением до тех пор, пока не подберется цифра, умножение которой на делитель даст в результате число, близкое к делимому.