Лекція № Спосіб Верещагіна

Обчислення інтегралів Мора суттєво спрощується для систем, які складаються з прямих брусів, оскільки для них епюри від одиничного навантаження обмежені прямими лініями.

Обчислимо інтеграл

у випадку, коли епюра від зовнішнього навантаження

довільна, а від одиничної – прямолінійна.(рис. 7.4).

Позначимо:

- площа нелінійної епюри M_P(x) від зовнішнього навантаження,

C – її центр ваги,

- ордината епюри від одиничного навантаження під центром ваги епюри M_P(x).

Очевидно, .

Тоді

.

Інтеграл є статичний момент площі відносно осі y, тому .

Підставляючи це рівняння, одержимо:

, тобто .

Отже, якщо одна з епюр лінійна, то інтеграл Мора дорівнює добутку площі нелінійної епюри на ординату прямолінійної епюри, взятої під центром ваги епюри нелінійної. Оскільки епюра M_P(x), як правило, складна – це ряд графіків різних кускових функцій, то обчислення виконують, розбиваючи епюри на ділянки так, щоб одна з епюр була обов’язково лінійна на цій ділянці, а для другої можна було б визначити площу і положення центра ваги.

Загальна формула для визначення переміщення способом Верещагіна має вигляд:

(7-5)

Це математичний вираз правила Верещагіна: переміщення дорівнює сумі добутків площі нелінійної епюри згинальних моментів на ординату лінійної епюри, взяту під центром ваги нелінійної, поділеному на жорсткість перерізу EI_Z при згинанні.

Оскільки ми розглядаємо балки постійної жорсткості, тобто EI_Z=const, то її можна винести за знак суми.

Обчислення інтеграла Мора за правилом Верещагіна часто називають способом перемноження епюр. При цьому епюру M_P(x) називають вантажною, а - одиничною.

Площі епюр на відстані до їх центрів ваги

=1/2hl

=1/3hl

=2/3hl

=2/3hl

Дані для параболічних епюр вірні за умовою, що т.я. – це вершина параболи, тобто дотичне в цій точці паралельна осі балки.

Практичні рекомендації щодо застосування способу Верещагіна

1. Добуток площі вантажної епюри на ординату лінійної вважається додатнім, якщо епюри розташовані по один бік від базової лінії.

2. Якщо в межах однієї силової ділянки вантажна і одинична епюри прямолінійні, то все одно , площу якої епюри брати, і на ординату якої множити.

3. Якщо в межах силової ділянки одна із епюр криволінійна, а інша ламана, то слід розбити другу епюру на ділянки, в межах яких вона лінійна.

4. Якщо вантажна епюра і одинична епюра ламані і границі їх ділянок співпадають, то треба розбити ці дві епюри на лінійні ділянки. При цьому може статися, що на одній з ділянок краще брати площу епюри Mp, а на іншій площу епюри M1. Завжди треба брати площу тієї епюри, яка в межах даної ділянки однозначна.

Mp

M1

5.Складні епюри розбивають на ділянки, в межах яких одна з епюр обов’язково лінійна, і беремо ординату лінійної епюри, площу – будь-якої, потім підсумовуємо їх добутки по всій довжині балки.

6. Епюри, побудовані спеціально для застосування правила Верещагіна, не штрихують.

7.Іноді виявляється зручним будувати вантажну епюру у так званому розшарованому вигляді. Суть цього розшарування полягає в наступному: рівняння згинального моменту M(x) являє собою складну функцію.

Наприклад, для балки на рис. 7.5, для ІІІ ділянки

M(x) = -Px + M – q(x-b)²/2.

Замість того, щоб будувати графік цієї складної функції, для (рис. 7.5,а) перемноження епюр доцільно побудувати графіки від кожного доданку (тобто окремі епюри) (рис.7.5,б).

При цьому розшаровану вантажну епюру будують по одиничній в залежності від місця зламу на одиничній епюрі.

Лекція №