Парменид и изобретение логического пространства

В начале платоновского диалога «Парменид» произошел разговор между Сократом и Зеноном о книге последнего. «Я замечаю, Парменид, — сказал Сократ, — что наш Зенон хочет быть близок тебе во всем, даже в сочинениях. В самом деле, он написал примерно то же, что и ты, но с помощью переделок старается ввести нас в заблуждение, будто он говорит что-то другое: ты в своей поэме утверждаешь, что все есть единое и представляешь прекрасные доказательства этого; он же отрицает существование многого и тоже приводит многочисленные и веские доказательства». Зенон ответил, что в своей книге он не хотел скрывать связь с учением Парменида, совсем напротив, «ибо в действительности это сочинение поддерживает рассуждение Парменида против тех, кто пытается высмеять его, утверждая, что если существует единое, то из этого утверждения следует множество смешных и противоречащих ему выводов»,¹

Человек, который прошел школу современной формальной логики, мог бы удивиться удивлению Сократа, так как он знает, что если некоторому тезису имеется прямое доказательство, то всегда можно найти и непрямое доказательство. Откуда же тогда возникает впечатление, будто Зенон, выбирая косвенное доказательство, хотел утаить свою зависимость от учения Парменида? Можно спросить, доказывал ли вообще сам Парменид свое учение? Судя по фрагменту его стихотворения, с позиций современной теории доказательства мы должны признать, что едва ли. Но, понимая доказательство в более широком смысле, можно ответить утвердительно. Ведь Парменид получает свое учение от богини справедливости, хранительницы законов и традиции Дике. Тогда Сократ мог иметь следующие соображения: парменидовское учение опирается на божественное право, а на каком праве Зенон проводит свою аргументацию, ведь он же не ссылается на Парменида и его божественный источник, дающий силу его доказательствам? Можно также спросить, имеет ли Зенон наряду или даже независимо от божественного права иную правовую инстанцию доказательства необходимости? Зенон поясняет, что сомнения Сократа в этом пункте необоснованны. На этом можно было бы поставить точку. Однако вопрос, который здесь подразумевается (т. е. вопрос о философских предпосылках и методологической обоснованности редукции ad absurdum, косвенного доказательства, изобретателем коего считается Зенон),² для Платона еще открыт, а для современной формальной логики открыт вновь.

Проблема состоит в следующем: на каком о основании мышление может осуществить переход от ~ ~ А к А? Он лежит в основе известной фигуры мысли — двойное отрицание чего-то есть его утверждение. Эта фигура мысли была подвергнута критике с двух сторон. Со стороны диалектики, прежде всего Гегелем, утверждалось, что отрицание отрицания не есть возврат к началу, но что проведение двойного отрицания связано с изменением исходного пункта. Со стороны формальной логики, интуиционистами высказано возражение, что такой переход только тогда допустим, когда имеется эффективный метод выбора между А и ~ А, а это значит,

1 Платон. Парменид 128 a—d.

устранения двойного отрицания имеет ограниченное действие. Однако как диалектическая, так и интуиционистская логика .пользуются отрицанием как логической операцией. Введение двойного отрицания в интуиционистской логике является также полноценным правилом. Мне представляется, и это впечатление проистекает из платоновских диалогов в целом, что у Платона вопрос об отрицании, т. е. вопрос, что делает одно противоположностью другого, еще не решен. Чтобы различать позиции современной логики и диалектики, с одной стороны, и позицию Платона, с другой — я ввожу термин «логическое пространство». Итак, можно сказать: в то время как логическое и диалектическое мышление происходит в логическом пространстве, у Платона логическое пространство лишь ищет свои контуры. В качестве изобретателя логического пространства с полным правом может быть назван Парменид (хотя он и не употреблял термин «логическое пространство»). В таком случае замысел Платона в диалоге «Парменид» можно понимать следующим образом: устами Сократа он выражает некоторое сомнение по поводу этого изобретения Парменида. Если Парменид может быть назван изобретателем логического пространства, то Зенон являлся его первым и, быть может, самым успешным популяризатором.

Здесь правомерен вопрос, как должно понимать выражение «изобретатель пространства»? Кант, отвечая на вопрос, что есть пространство, говорит следующее: «Посредством внешнего чувства (свойства нашей души) мы представляем себе предметы как находящиеся вне нас, и притом всегда в пространстве. В чем определены или определимы их внешний вид, величина и отношения друг к другу».³ Кант считал, что этим сказано нечто приемлемое для каждого и исходя из чего можно начинать рассуждение. То, что Кант предполагает приемлемым, для каждого выглядит так: пространство есть то, что каким-то образом определяет какие-либо предметы, взятые по каким-либо признакам и каким-то образом вне нас. Конечно, эта формулировка не является больше кантовской, поскольку в ней посредством слов «каким-то», «какие-либо», «каким-либо» выражается как раз та переменная, о чем Кант, наверное, полагал, что это приемлемо для всех и может служить основанием последующего рассуждения. Но структура кантовского высказывания сохраняется. Исходя из этой структуры, можно предположить, что существуют самые различные пространства, что могут быть найдены различные типы пространств посредством подставления вместо переменных содержательных положений.⁴ Такая подстановка является ничем иным, как изобре-

³ Кант И. Критика чистого разума. М., 1994. С. 50.

⁴ Эрнст Кассирер различает, например, теоретическое, эстетическое и мифологическое пространства. Причем смысловая функция, посредством которой упорядочиваются вещи в этих пространствах, является первичной по

тением пространства — изобретением, которое тогда может претендовать на всеобщие признаки, когда содержательные положения соответствуют друг другу. В этой формуле изобретения пространства имеется одно место, которому необходимо уделить особое внимание: пространство... «каким-то образом вне нас». Ведь не только для Канта, но и для западноевропейской традиции это место, кажется, есть то место, где можно констатировать различие пространства и времени, которое есть то, что. . . каким-то образом в нас.⁵ В конечном счете создается пространство, в котором определены конструкции и отношения между конструкциями, о которых должно сказать, что они находятся вне нас. Это может происходить, например, в виде некоторой системы аксиом. Логическое пространство также может быть охарактеризовано посредством аксиоматики. Его аксиомы— три логических принципа: принцип тождества, принцип исключенного третьего и принцип противоречия. В своей развитой форме аксиоматика логического пространства появилась довольно поздно в истории западноевропейской мысли (лишь на рубеже XVIII—XIX столетий), но уже Зенон, кажется, экспериментировал с этими принципами для того, чтобы ограничить логическое пространство, т. е. учение Парменида о едином бытии, от пространства созерцания и физико-математического пространства исчисления.

Радикальность парменидовской концепции едва ли можно переоценить. Сущее, истина выводятся за пределы человеческого— нет человеческой меры для истины. Вот в этом-то и заключен пафос послания, о котором известил Парменид по поручению богини справедливости. Человеческое мышление, стало быть, должно ориентироваться на то, для чего не может быть человеческой меры, т. е. на истину.⁶ Единое бытие (όμοιο αυτω), равное себе самому, с самим собой идентичное, необходимо различать с προς άλλον άλλοις έχειν⁷ — «у другого быть по-другому», «вести себя в отношении каждого другого по-другому». Но так как единое бытие в действительности (по истине) не имеет свое другое, то другое существует как дру-

отношению к результирующим структурам пространства. Сравни мифологическое, эстетическое и теоретическое пространства (см.: Cassirer К. Symbol, Technik, Sprache (Aufsatze aus den Jahren 1927—1933) / Hrsg. von E. W. Orth und J. M. Krois. Hamburg, 1985. S. 101 f).

⁵ Идентификация пространства с внешним (вне нас) и времени с внутренним (в нас) кажется само собой разумеющимся фактом. Так, например, в физико-математических определениях пространства нет нужды упоминать дополнительно то, что вне нас называется объективным (ср.: Hermann Weyl. Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaften, R. Oldenbourg Verlag. Mimchen, 1990. S. 95 ff).

⁶ На этом пути имеется, однако, много знаков, на которые может ориентироваться мышление (см.: Simplikios in Phys. S. 145, 1—146, 25. S. 38, 30—39, 9 (DK 28 В 8).

7 Vgl. Plutarch Adv. Col. 13, 1114 B—d (cf. DK 28 A 34_} В 10).

гое не по истине, а только по мнению людей, которые посредством слов образуют сферу мнений.⁸ Эту фигуру «у другого быть по-другому» использует Зенон в своих апориях, указывая этим на то, что нельзя понимать единое бытие Парменида в смысле некоторой единицы, некоторого измерения. Если мышление и бытие образуют единство, то все же не единство некоторой меры, которая позволяла бы измерить их соответствие и идентичность.

Можно попытаться понять аргументацию Зенона, исходя из притчи о развилке дорог. В начале древнегреческой логики обнаруживает себя проблема ориентации в буквальном смысле слова. Стоя на развилке дорог, человек имеет два пути, на лишь один есть у него в «действительности»; второй путь он имеет и не имеет, а это значит, что у него нет достоверности, что второй путь является вообще путем (а не только обманом или иллюзией пути). Ведь чтобы проверить, что там есть путь, надо хотя бы немного пройти по нему. Оказывается, что развилка дорог на самом деле есть проблема времени, так как «немного» могло бы означать всю жизнь. Первый путь, путь истины, Парменид характеризует так: «что есть и что не есть», а второй путь, о котором он говорит, что нельзя по нему идти, следующим образом: «что не есть и что достоверно, что не есть».⁹ Стоит остановиться на структуре этих положений. Была многократно отмечено, что логика и метафизика в европейской культуре имеют глубокие корни в особенности индогерманских языков. Это относится прежде всего к грамматической структуре субъект-предикат, но не только к ней. Имеются, как я думаю, с точки зрения логики и метафизики три загадочных слава в этих языках «и»,¹⁰ «есть», «нет». Если учитывать многозначность слова «есть» как связку и как выражение «существует», то можно сказать, что эти три слова лежат в основе всей классической логики высказываний и предикатов. Различные комбинации этих трех слов и создают парменидовскую развилку.

Первый путь имеет следующую структуру: А и не не А (есть и не есть, что не есть). В классической логике имеет место следующее тождество: А= (А и А) = (А и не не А), а также: А= не не А = (А и не не А). В обоих случаях тождество А= (А и не не А) имеет основание в некоторой итерации: в первом случае итерируется вначале «есть», а затем «не есть», во втором случае наоборот. В вышестоящем тождестве можно по-

s Simplikios in Phys. S. 145, 1—146, 25. S. 38, 30—39, 9 (DK 28 В S); ders. in Gael, S. 558, 9 f. (DK 28 В 19).

„όπως εότιν τε χαι ως ούχ έότι μη είναι* bzW. ως ούχ έότιν τε у-α ι ως: •χρεών έότι μη είναι" vgl. Pnoklos in Tim. I, S. 345, 18f.; Simplikios in Phys, S. 116, 28f. (OK 28 В 2).

10 Вместо «и» может быть «или».

средством редукции из (А и не не А) перейти к А. Можно сказать, что это обратный способ итерации. «Нет» выполняет в логике функцию противопоставления, а «и» — функцию повторения. Первый путь поэтому можно охарактеризовать как переплетение «есть», «нет», «и» таким способом, что оно должно быть логически значимым, истинным и вообще существовать. Дело идет о пути, на котором переплетение логических операторов со связкой «есть», т. е. с бытием, совпадает и, соответственно, на котором можно развертывать бытие через логические операторы, сохраняя бытие как бытие. Этим охвачены как «нет», так и «и» связкой «есть», т. е. противопоставление и повторение имеют начало, середину и конец в бытии. Следовательно, первый путь начинается с того, чем заканчивается, и заканчивается тем, с чего начинается. И опосредование между началом и концам через отрицание и итерацию является только видимостью движения на поверхности бытия. Поэтому логика бытия и мышления на первом пути тавтологичны. Однако если отрицание, повторение и бытие определяют, так сказать, между собой способ поведения друг относительно друга, то постоянно грозит опасность со стороны отрицания либо итерации разрушить; оболочку, посредством которой бытие охватывает тотальность. Эта опасность и есть опасность, которую представляет второй путь.¹¹

Развилку дорог можно описать и иначе. Она есть развилка между двумя способами итерирования: на первом пути результат итерирования будет итерирован в целом и поэтому воспроизводится одно и то же содержание (А, не не А, не не не не А, ..., А, А и А, А и А и А и А, ...); на втором .пути происходит итерация, поскольку итерируется исходный пункт, из чего можно получить либо все время одно и то же (А, А и А, А и А и А, . . .), либо осцилляцию (А, не А, не не А, не не не А, . . .; Аи не А, не (А и не А), . . .). Видно, что второй путь итерирования содержит первый относительно результата.¹² Второй путь может вести мышление либо к противоречию, либо к осцилляции. Именно поэтому он запрещен. Первый путь

¹¹ Возможно найти третий путь. Кроме первого, на котором мышление определяется бытием, и второго, на котором мышление определяется негативностью, для третьего пути характерно то, что на нем мышление определяется повторением. Если с точки зрения бытия второй и третий пути совпадают на пути небытия, то с другой перспективы можно различать мышление бытия и мышление негативности как мышление в логическом пространстве, с одной стороны, и мышление повторения как мышления во времени, с другой. При этом все равно можно было бы различать мышление бытия (формальную логику или логику бытия) и мышление негативности (диалектическую логику или логику рефлексии).

¹² В тексте парменидовскои поэмы второй путь имеет следующую структуру: «не есть». Это итерируется, если это итерируется, то получается: «не есть и не есть», «не есть и не есть и не есть» и т. д. как и: «не есть, что не есть», «не есть, что не есть, что не есть» и т. д. Видно, что различные способы итерирования; через структуру текста точно установлены.

есть путь тождества, путь вечно самого себе тождественного, не изменяемого в движении (в итерации). Это есть путь принципа тождества. Второй путь противоречия и осцилляции исключен принципом противоречия и исключенного третьего.

Зенон приводит мышление к осцилляции, используя принцип делимости до бесконечности в качестве иллюстрации. Ведь бесконечное деление является образом самой бесконечности и возможности безграничного продвижения. Мы можем видеть, что разделенное всегда можно делить дальше, (а то, что невозможно делить дальше, того мы не можем видеть, так как до тех пор, пока мы видим, можно делить еще). Возможность деления дальше является, кажется, очевидной. И понятно, что бегун добежит до финиша, Ахиллес догонит черепаху — это мы можем увидеть. Зенон нашел возможность так соотнести друг с другом эти две очевидности, что отношение (сопряжение) их. вместе стало неприемлемо для его современников. Это удалось ему постольку, поскольку он заставил мышление колебаться между этими двумя, якобы подтвержденными наблюдением очевидностями. Мышление, сбитое с толку, ищет спокойствия. Искушение движения по первому пути возрастает.

То, что сделал Зенон, выглядит так. Он предлагает движение по второму пути — запрещенному, чтобы найти аргументы и пользу первого. На втором пути он приводит мышление в ситуацию непрерывного колебания, интерпретируя затем это осциллирование мышления как противоречие самого мышления, в которое оно попадает на втором пути. Следовательно, если мышление не хочет впасть в осциллирование, то из двух отмеченных Парменидом дорог оно должно выбрать первую. Но надо учитывать следующее. Во-первых, у Зенона мышление находится на втором пути, т. е. противоречие и третье включены, с тем, чтобы в этой ситуации обосновывать их исключение. Разрыв, образовавшийся между тем, что он делает и для чего он это делает, можно зафиксировать так: мышление должно себя мыслить иначе (по-другому), чем оно мыслит.¹³ Во-вторых, следует заметить, что Зенон интерпретировал осциллирующее мышление как противоречивое. Эта интерпретация предполагает, что мышление во времени трансформировано в мышление в пространстве.¹⁴ Лишь в логическом пространстве парадоксы и антиномии приобретают вид про-

¹³ Может быть, вообще нельзя идти по первому пути, так как каждая попытка начать движение кончается тут же, ибо есть самотождество. Поэтому первый путь есть не путь, а его иллюзия. И кажется, что до сих пор* еще никто не прошел по этому пути, хотя многим мнилось, что они только* по нему и идут. Возможно, существует только второй путь, и 'поэтому Зенону не оставалось ничего другого, как идти по нему. Мышление с тех: пор существует в парадоксальной ситуации, а именно: оно должно принимать тот путь, по которому оно идет (т. е. второй путь), за первый.

¹⁴ Зенон исключил вместе с парадоксом движения время из логического пространства. Это можно увидеть на примере апории «Стадий».

тиворечия. На такой трансформации пространства покоится процедура reductio ad absurdutn, непрямое доказательство и, наконец, само логическое отрицание. В то время как осциллирующее мышление не может быть изображено в логическом пространстве, противоречие может: не А, есть ~А и наоборот. В логическом пространстве А доказано, если можно привести его противоположность к логическому противоречию. Быть может, тайна противоречия и отрицания лежит в пространственном преображении изначально временного мышления.

Зенон имел намерение защитить Парменида от тех, кто издевался над его учением. Но что смешного было в учении Парменида? Он учил, что единое бытие неделимо, а также: сущее -затрагивается сущим; единое сущее везде, но также: единое бытие заключено в своих границах — оно имеет образ шара. Возможно, уже тогда ставился вопрос как соединяются эти определения. Этот вопрос мог возникнуть на фоне дискуссии, которая была спровоцирована пифагорейским учением о едином (монас) и неограниченном (апейрон). Были и те, кто понимал тезис Парменида о едином бытии в смысле пифагорейской единицы. Но такая единица, такая мера выполняет свою задачу только тогда, когда имеется нечто, что можно упорядочить с помощью такой единицы, что можно измерить такой мерой. Но как это возможно, если единое бытие везде и охватывает все? На этом фоне аргументы Зенона можно истолковать таким образом: они были призваны показать невозможность понимания единого бытия в качестве единицы и меры; оно не может быть понято на основе математических определений. Тогда так называемые парадоксы множества у Зенона можно интерпретировать как доказательство не только против существования множества и единицы, но и как доказательство о том, что единое необходимо понимать как себе тождественное в логическом пространстве. Аргументацию Зенона можно истолковать таким образом: если в логическом пространстве сущее было бы множеством, то оно было бы одновременно конечным и бесконечным, тем самым несоизмеримым с самим; собой. А если бы оно было бы единицей, то оно было €>ы либо ничем, либо бесконечным и, следовательно, никоим -образом не единицей. То, что подлежит логическому мышлению, не есть единица множества и не есть множество единиц, но себе равное, тождественное. Со времен Парменида и Зенона это стало само собой разумеющейся в логике истиной.¹⁵

¹⁵ В диалоге «Парменид» Платон, напротив, показывает, что понятия, взятые в. соответствии с метрикой логического пространства, как тождественные, себе равные, не в состоянии связаться между собой, т. е. что единое себе тождественное, которое характеризует понятия в качестве логических, разрушается связыванием понятий. В этом смысле силлогистика есть попытка сделать возможным невозможное: связывание понятий, не нарушая шх самотождественность.

Логика, развиваемая на основе такого понятия пространства, это логика внешних связей, формального опосредования, координации и субординации. Примечательно то, что логический инструментарий сохраняет пространственные аналогии (это очевидно для таких понятий, как форма, содержание, объем) и использует пространственные иллюстрации (диаграмма, эйлеровы круги и т. д.).

В связи с этим можно поставить вопрос: возможна ли логика только на основе допущения логического пространства или же можно построить логику времени, опирающуюся на понятие логического времени? Поскольку традиция европейской логики развивалась преимущественно в рамках допущения логического пространства, то выдвигаемое альтернативное предположение, как кажется, не имело никаких шансов на успех. По так ли это? Прежде всего необходимо провести важное разграничение: вопрос о логике в логическом времени необходимо отличать от современной проблемы построения систем так называемой временной логики, ибо эти системы логики по-прежнему разрабатываются на основе логического пространства; время вводится в них как отношение пространственного порядка: раньше, сейчас, позже.

Чтобы обозначить альтернативное логике логического пространства предположение о логике, опирающейся на понятие логического времени, можно сформулировать несколько тезисов:

1. Логика, использующая логическое отрицание, логическую противоположность, опирается на понятие логического пространства. Логика, опирающаяся на понятие логического времени, может строиться без допущения отрицания, а, быть может, и противоположности в качестве исходных принципов.

2. Мышление в логическом пространстве «опространствливает» время или вообще предполагает абстрагирование от времени. Пространство же можно понять как порядок симультанности. Если мыслить пространство во времени, то это значит допустить наполненность пространства силами, зависящими от времени. Пожалуй, мышление во времени всегда оказывалось бы в другом пространстве, в котором каждый логический шаг вел бы в другое пространственное измерение.

3. Логика логического пространства — экстенсивна: считая и измеряя, она учитывает объем и протяжение. Логика во времени, напротив, должна быть интенсивной; потенцирование величин позволяет охватить изменение; итерация во времени дает возможность образования новых констелляций измеряемых сил. Можно предложить простую, хотя и не совсем точную модель: математическую функцию, например, У=2Х, можно итерировать двумя различными способами — кардинальными числами (подставляя на место Х=1, 2, 3, . . .) и ординарными (подставляя на место, например, Х=1 и итерируя далее получившийся результат). Первый способ итерирования соответствует пространственному протяжению и стремится при расширении области чисел к континууму, к непрерывности пространства; при втором способе фиксируется пространственная точка (где пространство полагается стремящимся к 0) и итерация остается дискретной. Первая итерация — экстенсивное измерение в пространстве, вторая — интенсивное измерение во времени.¹⁶

4. От Парменида идет требование к мышлению искать истину в логическом пространстве. Это значит, что истина в мышлении должна оставаться всегда равной себе, а мышление в логическом пространстве во всех направлениях должно иметь одинаковую перспективу. Полагание логического пространства, таким образом, эквивалентно требованию, чтобы мышление имело только один выбор, т. е. перспективу истины. Но иметь только одну перспективу — это значит уже не иметь выбора; истина в так понимаемом мышлении выступает как бесперспективная перспектива; иначе говоря, истинное мышление в логическом пространстве оказывается пусть и тавтологичным, мышление во времени было бы, напротив, перспективным мышлением, мышлением интенсивным, содержательным, соизмеримым силовым центрам, т. е. специфическим, конкретным мышлением.¹⁷

Предлагаемая логика, которая выполняла бы указанные требования, не была бы ни формальной, ни диалектической. В такой логике нет необходимости как исключать противоречие, так и постулировать его полагание, развитие и снятие. Вероятно, в ней нельзя осуществить строгих доказательств, поскольку следствия не совпадают с посылками. Выводы в ней получаются в процессе экспериментирования мысли с изменяющимися состояниями мыслящего, которые происходят за время повторного применения правила. Это—постоянная «постановка — к — диспозиции» и пересмотр правил игры в соревновании, в котором каждый изменяет себя и свои масштабы, смешиваясь с другими участниками игры и их масштабами, В перспективе проекта такой логики ситуацию, представленную вначале, можно истолковать таким образом: при пер-

¹⁶ Выражение Гераклита «Границ души тебе не отыскать, по какому бы пути [ = в каком бы направлении] ты ни пошел: столь глубока ее мера.. .»(Фрагменты ранних греческих философов. Ч. I / Отв. ред. И. Д. Рожанский. М, 1989. С. 231) можно истолковать как противоположность между экстенсивным — положенным в пространстве и интенсивным — развивающимся во времени пониманием души и мышления. Точно так же Тимей в одноименном диалоге Платона считает время более адекватным обозначением мировой души, чем пространство.

¹⁷ Ницше Ф. Неопубликованные фрагменты 1887—1889 гг. // Kriti­sche Studienausgabe. Ос Gruyter. Berlin; New York, 1988. Bd. 13. S_; 373.— Все сформулированные здесь требования логики времени можно найти уже у Ницше.

вых шагах в пространстве, изобретенном Парменидом, были еще сомнения: почему именно пространство является средой обитания логического мышления? А если бы Парменид выбрал время?