Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую.

Системы счисления.

Система счисления - способ отображения чисел с помощью некоторого конечного множества символов на каком-либо носителе и правила действий над ними. В основном, различают непозиционные и позиционные системы счисления.

Непозиционная система счисления- система счисления, в которой для обозначения чисел вводятся специальные знаки, количественное значение которых всегда одинаково и не зависит от их места в записи числа.

Ярким примером непозиционной системы счисления можно назвать римскую систему счисления.

Первые следы появления этой системы счисления появились около 500 до нашей эры у этрусков.

Сегодня непозиционная система счисления используется, например, в римской системе счисления, в которой для записи чисел используются следующие буквы латинского алфавита:

· I - "один";

· V - "пять";

· X - "десять";

· L - "пятьдесят";

· C - "сто";

· D - "пятьсот";

· M - "тысяча".

Порядок написания таков, сначала пишется число для тысяч, затем для сотен, десятков и единиц, при этом, при записи чисел используется правило:

· каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него;

· каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к нему.

Например, напишем число 3681 в римской системе счисления.

3681 = 3000 + 600 + 80 + 1.

3000 это MMM;

600 это DC;

80 это LXXX;

1 это I.

Объединяем записи, 3681 это MMMDCLXXXI.

Чтобы выделить число в тексте, сверху или снизу или и там и там ставили черту, например:

MMMDCLXXXI, MMMDCLXXXI, MMMDCLXXXI.

Позиционная система счисления - система счисления, которая использует для записи чисел ограниченное число знаков, интерпретация которых зависит от позиции внутри записи числа. Позиция - некоторое место в числе, в котором может быть представлен лишь один знак.

Примером позиционной системы счисления является десятичная система, где используется цифры: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Кроме того, для обозначения отсутствия цифры используется знак 0. Всего получается 10 знаков: 1 – 9 и 0.

В повседневной практике мы пользуемся, как правило, десятичной системой счисления. Почему именно эта система счета получила наибольшее распространение, ответить затруднительно. В литературе, как правило, в качестве обоснования приводится тот факт, что на руках человека - в сумме 10 пальцев. Вряд ли это обоснование можно принимать всерьез. На практике мы сталкиваемся с более сложными системами. Например: в системе счета времени используется смешанная система счета, где 1 минута = 60 секундам, 1 сутки = 24 часам, а 1 неделя = 7 суткам.

В старину для определения единицы длины люди использовали части своего тела.

В России широко использовались следующие единицы длины: пядь, локоть, сажень.

Пядь - это расстояние между растянутыми большим и указательным пальцами. Длина пяди была от 17 до 22 см.

Локоть - это длина руки от локтевого сгиба до кончика среднего пальца. Локоть имел длину от 42 до 54 см.

Сажень - это расстояние между кончиками пальцев вытянутых рук. Длина прямой сажени 152,7 см.

Косая сажень - это расстояние между пальцами вытянутой вверх левой руки и носком отставленной правой ноги. Длина косой сажени - 216 см.

В Англии и США до сих пор используется следующие единицы:

· фут ("ступня") - 31 см,

· дюйм ("большой палец") - 25 мм,

· ярд - 91 см. - единица длины, появившаяся почти 900 лет назад. Она была равна расстоянию от кончика носа короля Генриха I до конца пальцев его вытянутой руки.

В любой позиционной системе счисления число, соответствующее количеству используемых видов знаков при написании чисел в данной системе, называется основанием системы счисления.

Как мы уже отмечали, в десятичной системе используется 10 знаков, поэтому основание равно 10. Обозначим основание любой системы счисления буквой “p”. В десятичной системе: p = 10. Чтобы указать, какая система счисления используется, у числа справа подстрочным знаком пишется основание.

Например: 376₁₀, 749₁₀

Вспомним правила представления чисел.

Например:

17549₁₀ = 10000 + 7000 + 500 + 40 + 9=

= 1*10000 + 7*1000 + 5*100 + 4*10 + 9*1=

= 1*10⁴ + 7*10³ + 5*10² + 4*10¹ + 9*10⁰ =

= 1*p⁴ + 7*p³ + 5*p² + 4*p¹ + 9*p⁰ =

= 9*p⁰ + 4*p¹ + 5*p² + 7*p³ + 1*p⁴ =

= a₀*p⁰ + a₁*p¹ + a₂*p² + a₃*p³ + a₄*p⁴,

где: a₀ = 9, a₁ = 4, a₂ = 5, a₃ = 7, a₄ = 1, p = 10.

Число 17549₁₀ , учитывая указанные выше коэффициенты, можно записать как a₄ a₃ a₂ a₁ a_{0 p}.

a₀*p⁰ + a₁*p¹ + a₂*p² + a₃*p³ + a₄*p⁴ - развернутая запись числа a₄ a₃ a₂ a₁ a_{0 p}.

В отличие от системы счета времени, десятичная система является однородной, т.е. одних и тех же десятичных символов достаточно, чтобы изобразить любое число. В то время как в смешанных системах нужно придумывать все новые и новые символы для того, чтобы изобразить следующее по величине число.

Таким образом, однородность - одно из важных свойств позиционных систем.

Кроме десятичной системы счисления можно рассмотреть любую позиционную систему счисления, предварительно указав, какие символы и правила в ней действуют.

Например:

· P = 2 – двоичная система счисления.
Использует знаки: 0, 1.

· P = 8 – восьмеричная система счисления.
Использует знаки: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

· P = 16 – шестнадцатеричная система счисления.
Использует знаки: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

О правилах поговорим ниже.

2.2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую может быть выполнен:

1. вручную,

2. на ЭВМ (с помощью специальных программ).

Во всех этих случаях принципиально используется различные подходы и методы. Мы рассмотрим методы, направленные на ручной перевод.

В качестве промежуточной системы используется, естественно, десятичная система. Вначале число переводится из системы "p" в 10-ую, затем из 10-ой в систему с нужным основанием.

Обычно произвольное число, содержащее целую и дробную части, переводят по частям: вначале целую, затем дробную часть.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую.

Сначала переведем целую часть числа из десятичной системы в "p" систему:

Перевод осуществляется по следующему правилу:

· исходная целая часть десятичного числа, записанная в системе с основанием 10 делится на число p.

· полученное частное делится на число p.

· новое полученное частное делится на число p.

· деление производится в десятичной системе и продолжается до получения результата, меньшего p.

Полученные остатки представляют число с основанием p, причем, первый остаток, меньший p, дает младшую цифру числа.

Пример перевода целого числа из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления представлен на рис 2.1.

Теперь переведем дробную часть числа из десятичной системы в "p" систему:

Перевод осуществляется по следующему правилу:

дробная часть числа последовательно умножается на число p, записанное в десятичной системе,

целые части получаемых произведений дают цифры "p" системы, начиная со старшей цифры.

Умножение производится до получения необходимой точности.

Пример перевода дробной части числа из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления представлен на рис 2.2.