Закон розподілу та числові характеристики функції немонотонного неперервного випадкового аргументу

Нехай неперервна випадкова величина із щільністю розподілу ймовірностей і випадкова величина . Нехай функція неперервна, кусково-монотонно диференційовна функція на області визначення, тоді кожна її монотонна частина має свою обернену функцію , і=1,2,...., n, де п – число монотонних частин функції . У цьому випадку щільність розподілу випадкової величини знаходиться за формулою:

. (20.6)

Дійсно, припустимо, що графіком функції буде крива представлена на рис. 20.4.

Рис.20.4.

Розділимо область визначення функції на монотонні частини. На рис. 20.4 такими частинами будуть інтервали , , , , . В кожній з цих частин існує обернена монотонна функція , і=1,2,... 5. Розглянемо подію . Ця подія відбудеться, якщо випадкова точка попаде на ту частину кривої , що розташована нижче прямої . Таким чином, подія рівносильна об’єднанню несумісних подій , , , , . Отже,

Диференціюємо останню рівність по , використовуючи формулу (20.3), маємо

У загальному випадку маємо формулу (20.6).

Для знаходження числових характеристик випадкової величини використовуємо формули аналогічні формулам (20.4) та (20.5).

Приклад 20.8. Випадкова величина має рівномірний розподіл в інтервалі . Знайти закон розподілу випадкової величини .

Розв’язання. Функція – немонотонна функція в інтервалі . У цьому інтервалі вона складається з двох монотонних частин. Отже, при має обернену функцію y, при оберненою функцією буде .З умови задачі щільність розподілу випадкової величини дорівнює: