Електричний заряд. Закон Кулона
Подібно до поняття гравітаційної маси тіла в механіці Ньютона, поняття заряду в електродинаміці є первинним, основним поняттям.
Електричний заряд - це фізична величина, що характеризує властивість часток або тіл вступати в електромагнітні силові взаємодії.
Електричний заряд зазвичай позначається буквами q або Q.
Сукупність усіх відомих експериментальних фактів дозволяє зробити наступні висновки:
1. Існує два роди електричних зарядів, умовно названих позитивними і негативними.
2. Заряди можуть передаватися (наприклад, при безпосередньому контакті) від одного тіла до іншого. На відміну від маси тіла електричний заряд не є невід'ємною характеристикою тіла. Одне і те ж тіло в різних умовах може мати різний заряд.
3. Однойменні заряди відштовхуються, різнойменні - притягуються. У цьому також проявляється принципова відмінність електромагнітних сил від гравітаційних. Гравітаційні сили завжди є силами тяжіння.
Одним з фундаментальних законів природи є експериментально встановлений закон збереження електричного заряду.
У ізольованій системі сума зарядів усіх тіл залишається постійною: q1+q2+q3+..+qn=const.
З сучасної точки зору, носіями зарядів є елементарні частинки. Усі звичайні тіла складаються з атомів, до складу яких входять позитивно заряджені протони, негативно заряджені електрони і нейтральні частинки - нейтрони. Протони і нейтрони входять до складу атомних ядер, електрони утворюють електронні оболонки атомів. Електричні заряди протона і електрона по модулю однакові і дорівнюють елементарному заряду e.
e=1,602177·10-19 Кл ≈ 1,6·10-19 Кл.
У нейтральному атомі число протонів в ядрі дорівнює числу електронів в оболонках. Це число називається атомним номером. Атом цієї речовини може втратити один або декілька електронів або придбати зайвий електрон. У цих випадках нейтральний атом перетворюється на позитивно або негативно заряджений іон.
Заряд може передаватися від одного тіла до іншого тільки порціями, що містять ціле число елементарних зарядів. Таким чином, електричний заряд тіла - дискретна величина:
q = ± n·е(n=1,2,3 .- ціле число)
Кулон - це заряд, що проходить за 1 с через поперечний переріз провідника при силі струму 1 А (ампер).
У експериментах для виявлення і виміру електричних зарядів використовується електрометр - прилад, що складається з металевого стержня і стрілки, яка може обертатися навколо горизонтальної осі (рис. 3.1). Стержень із стрілкою ізольований від металевого корпусу. При доторканні зарядженого тіла із стержнем електрометра, електричні заряди одного знаку розподіляються по стержню і стрілці. Сили електричного відштовхування викликають поворот стрілки на деякий кут, по якому можна визначити заряд, переданий стержню електрометра.
Рисунок 3.1.
Уперше закон взаємодії нерухомих зарядів був встановлений французьким фізиком Шарлем Кулоном (1785 р.). У своїх дослідах Кулон вимірював сили притягання і відштовхування заряджених кульок за допомогою сконструйованого ним приладу - крутильних вагів (рис. 3.2), що відрізнялися надзвичайно високою чутливістю. У дослідах Кулона вимірювалася взаємодія між кульками, розміри яких багато менші відстані між ними. Такі заряджені тіла прийнято називати точковими зарядами.
Точковим зарядом називають заряджене тіло, розмірами якого в умовах даного завдання можна знехтувати.
Сили взаємодії нерухомих точкових зарядів прямо пропорційні добутку модулів зарядів і обернено пропорційні до квадрата відстані між ними:
. (3.1)
Рисунок 3.2. Рисунок 3.3.
Сили взаємодії підпорядковуються третьому закону Ньютона. Вони являються силами відштовхування при однакових знаках зарядів і силами притягування при різних знаках (рис. 3.3). Взаємодію нерухомих електричних зарядів називають електростатичною або кулонівською взаємодією. Розділ електродинаміки, що вивчає кулонівську взаємодію, називають електростатикою.
Закон Кулона справедливий для точкових заряджених тіл. Практично закон Кулона добре виконується, якщо розміри заряджених тіл багато менші відстані між ними.
Коефіцієнт k в (3.1) дорівнює:
, (3.2)
де 
- електрична стала.
ε -діелектрична проникність середовища.
Електричне поле
Електричні заряди наділяють простір, що оточує їх, особливими фізичними властивостями - створюють електричне поле. Основною властивістю поля є те, що на заряджене тіло, що знаходиться в цьому полі, діє сила, тобто взаємодія заряджених тіл здійснюється за допомогою електричних полів.
Характеристикою електричного поля є векторна величина Е напруженість поля. Напруженість чисельно дорівнює силі, яка діє на одиничний пробний заряд.
. (3.3)
Якщо електричне поле створене точковим зарядом, то величину напруженості поля можна розрахувати по формулі
. (3.4)
 | |||||||
| |  | ||||||
 | |||||||
Рисунок 3.4.
На рисунку 3.4 показані напрями векторів напруженості електричного поля позитивного і негативного точкового заряду. З малюнка видно, що вектор напруженості спрямований від заряду, якщо заряд позитивний і до заряду, якщо заряд негативний.
Принцип суперпозиції електричного поля.
Якщо електричне поле створюється декількома зарядами, то напруженість результуючого поля в цій точці визначається векторною сумою напруженостей кожного заряду.
.
На рисунку 3.5 показана напруженість результуючого поля двох точкових зарядів q1 і q2в точці О.
О 
q1 
q2
Рисунок 3.5.
У тому випадку, коли заряджене тіло не можна вважати точковим, формулу напруженості електричного поля треба записувати в диференціальному виді.
. (3.5)
де dE - елементарна напруженість електричного поля елементарного заряду dq.
Приклад розв’язку задачі :
Розрахувати напруженість електричного поля в точці, віддаленій на 1 см від центру рівномірно зарядженого тонкого стержня завдовжки 1 м Заряд стержня дорівнює
1 нКл.
Розв’язок.
В даному випадку заряджене тіло не можна вважати точковим зарядом, тому для вирозв’язку задачі поступимо таким чином. Заряджений стержень подумки розіб'ємо на нескінченно малі ділянки завдовжки dl, кожна ділянка стержня містить заряд dq і в точці О електричного поля створює напруженість
dq dl
r r0
О
Результуюча напруженість дорівнює векторній сумі елементарних напряженностей . Якщо вектор розкласти на два складових вектори то в результаті інтегруванняї , так,. як сума усіх складових через симетрію дорівнює 0. Тоді вектор напруженості результуючого поля в точці О буде спрямований так само як , а його модуль рівний
Далі необхідно перетворити вираз щоб прийти до однієї змінної інтегрування. Введемо поняття лінійної густини заряду тоді dq=τdl,
,
Так, як довжина стержня l набагато більша відстані r0 α1 прагне до нуля, α2 прагне до 180°.
.
Тоді .
У розрахунках було прийнято, що заряджене тіло знаходилося у вакуумі (чи повітрі) ε=1
§ 40. Потік вектора напруженості електричного поля. Теорема Гауса для електричного поля у вакуумі
Експериментально встановлені закон Кулона і принцип суперпозиції дозволяють повністю описати електростатичне поле заданої системи зарядів. Проте, властивості електростатичного поля можна виразити в іншій, загальнішій формі, не удаючись до уявлення про кулонівське поле точкового заряду.
Лінії напруженості електричного поля
Для зручності і наочності електричне поле часто зображують графічно за допомогою силових ліній напруженості. Це лінії, дотичні до яких в кожній точці співпадають з напрямом вектора напруженості.
Лініям напруженості приписують напрям, співпадаючий з напрямом вектора напруженості, вони завжди починаються на позитивному заряді і закінчуються на негативному. Оскільки в кожній цій точці простору вектор напруженості має лише один напрям, то лінії напруженості ніколи не перетинаються. На рисунку 3.6. показані лінії напруженості електричного поля.
Рисунок 3.6.
Силові лінії проводяться в такій кількості, щоб для будь-якої області поля виконувалася наступна чисельна рівність: число силових ліній, що пронизують одиницю площі поверхні, перпендикулярну лініям напруженості, має дорівнювати модулю вектора Е.
Введемо нову фізичну величину, що характеризує електричне поле - потік Φ вектора напруженості електричного поля.
Нехай в просторі, де створено електричне поле, розташований деякий досить малий майданчик ΔS. Добуток модуля вектора Е на площу ΔS і на косинус кута α між вектором Е і нормаллю n до майданчика називається елементарним потоком вектора напруженості через майданчик ΔS (рис. 3.7) :
ΔΦ = EΔS cos α = EnΔS, або dΦ=EndS .(3.6)
Рисунок 3.7.
Розглянемо тепер деяку довільну замкнуту поверхню S (рис 3.8). Якщо розбити цю поверхню на малі майданчики ΔSi, і визначити елементарні потоки ΔΦi поля E через ці малі майданчики, а потім їх підсумувати, то в результаті ми отримаємо потік Φ вектора E через замкнуту поверхню S:
. (3.7)
У разі замкнутої поверхні завжди вибирається зовнішня нормаль.
Рисунок 3.8.
Теорема Гауса стверджує:
Потік вектора напруженості електростатичного поля у вакуумі через довільну замкнуту поверхню дорівнює сумі зарядів, розташованих усередині цієї поверхні поділену на електричну сталу ε0.
(3.8)
Використовуючи теорему Гауса, можна у ряді випадків легко розрахувати напруженість електричного поля навколо зарядженого тіла, якщо заданий розподіл зарядів має яку-небудь симетрію.
Знайдемо напруженість поля тонкостінного полого однорідно-зарядженого довгого циліндра радіусу R. З міркувань симетрії, електричне поле має бути спрямоване по радіусу. Тому для застосування теореми Гауса доцільно вибрати замкнуту поверхню S у вигляді співвісного циліндра деякого радіусу r і довжини L, закритого з обох торців (рис 3.9).
Рисунок 3.9.
При r ≥ Rувесь потік вектора напруженості проходитиме через бічну поверхню циліндра, площа якої дорівнює 2πrL, оскільки потік через обидві основи дорівнює нулю. Застосування теореми Гауса дає:
(3.9)
де τ= q/L - лінійна густина заряду.
Цей результат не залежить від радіусу R зарядженого циліндра, тому він може застосовуватися і до поля довгої однорідної зарядженої нитки.
Для визначення напруженості поля усередині зарядженого циліндра треба побудувати замкнуту поверхню для випадку r < R. В даному випадку потік вектора напруженості через бічну поверхню циліндра гауса має бути і в цьому випадку рівний Φ = E2πrL. Згідно з теоремою Гауса, цей потік пропорційний заряду, що виявився усередині замкнутої поверхні. Цей заряд дорівнює нулю. Звідси витікає, що електричне поле усередині однорідно-зарядженого довгого порожнистого циліндра дорівнює нулю.
Аналогічним чином можна застосувати теорему Гауса для визначення електричного поля у ряді інших випадків, коли розподіл зарядів має яку-небудь симетрію. У кожному з таких випадків треба вибирати замкнуту поверхню доцільної форми. Наприклад, у разі центральної симетрії поверхню зручно вибирати у вигляді сфери з центром в точці симетрії. При осьовій симетрії замкнуту поверхню треба вибирати у вигляді співвісного циліндра, замкнутого з обох торців (як в розглянутому вище прикладі). Якщо розподіл зарядів не має якої-небудь симетрії і загальну структуру електричного поля вгадати неможливо, застосування теореми Гауса не може спростити завдання визначення напруженості поля.
Розглянемо ще один приклад симетричного розподілу зарядів - визначення поля рівномірно зарядженої площини (рис. 3.10).
Рисунок 3.10.
В цьому випадку поверхню Гауса S доцільно вибрати у вигляді циліндра деякої довжини, закритого з обох торців. Вісь циліндра спрямована перпендикулярно зарядженій площині, а його торці розташовані на однаковій відстані від неї. Через симетрію поле рівномірно зарядженої площини має бути скрізь спрямоване по нормалі. Застосування теореми Гауса дає:
(3.10)
де σ =q/S- поверхнева густина заряду, тобто заряд, що приходиться на одиницю площі.
Отриманий вираз для електричного поля однорідної зарядженої площини можна застосувати і у разі плоских заряджених площин кінцевого розміру. В цьому випадку відстань від точки, в якій визначається напруженість поля, до зарядженої площини має бути значно менша розмірів площини.
§41. Робота електричного поля по переміщенню заряду. Потенціал
При переміщенні пробного зарядуq в електростатичному полі електричні сили здійснюють роботу (рис. 3.11). Ця робота при малому переміщенні Δl становить:
. (3.11)
Рисунок 3.11.
Розглянемо роботу сил електростатичного поля по переміщенню точкового заряду.
На рисунку 3.12 зображені силові лінії кулонівського поля точкового заряду Qі дві різні траєкторії переміщення пробного заряду q з початкової точки (1) в кінцеву точку (2). На одній з траєкторій виділено мале переміщення Δl. Елементарна робота ΔA кулонівських сил на цьому переміщенні дорівнює:
. (3.12)
Рисунок 3.12.
Якщо вираз (3.12) проінтегрувати на інтервалі від r = r1 до r = r2, отримаємо повну роботу:
. (3.13)
Отриманий результат не залежить від форми траєкторії. На траєкторіях I і II, зображених на рисунку 3.12, роботи кулонівських сил однакові. Якщо на одній з траєкторій змінити напрям переміщення заряду q на протилежне, то робота змінить знак. Звідси витікає, що на замкнутій траєкторії робота кулонівських сил дорівнює нулю.
Отже електростатичне поле має важливу властивість:
Робота сил електростатичного поля при переміщенні заряду з однієї точки поля в іншу не залежить від форми траєкторії, а визначається тільки положенням початкової і кінцевої точок і величиною заряду.
Наслідком незалежності роботи від форми траєкторії є наступне твердження:
Робота сил електростатичного поля при переміщенні заряду по будь-якій замкнутій траєкторії дорівнює нулю.
Силові поля, що мають цю властивість, називають потенціальними або консервативними.
В тому випадку, коли електростатичне поле створюється сукупністю точкових зарядів Qi, то при переміщенні пробного заряду q робота результуючого поля A відповідно до принципу суперпозиції складатиметься з робіт Ai кулонівських полів точкових зарядів:
.
Оскільки кожен член суми Ai не залежить від форми траєкторії, то і повна робота A результуючого поля не залежить від шляху і визначається тільки положенням початкової і кінцевої точок.
Властивість потенціальності електростатичного поля дозволяє ввести поняття потенціальної енергії заряду в електричному полі.
Для цього в просторі вибирається деяка точка (0), і потенціальна енергія заряду q, поміщеного в цю точку, приймається рівною нулю.
Потенціальна енергія заряду q, поміщеного в будь-яку точку (1) простору, відносно фіксованої точки (0) дорівнює роботі A10, яку виконає електричне поле при переміщенні заряду q з точки (1) в точку (0):
Wp1 = A10.
(В електростатиці енергію прийнято означати буквою W, оскільки буквою E позначають напруженість поля.)
Так само, як і в механіці, потенціальна енергія визначена з точністю до сталої величини, залежної від вибору опорної точки (0). Така неоднозначність у визначенні потенціальної енергії не призводить до яких-небудь непорозумінь, оскільки фізичний зміст має не сама енергія, а різниця її значень в двох точках простору.
Робота, що здійснюється електричним полем при переміщенні точкового заряду q з точки (1) в точку (2), дорівнює різниці значень потенціальної енергії в цих точках і не залежить від шляху переміщення заряду і від вибору точки (0).
A12 = A10 + A02 = A10 - A20 = Wp1 - Wp2.(3.14)
Фізичну величину, рівну відношенню потенціальної енергії електричного заряду в електростатичному полі до величини цього заряду, називають потенціалом φ електричного поля :
. (3.15)
Потенціал φ є енергетичною характеристикою електростатичного поля.
Робота A12 по переміщенню електричного заряду q з початкової точки (1) в кінцеву точку (2) дорівнює добутку заряду на різницю потенціалів (φ1 - φ2) початкової і кінцевої точок
A12 = Wp1 - Wp2 = qφ1 - qφ2 = q(φ1 - φ2).(3.16)
У Міжнародній системі одиниць (СІ) одиницею потенціалу являється вольт (В).
1 В = 1 Дж / 1 Кл.
У багатьох завданнях електростатики при обчисленні потенціалів за опорну точку (0) зручно прийняти нескінченно віддалену. В цьому випадку поняття потенціалу може бути визначене таким чином:
Потенціал поля в заданій точці простору дорівнює роботі, яку здійснюють електричні сили пр переміщенні одиничного позитивного заряду з цієї точки в безкінченність.
Для наочного представлення електричного поля разом з силовими лініями використовують еквіпотенціальні поверхні.
Поверхня, в усіх точках якої потенціал електричного поля має однакові значення, називається еквіпотенціальною поверхнею або поверхнею рівного потенціалу.
Силові лінії електричного поля завжди перпендикулярні еквіпотенціальним поверхням.
На рисунку 3.13 представлені картини силових ліній і еквіпотенціальних поверхонь деяких простих електростатичних полів.
Рисунок 3.13.
Еквіпотенціальні поверхні (сині лінії) і силові лінії (червоні лінії) простих електричних полів : a - точковий заряд; b - електричний диполь; c - два рівні позитивні заряди.
У разі однорідного поля еквіпотенціальні поверхні є системою паралельних площин.
Якщо пробний заряд q переміщується на відстань Δr уздовж силової лінії з точки (1) в точку (2), то елементарна робота сил поля дорівнює:
ΔA12 = qEΔr= q(φ1 – φ2) = – qΔφ,
З відси слідує, що (3.17)
Вираз (3.17) в скалярній і векторній формі виражає зв'язок між напруженістю поля і потенціалом.
Потенціал φ поля точкового заряду Q на відстані r від нього відносно нескінченно віддаленої точки обчислюється таким чином:
. (3.18)
Як випливає з теореми Гауса, ця ж формула виражає потенціал поля рівномірно зарядженої кулі (чи сфери) при r ≥ R, де R - радіус кулі.
З принципу суперпозиції напруженості електричного поля, слідує принцип суперпозиції для потенціалів:
φ = φ1 + φ2 + φ3 + ..
§ 42. Діелектрики і провідники в електричному полі. Поляризація діелектриків. Електроємність. Конденсатори
Діелектрики (ізолятори) складаються з нейтральних атомів і молекул. На відміну від металів, електрони в атомах діелектрика сильно пов'язані зі своїми ядрами. Тому вони не можуть переміщатися під дією електричного поля по усьому об'єму діелектрика. Це означає, що діелектрики не здатні проводити електричний струм.
Існує 2 типи діелектриків: полярні і неполярні. У молекулі полярного діелектрика центри "тяжіння" негативно заряджених електронів і позитивно заряджених ядер атомів, що входять до складу молекули, не співпадають. Таку молекулу можна розглядати як електричний диполь (сукупність двох рівних по модулю різнойменних точкових зарядів, розташованих на деякій відстані один від одного). Диполь характеризується векторною величиною 
, яка називається дипольним електричним моментом. По модулю дипольний момент дорівнює абсолютному значенню заряду, помноженому на відстань між зарядами. За напрям вектора береться напрям від негативного заряду диполя до позитивного. Внаслідок теплового руху дипольні моменти полярних молекул безладно орієнтовані в об'ємі діелектрика і їх результуючий момент дорівнює нулю.
.
У молекулі неполярного діелектрика центри "тяжіння" негативних і позитивних зарядів співпадають. Тому дипольний момент такої молекули дорівнює нулю, а значить і результуючий момент неполярного діелектрика також дорівнює нулю.
Розглянемо тепер, що станеться з полярним діелектриком, якщо помістити його в зовнішнє електричне поле у вакуумі, напруженість якого становить Е0. Сили зовнішнього поля прагнутимуть повернути диполі молекул діелектрика уздовж поля і результуючий дипольний момент усього діелектрика вже буде відмінний від нуля ( 
). Внаслідок цього на протилежних гранях діелектрика з'являться пов'язані заряди протилежного знаку, що приведе до виникнення власного електричного поля напруженістю Е, спрямованого проти зовнішнього поля. Напруженість результуючого поля Ер усередині діелектрика буде рівна Е0 - Е. Таким чином, результуюче поле усередині діелектрика буде ослабленим в порівнянні з полем у вакуумі. Величина діелектричної проникності діелектрика ( якраз і показує в скільки разів ослабляється поле усередині діелектрика в порівнянні з полем у вакуумі (e=Е0/Е). Розглянуте явище появи різнойменних пов'язаних зарядів на протилежних гранях полярного діелектрика при внесенні його в зовнішнє електричне поле називається поляризацією діелектрика.
Якщо в зовнішнє електричне поле помістити неполярний діелектрик, то пов'язані заряди кожної молекули діелектрика змістяться в протилежні сторони, утворюючи електричні диполі. Результуючий дипольний момент усього діелектрика буде відмінний від нуля ( 
). Так само, як і у випадку з полярним діелектриком, станеться поляризація неполярного діелектрика, в результаті якої поле усередині діелектрика буде ослабленим в порівнянні з полем у вакуумі.
До провідників відносяться тіла, в яких є вільні (не пов'язані) електричні заряди. Зокрема, в металах вільними електричними зарядами є валентні електрони атомів, з яких складається метал.
У звичайному стані вільні заряди провідників хаотично переміщаються по усьому об’єму тіла. Внесення провідника в зовнішнє електричне поле викличе впорядкований рух вільних зарядів під дією сил цього поля: позитивні заряди рухатимуться у напрямі поля (тобто у напрямі вектора 
), негативні - в протилежну сторону (тобто проти напряму вектору ). В результаті цього на кінцях провідника виникнуть заряди протилежного знаку, які називаються . індукційними. Перерозподіл вільних зарядів відбуватиметься до тих пір, поки напруженість поля усередині провідника не стане рівною нулю, тобто до тих пір, поки електричне поле усередині провідника зникне. Тоді усі точки провідника, включаючи його поверхню, виявляться еквіпотенціальними (тобто матимуть однаковий потенціал). Якби поле усередині провідника увесь час існувало, то мав би місце безперервний впорядкований рух вільних зарядів під дією сил поля, тобто в провіднику існував би електричний струм без джерела струму, а це суперечило б закону збереження енергії.
Якщо нейтральному провідник має надмірні вільні заряди, вони повинні розподілитися по провідникові так, щоб електричне поле усередині провідника було відсутнє. Відповідно потенціал в будь-якій точці провідника, включаючи поверхню провідника, буде однаковим. Застосовуючи теорему Гауса (3.8) для простору усередині провідника, де поле відсутнє (Е=0), отримаємо: 
. Цей результат означає, що простір усередині провідника являється електрично нейтральним. Звідси витікає, що усі надмірні вільні заряди, які були передані провідникові, розташовуються на поверхні провідника.
Електрична ємність
Якщо двом ізольованим один від одного провідникам передати заряди q1 і q2, то між ними виникає деяка різниця потенціалівΔφ, залежна від величин зарядів і геометрії провідників. Різницю потенціалів Δφ між двома точками в електричному полі часто називають напругою і позначають буквою U. Найбільший практичний інтерес представляє випадок, коли заряди провідників однакові по модулю і протилежні за знаком. В цьому випадку можна ввести поняття електричної ємності.
Електроємністю системи з двох провідників називається фізична величина, яка визначається відношенням заряду q одного з провідників до різниці потенціалівΔφ між ними:
(3.19)
У СІ одиниця електроємності називається фарад (Ф) : .
Електроємність залежить від форми і розмірів провідників і від властивостей діелектрика, що розділяє провідники. Існують такі конфігурації провідників, при яких електричне поле виявляється зосередженим (локалізованим) лише в деякій області простору. Такі системи називаються конденсаторами, а провідники, що становлять конденсатор, називаються обкладками.
Простим конденсатором являється система з двох плоских пластин, розташованих паралельно одна одній на малій в порівнянні з розмірами пластин відстані і розділених шаром діелектрика. Такий конденсатор називається плоским. Електричне поле плоского конденсатора в основному локалізоване між пластинами (рис. 3.14); проте, поблизу країв пластинів і в навколишньому просторі також виникає порівняно слабке електричне поле, яке називають полем розсіяння. У цілому ряду завдань можна приблизно вважати, що електричне поле плоского конденсатора цілком зосереджене між його обкладками (рис. 3.15).
Рисунок 3.14. Рисунок 3.15.
Кожна із заряджених пластин плоского конденсатора створює поблизу поверхні електричне поле, модуль напруженості якого виражається співвідношенням (3.10)
.
Згідно з принципом суперпозиції, напруженість поля Е, що створюється обома пластинами, дорівнює сумі напруженостей Е+ і Е- полів кожної з пластин:
Е=Е++Е-.
Усередині конденсатора вектори Е+ і Е- і паралельні; тому модуль напруженості сумарного поля рівний
. (3.20)
Поза пластинами вектори Е+ і Е- - спрямовані в різні боки, і тому E = 0. Поверхнева густина заряду пластин σ=q/S, де q - заряд, а S - площа кожної пластини. Різниця потенціалів між пластинами в однорідному електричному полі Δφ=Ed, де d - відстань між пластинами. З цих співвідношень можна отримати формулу для електроємності плоского конденсатора :
(3.21)
Таким чином, електроємність плоского конденсатора прямо пропорційна площі пластин (обкладок) і обернено пропорційна до відстані між ними. Якщо простір між обкладками заповнений діелектриком, електроємність конденсатора збільшується в ε раз:
(3.22)
Прикладами конденсаторів з іншою конфігурацією обкладок можуть служити сферичний і циліндричний конденсатори. Сферичний конденсатор - це система з двох концентричних сфер радіусів R1 і R2. Циліндричний конденсатор - система з двох співісних циліндрів радіусів R1 і R2 і довжини L. Ємності цих конденсаторів, заповнених діелектриком з діелектричною проникністю ε, виражаються формулами:
З'єднання конденсаторів
Конденсатори можуть з'єднуватися між собою, утворюючи батареї конденсаторів. При паралельному з'єднанні конденсаторів (рис. 3.16) напруги на конденсаторах однакові: U1 = U2 = U, , а заряди різні q1 = С1 U і q2 = С2 U. Таку систему можна розглядати як єдиний конденсатор електроємності C, заряджений зарядом q=q1+q2 при напрузі між обкладками рівному U. Звідси слідує:
, (3.23)
Таким чином, при паралельному з'єднанні електроємності складаються.
 |  |
Рисунок 3.16. Рисунок 3.17.
При послідовному з'єднанні (рис. 3.17) однаковими виявляються заряди обох конденсаторів : q1=q2=q, а напруга на них різна U1 =q/C1іU2 =q/C2Таку систему можна розглядати як єдиний конденсатор, заряджений зарядом q при напрузі між обкладками
U = U1 + U2. Отже,
(3.24)
При послідовному з'єднанні конденсаторів складаються зворотні величини ємностей.
Формули для паралельного і послідовного з'єднання залишаються справедливими при будь-якому числі конденсаторів, сполучених в батарею.
§43. Енергія електричного поля
Дослід показує, що заряджений конденсатор містить запас енергії.
Енергія зарядженого конденсатора дорівнює роботі зовнішніх сил, яку необхідно витратити, щоб зарядити конденсатор.
Процес зарядки конденсатора можна представити як послідовне перенесення досить малих порцій заряду dq > 0 з однієї обкладки на іншу (рис. 3.18). При цьому одна обкладка поступово заряджається позитивним зарядом, а інша - негативним. Кожна порція dq переноситься в умовах, коли на обкладках вже є деякий заряд q, а між ними існує деяка різниця потенціалів. Тоді при перенесенні кожної порції dq зовнішні сили повинні виконати роботу
Енергія конденсатора ємності C, зарядженого зарядом Q, може бути знайдена шляхом інтегрування цього виразу в межах від 0 до Q:
. (3.25)
Рисунок 3.18.
Формулу, що виражає енергію зарядженого конденсатора, можна переписати в іншій формі, якщо скористатися співвідношенням Q = CU.
(3.26)
Електричну енергію We слід розглядати як потенціальну енергію, запасену в зарядженому конденсаторі.
Розглянемо плоский конденсатор. Напруженість однорідного поля в плоскому конденсаторі рівна
E = U/d,а його ємність , тоді
(3.27)
де V = Sd - об'єм простору між обкладками, зайнятий електричним полем. З цього співвідношення виходить, що фізична величина
(3.28)
є електричною (потенціальною) енергією одиниці об'єму простору, в якому створено електричне поле. Її називають об'ємною густиною електричної енергії.
Приклад розв’язку задачі :
Електричне поле створене рівномірно розподіленим по кільцю зарядом
( 
=1 мкКл/м).Визначити роботу сил поля по переміщенню заряду Q=10 нКл з точки 1 (у центрі кільця) в точку 2, що знаходиться на перпендикулярі до площини кільця (Рисунок нижче).
Дано:
τ= 1мкКл/м
Q=10 нКл
А1, 2 -?
| Розв’язку:
Робота сил електричного поля по переміщенню заряду дорівнює:
А12= Q(φ1 - φ2), деφ1 і φ2 -відповідно потенціали електричного поля в точках 1 і 2.
Потенціали поля в центрі кільця φ1 і на перпендикулярі до площини кільця φ2 створюється зарядом рівномірно розподіленому по кільцю.
 
|
Питання і завдання
1. Що таке електричне поле? Яка фізична величина є характеристикою електричного поля? Що таке лінійна, поверхнева і об'ємна густини зарядів?
2. Що називається силовими лініями електричного поля, як вони проводяться?
3. Що таке потік вектора напруженості електричного поля. Сформулюйте теорему Гауса.
4. Як довести, що електричне поле є потенціальним? Дайте визначення потенціалу даної точки електричного поля і різниці потенціалів.
5. Що таке еквіпотенціальна поверхня. Чому дорівнює робота сил електричного поля по переміщенню заряду уздовж еквіпотенціальної поверхні?
6. Що таке поляризація діелектриків. У чому відмінність поляризації діелектриків з полярними і не полярними молекулами?
7. Що відбувається з провідниками при внесенні їх в електричне поле?
8. На двох тонких нитках завдовжки 1м, підвішених до одного гачка,висять дві маленькі кульки однакової маси. Після передачі кулькам однакових зарядів 2,5·10-6 Кл вони розійшлися, причому нитки утворили кут 60°. Знайти масу кульок. (10 г).
9. Який заряд має порошинка вагою 6·10-11Н, якщо вона урівноважена в електричному полі, напруженість якого дорівнює 3·105 В/м?(2·10-16 Кл).
10. У двох вершинах рівностороннього трикутника із стороною 10 см знаходяться однакові точкові заряди 1 нКл. Знайти напруженість електричного поля в третій вершині.(1566 В/м).
11. Розрахувати напруженість електричного поля в точці, віддаленій на 1 см від кінця рівномірно зарядженого тонкого стержня завдовжки 1 м Заряд стержня дорівнює 1 нКл.( 891 В/м).
12. Використовуючи теорему Гауса розрахуйте напруженість електричного поля на відстані 1 см від нескінченної зарядженої нитки з лінійною густиною заряду
10 мкКл/м (1,8·107 В/м).
13. З якою силою взаємодіє точковий заряд 1 нКл з нескінченною зарядженою ниткою? Лінійна густина заряду нитки 8 мкКл/м, відстань між ниткою і зарядом
2 см (7,2 мкН).
14. Використовуючи теорему Гауса розрахуйте напруженість електричного поля рівномірно зарядженої кулі з об'ємною густиною заряду 5 нКл/м3 і радіусом 10 см на відстані 2см і 12 см від центра кулі. Побудувати графік залежності Е(r)? (3,8В/м, 13 В/м).
15. Використовуючи теорему Гауса розрахуйте напруженість електричного поля рівномірно зарядженої сфери з поверхневою густиною заряду 0,5 мкКл/м2 і радіусом 10 см на відстані 2см і 12 см від центра сфери. Побудувати графік залежності Е(r). (0, 393 В/м).
16. Електричне поле утворене зарядженою сферою радіусом 4 см, рівномірно зарядженою з поверхневою густиною заряду 1 нКл/м2. Визначити різницю потенціалів між двома точками поля, віддалених на відстані 6 і 10 см від поверхні сфери.
17. Електрон рухається у вакуумі по напряму силової лінії однорідного електричного поля. Його початкова швидкість 106 м/с. Яка різниця потенціалів початкової точки і точки, в якій швидкість електрона стане рівною нулю.(2,84 В).
18. Конденсатори ємністю С і 2С сполучені паралельно. Знайти заряд на другому конденсаторі, якщо заряд на першому дорівнює 2 мкКл. (4 мкКл).
19. Два конденсатори ємністю 5 і 10 мкФ підключені паралельно до джерела постійної напруги 100 В. Який заряд на пластинах кожного конденсатора?(500 мкКл, 1000 мкКл).
20. Різниця потенціалів між пластинами плоского конденсатора дорівнює 200 В. Площа кожної пластини 100 см2, відстань між пластинами 1 мм, простір між пластинами заповнений парафіном (ε=2). Визначити енергію зарядженого конденсатора.(3,54·10-6 Дж).
Тема 9
Електричний струм
Якщо ізольований провідник помістити в електричне поле, напруженості Е, то на вільні заряди q в провіднику діятиме сила F=qE. В результаті в провіднику виникає короткочасне переміщення вільних зарядів. Такий рух називається електричним струмом. За напрям електричного струму прийнятий напрям руху позитивних зарядів (рис. 3.19). Для існування електричного струму в провіднику необхідно створити в ньому електричне поле.
Кількісною мірою електричного струму служить сила струму I - скалярна фізична величина, рівна відношенню заряду Δq, який переноситься через поперечний переріз провідникаS за інтервал часу Δt, до цього інтервалу часу:
(3.29)
Якщо сила струму і його напрям не змінюються з часом, то такий струм називається постійним.
Рисунок 3. 19.
У Міжнародній системі одиниць СІ сила струму вимірюється в амперах (А). Одиниця виміру струму 1 А встановлюється по магнітній взаємодії двох паралельних провідників із струмом.
Векторна фізична величина, яка визначається силою струму, що проходить, через одиницю площі поперечного перерізу провідника - називається густиною струмуJ. Напрям вектора густини струму співпадає з напрямом струму.
(3.30)
§ 44. Сторонні сили. Електрорушійна сила. Напруга
Постійний електричний струм може бути створений тільки в замкнутому електричному колі, в якому вільні носії заряду циркулюють по замкнутих траєкторіях. Електричне поле в різних точках такого кола незмінне з часом. Отже, електричне поле в колі постійного струму має характер замороженого електростатичного поля. Але при переміщенні електричного заряду в електростатичному полі по замкнутій траєкторії, робота електричних сил дорівнює нулю. Тому для існування постійного струму потрібна наявність в електричному колі пристрою, здатного створювати і підтримувати різниці потенціалів на ділянках кола за рахунок роботи сил неелектричного походження. Такі пристрої називаються джерелами постійного струму. Сили неелектричного походження, що діють на вільні носії заряду з боку джерел струму, називаються сторонніми силами.
Природа сторонніх сил може бути різною. У гальванічних елементах або акумуляторах вони виникають в результаті електрохімічних процесів, в генераторах постійного струму сторонні сили виникають при русі провідників в магнітному полі. Джерело струму в електричному колі грає ту ж роль, що і насос, який потрібний для перекачування рідини в замкнутій гідравлічній системі. Під дією сторонніх сил електричні заряди рухаються усередині джерела струму проти сил електростатичного поля, завдяки чому в замкнутому колі може підтримуватися постійний електричний струм.
При переміщенні електричних зарядів по колу постійного струму сторонні сили, діючі усередині джерел струму, здійснюють роботу.
Фізична величина, рівна відношенню роботи Aст сторонніх сил при переміщенні заряду q від негативного полюса джерела струму до позитивного до величини цього заряду, називається електрорушійною силою джерела (ЕРС) :
. (3.31)
Таким чином, ЕРС визначається роботою, що здійснюється сторонніми силами при переміщенні одиничного позитивного заряду. Електрорушійна сила, як і різниця потенціалів, вимірюється у вольтах (В).
Коло постійного струму можна розбити на певні ділянки. Ті ділянки, на яких не діють сторонні сили (ділянки, що не містять джерел струму), називаються однорідними. Ділянки, що включають джерела струму, називаються неоднорідними.
При переміщенні одиничного позитивного заряду по неоднорідній ділянці кола роботу здійснюють як електростатичні (кулонівські), так і сторонні сили. Робота електростатичних сил визначається різницею потенціалів Δφ12 =φ1 - φ2 між початковою (1) і кінцевою (2) точками неоднорідної ділянки. Робота сторонніх сил визначається електрорушійною силою ε12, діючою на цій ділянці. Тому повна робота визначається величиною:
U12 = φ1 - φ2 + ε12.
ВеличинуU12 прийнято називати напругою на ділянці кола 1-2. У разі однорідної ділянки напруга дорівнює різниці потенціалів :
U12 = φ1 - φ2.
Закон Ома
Німецький фізик Георг Ом в 1826 році експериментально встановив, що сила струму I, що протікає по однорідному металевому провіднику, пропорційна напрузі U на кінцях провідника :
. (3.32)
Величина R називається електричним опором. Провідник, що має електричний опір, називається резистором. Співвідношення (3.32) виражає закон Ома для однорідної ділянки кола: сила струму в провіднику прямо пропорційна прикладеній напрузі і обернено пропорційна опору провідника.
У СІ одиницею електричного опору провідників служить Ом (Ом). Опір 1 Ом має така ділянка кола, в якій при напрузі 1 В виникає струм силою 1 А.
Для однорідного лінійного провідника опір прямо пропорційний його довжині l і обернено пропорційний до площі поперечного перерізу S:
(3. 33)
ρ -питомий електричний опір матеріалу провідника (вимірюється в Ом·м).
Закон Ома можна представити в диференціальній формі:
(3.34)
де величина γ - питома електрична провідність.
Е -напруженість електричного поля в провіднику.
Оскільки в провіднику носії струму в кожній точці рухаються у напрямі вектора Е, то напрями густини струму J і напруженості електричного поля співпадають Е.
Провідники, що підпорядковуються закону Ома, називаються лінійними. Графічна залежність сили струму I від напруги U зображується прямою лінією, що проходить через початок координат (такі графіки називаються вольт-амперними характеристиками, скорочено ВАХ). Слід зазначити, що існує багато матеріалів і пристроїв, де закон Ома не виконується. До них відносяться напівпровідниковий діод або газорозрядна лампа. Навіть у металевих провідників при досить великих струмах спостерігається відхилення від лінійного закону Ома, оскільки електричний опір металевих провідників росте із зростанням температури.
Для ділянки кола, що містить ЕРС, закон Ома записується в наступній формі:
IR = U12 = φ1 - φ2 +ε = Δφ12 +ε. (3.35)
Вираз (3.35) прийнято називати узагальненим законом Ома для ділянки електричного кола.
Рисунок 3.20.
На рисунку 3.20 зображене замкнуте коло постійного струму.
Ділянка кола (cd) є однорідною. За законом Ома
IR = Δφcd.
Ділянка (ab) містить джерело струму з ЕРС, рівною εі опором r. За законом Ома для неоднорідної ділянки:
I·r= Δφab + ε.
Склавши обидві рівності, отримаємо: I(R+ r) = Δφcd + Δφab +ε. .
Але Δφcd = Δφba = - Δφab, тому
(3.36)
Ця формула виражає закон Ома для повного електричного кола: сила струму в повному колі дорівнює електрорушійній силі джерела поділеній на суму опорів однорідного і неоднорідного ділянок кола.
Опір rнеоднорідної ділянки на рисунку 3.20 можна розглядати як внутрішній опір джерела струму. В цьому випадку ділянка (ab) на рисунку 3.20 є внутрішньою ділянкою джерела.
Якщо точки a і b замкнути провідником, опір якого малий в порівнянні з внутрішнім опором джерела (R << r), тоді в колі потече струм короткого замикання
(3.37)
Сила струму короткого замикання - максимальна сила струму, яку можна отримати від даного джерела з електрорушійною силою ε і внутрішнім опоромr. У джерел з малим внутрішнім опором струм короткого замикання може бути дуже великий і викликати руйнування електричного кола або джерела. Наприклад, у свинцевих акумуляторів сила струму короткого замикання може складати декілька сотень ампер. Особливо небезпечні короткі замикання в освітлювальних мережах, що живляться від підстанцій (тисячі ампер). Щоб уникнути руйнівної дії таких великих струмів, в коло включаються запобіжники або спеціальні автомати захисту мереж.
§ 46. Послідовне і паралельне з'єднання провідників. Правила Кірхгофа
Провідники в електричних колах можуть з'єднуватися послідовно і паралельно.
При послідовному з'єднанні провідників (рис. 3.21) сила струму в усіх провідниках однакова:
I1 = I2 = I.
Рисунок 3.21.
За законом Ома, напруга U1 і U2 на кінцях провідниках становить:
U1 = IR1, U2 = IR2.
Загальна напруга U на обох провідниках дорівнює сумі напруг U1 і U2 :
U = U1 + U2 = I(R1 + R2) = IR,
де R - електричний опір усього кола. Звідси слідує:
R = R1 + R2.
При послідовному з'єднанні повний опір кола дорівнює сумі опорів окремих провідників.
Цей результат справедливий для будь-якого числа послідовно сполучених провідників.
При паралельному з'єднанні (рис. 3.22) напруги U1 і U2 на обох провідниках однакові:
U1 = U2 = U.
Сума струмів I1 + I2, що протікають по обох провідниках, дорівнює струму в нерозгалуженому колі:
I = I1 + I2.
Цей результат виходить з того, що в точках розгалуження струмів (вузли A і B) в колі постійного струму не можуть накопичуватися заряди. Наприклад, до вузла A за час Δt підтікає заряд IΔt, а витікає від вузла за той же час заряд I1Δt + I2Δt. Отже, I = I1 + I2.
Рисунок 3.22.
Записуючи на підставі закону Ома
тоді
.
При паралельному з'єднанні провідників величина, зворотна загальному опору кола, дорівнює сумі величин, зворотних опорам паралельно включених провідників.
Цей результат справедливий для будь-якого числа паралельно включених провідників.
Формули для послідовного і паралельного з'єднання провідників дозволяють у багатьох випадках розраховувати опір складного кола, що складається з багатьох резисторів. На рисунку 3.23 наведений приклад такого кола і вказана послідовність обчислень.
Рисунок 3.23.
Слід зазначити, що далеко не усі складні кола, що складаються з провідників з різними опорами, можуть бути розраховані за допомогою формул для послідовного і паралельного з'єднання. На рисунку 3.24 наведений приклад електричного кола, який не можна розрахувати, вказаним вище методом.
Рисунок 3.24.
Електричні кола, подібні до зображеного на рисунку 3.24, а також кола, що містять розгалуження декілька джерел, розраховуються за допомогою правил Кірхгофа.
Правила Кірхгофа для розгалужених кіл
Правила Кірхгофа, являються узагальненням закону Ома на випадок розгалужених електричних кіл.
У розгалужених колах можна виділити вузлові точки (вузли), в яких сходяться не менше трьох провідників (рис. 3.25). Струми, впадаючі у вузол, прийнято вважати позитивними; струми, витікаючі з вузла, - негативними.
Рисунок 3.25.
У вузлах кола постійного струму не може відбуватися накопичення зарядів. Звідси слідує перше правило Кірхгофа :
Сума сил струмів для кожного вузла в розгалуженому колі дорівнює нулю:
I1+I2+I3+..+In =0.
Перше правило Кірхгофа є наслідком закону збереження електричного заряду.
Рисунок 3.26. Рисунок 3.27
У розгалуженому колі завжди можна виділити деяку кількість замкнутих шляхів, що складаються з однорідних і неоднорідних ділянок. Такі замкнуті шляхи називаються контурами. На різних ділянках виділеного контуру можуть протікати різні струми. На рисунку 3.26 представлений простий приклад розгалуженого кола. Коло містить один незалежний вузол (a або d), і три контури abcd, adef і abcdef. З них тільки два є незалежними (наприклад, abcd і adef), оскільки третій не містить ніяких нових ділянок. Запишемо узагальнений закон Ома для ділянок контурів кола, зображеного на рисунку 3.26, наприклад, abcd. Для цього на кожній ділянці треба задати позитивний напрям струму і позитивний напрям обходу контуру.
При записі узагальненого закону Ома для кожної з ділянок необхідно дотримувати певні "пр
Дата добавления: 2016-10-17; просмотров: 3293;