Некоторые фундаментальные понятия и определения

Рассмотрим три базовые концепции: действия, исходы и состояние природы. Под действием будем понимать решение или выбор из некоторого числа альтернатив, который игрок делает в некотором специфическом контексте, и это именно то, что мы стараемся предсказать. Предположение о целесообразности означает, что действие игрока ориентировано на достижение определенного исхода или/и во избежание определенного исхода. Таким образом, между действием и исходом существует определенная причинно-следственная связь. Связь эта, однако, не прямая, а опосредованная (иначе мы не имели бы игровой ситуации). А именно, необходимо ввести еще концепцию состояния природы, под которым понимаются такие внешние условия, при которых исход “И” достигается посредством действия “Д”.

Действия

Пусть a_j обозначает одно из действий игрока (альтернативу с номером j), а A - множество всех допустимых действий: A={a₁, a₂, a₃,...,a_j,...}.

Предположим теперь, что игрок может выбирать одно и только одно действие из списка А. Тогда множество А является исчерпывающим или полным: в нем перечислены все возможности и одна из них должна быть реализована, а элементы множества А являются взаимоисключающими: игрок не может выбрать более одного действия. Когда, например, мы моделируем процесс голосования и изучаем вопрос, почему человек принимает (не принимает) участие в голосовании, мы используем множество А, состоящее только из двух элементов: A={a₁ - голосовать, a₂ - не голосовать}. Даже на таком примитивном уровне описания множество А является полным и взаимоисключающим. Любой избиратель вынужден осуществить одно из действий и не в состоянии осуществить оба сразу.

Исходы

Под целью можно понимать исход - объект, к которому стремится игрок. Обозначая исходы R={r₁, r₂, ..., r_k,...}, на них налагаются те же ограничения, что и на действия. Множество R должно быть полным, а его элементы взаимоисключающими.

Анализируя результаты парламентских выборов при двухпартийной системе, мы можем сформировать следующее множество исходов: R={r₁: победила партия 1, r₂: победила партия 2, r₃: ни одной из партий победить не удалось}. Однако, если нас интересует не только факт победы, но и счет, то элемент множества исходов в общем виде будет выглядеть как “партия 1 набрала v₁ голосов, а партия 2 набрала v₂”. Если мы станем перечислять все подобные исходы (перебирая все мыслимые комбинации v₁ и v₂), то число их окажется очень большим, хотя все еще конечным. Но если мы рассматриваем игру, в которой игроки вносят некоторые суммы в кассу своей партии, и размер взносов ничем не ограничен, то число исходов становится просто бесконечным.

Бесконечные и несчетные множества (в частности интервалы значений действительных чисел) имеют простую геометрическую интерпретацию и позволяют привлекать нашу геометрическую интуицию для интерпретации результатов.

Пример: партийный казначей для проведения предвыборной кампании распределяет фиксированную сумму денег, скажем Х, между тремя кандидатами.

Все мыслимые способы дележа представлены на рисунке 1 точками, составляющими треугольник, называемый бюджетным симплексом.

Бюджетный симплекс - ограниченное и замкнутое множество.

Кроме того, оно выпуклое.

Выпуклым множеством называется такое, что если выбрать любые две точки, принадлежащие этому множеству и соединить их отрезком прямой, то весь отрезок тоже будет принадлежать множеству. Свойство выпуклости вполне понятно из следующих трех примеров:

а) выпуклое множество	б) строго выпуклое множество	в) невыпуклое множество: точка А находится вне его.

Итак, бюджетный симплекс - ограниченное, замкнутое и выпуклое множество.