Меркурий, Венера, Земля и проч. все движутся вокруг Солнца

с запада па восток;

Меркурий, Венера, Земля и проч. суть все известные планеты;

Все известные планеты движутся вокруг Солнца с запада на восток,

считают, фактически следуя Аристотелю, что полная индукция сход­на по форме с силлогизмом третьей фигуры, а именно Darapti (см. выше), в котором средний термин состоит в данном примере из группы извес­тных планет.

Другие логики видели в полной индукции разделительный сил­логизм (см. выше). Приведенный выше пример они представляли в сле­дующей форме:

Планета есть или Меркурий, или Венера, или Земля, или проч.;

Но Меркурий движется вокруг Солнца с запада на восток;

Венера движется вокруг Солнца с запада на восток и проч.;

Все известные планеты движутся вокруг Солнца с запада на восток.

Посредством полной индукции может быть достигнуто так назы­ваемое соединительное доказательство. Например, для доказательства теоремы "всякий вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу", приводятся три случая: 1) когда вписан­ный угол составлен из диаметра и хорды; 2) когда он составлен из двух хорд, между которыми находится центр круга; 3) когда он составлен из двух хорд, между которыми не находится центр круга. Во всех этих слу­чаях теорема правильна. Никаких других случаев представить себе нельзя. Следовательно, при всех возможных положениях теорема пра­вильна, т.е. вписанный угол равен половине центрального угла, опира­ющегося на ту же дугу.

Надо знать, что иногда в полной индукции допускается логичес­кая ошибка. Заключается она в следующем. Рассмотрев ряд суждений об отдельных предметах данного класса или об отдельных видах дан­ного рода, мы формулируем общий вывод, не проверив того, полнос­тью ли исчерпаны все случаи данного класса. Между тем заключение в полной индукции правильно только в том случае, если в частных посылках дан полный перечень всех предметов данного класса.

Знания, полученные в результате полной индукции, основанной на истинных посылках, вполне достоверны. Но полная индукция не дает знания о других предметах, которые не встречаются в посылках. В самом деле, общий вывод имеет отношение только к тем предметам, которые мы наблюдали. Значение же полной индукции заключается в том, что, не вооружая нас знанием о новых предметах, она раскры­вает рассматриваемые предметы в некотором новом отношении. В вы­воде мы судим о тех же предметах, но взятых уже в качестве класса, тогда как в каждой частной посылке мы судили об одном предмете и только о нем.

Изучением закономерностей умозаключений по полной индукции занимался русский логик М.Н. Каринский. Он писал о том, что ка­жется, будто вывод полной индукции есть просто сокращенное выра­жение существовавшего уже знания, а не новая истина, так как оно не простирается далее тех предметов, о которых говорят посылки. Од­нако видимо, это не так: "Новость мысли зависит не от того только, что в ней определение распространяется на новый реальный предмет; мысль будет новой, если определение дано было уже предмету, но он характеризовался иначе и поэтому представлялся нам иным предме­том. В суждении о логической группе мы приписываем определение не только предметам, характеризованным известными признаками, но всем предметам, так характеризованным; произнося суждение о та­кой группе, мы утверждаем, что существования в предмете признаков группы совершенно достаточно для отнесения к нему определения, при­писанного к группе. Но этот оттенок мысли никак не заключается в суждениях, в которых мы приписываем это определение частным пред­метам".

Конечно, заключает Каринский, для науки наиболее ценны суж­дения о таких логических группах, которые обнимают неисчислимое количество экземпляров. И естественно, что выводы на основании пол­ной индукции, в которых суждения частные суть суждения об экземп­лярах, не могут иметь сколько-нибудь значительного применения в на­уке. Но нельзя забывать, что полная индукция может оперировать не только с экземплярами, но и с видами, а это неизмеримо увеличивает число предметов, с которыми приходится иметь дело. Такие выводы на основании полной индукции от видов к классу применимы в науках.

Неполной индукцией называется вид индуктивного умозаклю­чения, в результате которого получается какой-либо общий вывод обо всем классе предметов на основании знания лишь некоторых однород­ных предметов данного класса. Например:

Гелий имеет валентность, равную нулю;

Неон тоже;

Аргон тоже;

Но гелий, неон и аргон — инертные газы;

Все инертные газы имеют валентность, равную нулю.

Здесь общий вывод сделан обо всем классе инертных газов на основании знания о некоторых видах, т.е. части этого класса. Поэтому неполную индукцию иногда называют расширяющей индукцией, так как она в своем заключении содержит большую информацию, чем та, кото­рая содержалась в посылках. Схема умозаключения неполной индук­ции такова:

A₁ имеет признак В;

А₂ имеет признак В;

А₃ имеет признак В;

Следовательно, и А₄ и вообще все А имеют признак В.

В неполной индукции на основании наблюдения некоторого количества известных фактов приходят к выводу, который распространя­ется и на другие факты или предметы данной области, еще неизвест­ные нам.

Неполная индукция выступает в двух видах.

1. Неполная индукция, основанная на знании необходимых призна­ков и причинных связей предметов, явлений, — вид индуктивного умозаключения, в результате которого получается какой-либо общий вы­вод обо всем классе предметов на основании знания необходимых при­знаков и причинных связей лишь некоторых предметов данного класса.

2. Неполная индукция через простое перечисление, в котором не встречается противоречащих случаев, — вид индуктивного умозаклю­чения, в результате которого получается какой-либо общий вывод обо всем классе предметов на основании знания лишь некоторых предме­тов данного класса, при том условии, что не встречалось противореча­щих случаев. Неполная индукция через простое перечисление дает нам возможность перейти от известных фактов к неизвестным, и этим са­мым с ее помощью мы расширяем наши знания о мире.

Но такая индукция не дает в заключении, в общем правиле достоверных выводов, а только приблизительные, вероятные. Ведь выводы в данном случае базируются на наблюдении далеко не всех предметов данного класса. И могло случиться, что противоречащий пример случайно не попался нам на глаза. А часто это бывает только потому, что мы еще плохо знаем исследуемую область явлений.

Железо — твердое тело;

Медь — твердое тело;

Цинк — твердое тело;

Золото — твердое тело;

Алюминий — твердое тело;

Железо, медь, цинк, золото, алюминий — металлы;

Все металлы — твердые тела.

Вывод сделан по методу индукции через простое перечисление, в котором не встречается противоречащих случаев. Исследован ряд ме­таллов, а вывод сделан в отношении всех. В результате получился оши­бочный вывод, так как, например, ртуть — металл, но она — жидкое тело.

Индукция через простое перечисление, принося известную пользу в нашей повседневной житейской практике, может применяться лишь на начальной ступени исследования, когда происходит процесс на­копления фактического материала и совершается первый отбор нуж­ных данных. Она называется популярной индукцией. Издавна популярная индукция считалась самым ненадежным видом неполной ин­дукции. Вероятность ее заключения крайне слабо обоснована, так как единственное основание для ее вывода состоит в незнании случаев, которые противоречили бы ее заключению.

Заключение, полученное в результате такой индукции, постоянно находится под угрозой опровержения его истинности, стоит только обнаружиться противоречащему случаю, как это было с австралийскими черными лебедями, открытие которых опрокинуло держав­шееся столетиями утверждение, что все лебеди белые. В речевой ком­муникации желательно пользоваться только полной индукцией, по­тому что неполная индукция действительно часто приводит к доказа­тельству неверных тезисов. Рассмотрим пример. Во многих универси­тетах существует правило, в соответствии с которым сильные группы получают лучших преподавателей, которые, таким образом, учат са­мых способных. Это оправданная педагогическая установка, посколь­ку усилия профессионала высокого класса, направленные на челове­ка, которому это, может быть, и не нужно, плода не принесут. Это не­целесообразно: вопрос упирается в то, кто что может взять от образо­вания. Пусть лучше крупный специалист в определенной области научит троих, но таких, которые станут его последователями. В этой связи важными являются анализ успеваемости каждого студента и оценка учебных групп по результатам сессии. Предположим, на засе­дании кафедры английского языка рассматривается успеваемость сту­дентов первой английской группы, которая состоим из девяти чело­век. Куратор курса дает им следующую характеристику:

Афанасьев И. — очень слабый студент, плохо подготовленный;

Броневой М. — обладает очень посредственными способностями;

Гальперина Т. — усидчивая студентка, но с неразвитым мышлением;

Ежов К. — ленив, пропускает много занятий;

Климов В. — крайне посредственный студент, с трудом сдал сессию на удовлетворительно;

Михенькова С. — легкомысленная студентка, не имеющая склон­ности к интеллектуальному труду;

Орлов А. — с большими усилиями справляется с материалом, не сдал один экзамен.

После чего куратор говорит: "Я думаю, достаточно. Группа очень слабая".

А теперь представьте, что оставшиеся два студента (Шевцов С. и Юдин Т. — их не рассмотрели, так как фамилии начинаются с последних букв алфавита) — одни из самых блестящих на курсе.

Сотрудники кафедры не задают куратору дополнительных воп­росов, и принимается решение, в соответствии с которым в следующем семестре первую английскую группу будет учить молодой неопытный педагог. Что происходит в этой ситуации? Шевцов и Юдин не получа­ют полноценного образования. Может так оказаться, что английский язык они знают лучше нового педагога. Кроме того, в их присутствии другие студенты чисто психологически "немеют" на занятиях, чтобы не потерять авторитета (по этой причине в высшей школе группы форми­руют по возможности однородные). Административное решение, безус­ловно, было принято неверное, так как в результате неполной индук­ции был доказан ложный тезис: "Первая английская группа — очень слабая". Верный же тезис таков: "Первая английская группа неровная: семь студентов — очень слабые, а двое — сильные". И этот тезис был бы доказан при применении полной индукции. Административный вы­вод соответственно тоже оказался бы другим: "Первую английскую груп­пу следует расформировать, переведя студентов Шевцова и Юдина в другую, сильную группу, которую возьмет лучший преподаватель ка­федры".

Второе значение термина индукция — метод исследования, заключающийся в следующем: для того чтобы получить общее знание о каком-либо классе предметов, необходимо исследовать отдельные пред­меты этого класса, найти в них общие существенные признаки, которые и послужат основой для знания об общем, присущем данному классу предметов. Индуктивный метод исследования заключается также в следующем: исследователь переходит от знания менее общих положений к знанию более общих положений.

Третье значение термина индукция — форма изложения материала в книге, лекции, докладе, беседе, когда от единичных и менее общих положений идут к общим заключениям, выводам, положениям.

Интерес к проблемам индуктивной логики особенно, как мы уже говорили, проявился в XVII—XVIII вв. Английский философ-матери­алист Фр. Бэкон в своем трактате "Новый Органон" высказал новый взгляд на индукцию. Признав индукцию через простое перечисление не­надежной, он поставил задачу отыскания форм, т.е. чего-то устойчиво­го в явлениях как основу их внешних связей.

Отыскивать формы Бэкон предлагал с помощью ряда приемов, которые он называл "вспоможествованием" разуму. Найденные факты требовалось распределять по таблицам "присутствия", "отсутствия" и "степеней". В результате, как думал Бэкон, можно будет выявить необходимую связь между явлениями. В бэконовской схеме все бесконечное многообразие явлений мира сводилось к небольшому числу форм. Бэ­кон призывал изучать факты, ставить научные эксперименты.

Идеи Бэкона, а также английского естествоиспытателя Дж. Гершеля, развил английский логик и философ-позитивист Джон Стюарт Милль. Он предложил простейшие логические методы установления причинных связей между явлениями и вытекающими из них следстви­ями. Цель этих методов — выяснение вопроса о том, можно ли считать предшествующее явление причиной последующего или нет. Причиной называется такое явление А, при наличии которого имеет место дру­гое явление В, которое называется действием причины А, а при отсут­ствии явления А отсутствует и явление В.

Предлагается пять логических методов исследования причинных связей, которые выражены в виде следующих правил.

1. Метод сходства: "Если два или более случаев подлежащего исследованию явления имеют общим лишь одно обстоятельство, в кото­ром только и согласуются все эти случаи, то оно есть причина или след­ствие данного явления".

2. Метод различия: "Если случай, в котором исследуемое явление наступает, и случай, в котором оно не наступает, сходны во всех обстоятельствах, кроме одного, встречающегося лишь в первом случае, то это обстоятельство, в котором одном только и разнятся эти два случая, есть следствие, или причина, или необходимая часть причины явления".

3. Соединительный метод сходства и различия: "Если два или более случая возникновения явления имеют общим одно лишь обстоятельство, и два или более случая возникновения того или иного явления имеют общим только отсутствие того же самого обстоятельства, то это обсто­ятельство, в котором только и разняться оба ряда случаев, есть или след­ствие, или причина, или необходимая часть причины изучаемого явле­ния".

4. Метод сопутствующих изменений: "Всякое явление, изменяюще­еся определенным образом всякий раз, когда некоторым особенным об­разом изменяется другое явление, есть либо причина, либо следствие этого явления, либо соединено с ним какою-либо причинной связью".

5. Метод остатков: "Если из явления вычесть ту его часть, которая, как известно из прежних индукций, есть следствие некоторых опреде­ленных предыдущих, то остаток данного явления должен быть следстви­ем остальных предыдущих".

Милль утверждает возможность подходить к изучаемому явлению и рассматриваемым в связи с ним обстоятельствам как к отдельным, изолированным событиям и говорить о связи отдельной причины и отдельного действия, т.е. отвлекаться от взаимного влияния обстоя­тельств данного явления, от обратного действия следствий на причи­ны, между тем как данное явление может быть порождено, как это ча­сто бывает, не одной какой-либо причиной, а совместным действием ряда причин, находящихся между собой в сложных отношениях. Это упрощение обусловливает то, что данные методы, как и любые мето­ды индуктивного исследования, дают в заключении вероятное зна­ние. Так, степень вероятности выводов по методу сходства определя­ется числом исследованных случаев, но даже если их очень много, то все равно трудно решить, является ли причиной данного явления един­ственное обстоятельство, оказавшееся сходным во всех случаях, или совместное действие этого единственного обстоятельства и всех осталь­ных обстоятельств. Более вероятное знание дает метод различия. Это объясняется тем, что данный метод сочетается с экспериментом. Но вводимое в эксперимент явление может оказаться сложным, и потому останется невыясненным, является ли причиной все явление или ка­кая-либо часть. Вероятностный характер носят и другие методы.

Милль разъединил индукцию и дедукцию, что привело его к "всеиндуктивизму". О единстве индукции и дедукции прекрасно сказано еще Аристотелем: "Общее нельзя рассматривать без посредства индукции".

В связи со всеми имеющимися у исследователя средствами позна­ния — дедукцией, аналогией, гипотезой и др. — методы исследования причинной связи традиционной логики широко применяются в каче­стве вспомогательных орудий нахождения причинных зависимостей.

Причинные связи издавна волновали умы людей. Уже в сочинениях древнегреческого философа V в. до н.э. Аристиппа имелось предвосхищение индуктивных приемов исследования причинных связей.

Математическая логика также занимается изучением логического механизма индуктивных умозаключений, используя для этого методы математической логики и теории вероятностей.

Многие ученые полагают, что в настоящее время перед индуктив­ной логикой ставится задача не изобретать правила открытия научных истин, а найти объективные критерии подтверждения гипотез их империческими посылками и, если возможно, определить степень, в которой эти посылки подтверждают гипотезу. В соответствии с этим должна из­меняться форма самой индуктивной логики, ибо она становится веро­ятностной логикой, а классическая индуктивная логика оказывается ча­стным случаем вероятностной логики. Задача вероятностной логики — оценить вероятность обобщения, так как установление достовернос­ти возможно лишь в крайне простых случаях.

Безошибочность вывода в индуктивном умозаключении зависит, прежде всего, от истинности посылок, на которых строится заключе­ние. Если вывод основан на ложных посылках, то и он ложен. Ошиб­ки в индуктивных умозаключениях очень часто объясняются также тем, что в посылках не учтены все обстоятельства, которые являются причиной исследуемого явления.

Но ошибки могут проникать в индуктивные выводы и тогда, ког­да посылки являются истинными. Это бывает в тех случаях, когда мы не соблюдаем правил умозаключения, в которых отображены связи единичного и общего, присущие предметам и явлениям окружающего мира. Первая ошибка, связанная с нарушением правил самого хода индуктивного умозаключения в связи с непониманием закона доста­точного основания, известна издавна под названием "поспешное обобщение" (лат. fallacia fictae universalitatis). Существо ошибки зак­лючается в следующем: в посылках не учтены все обстоятельства, ко­торые являются причиной исследуемого явления.

Еще более распространенной в индуктивных выводах является ошибка, также связанная с нарушением закона достаточного основа­ния, которая называется ошибкой заключения по формуле: "после это­го, стало быть, по причине этого" (лат. "Post hoc, ergo propter hoc"). Источник этой ошибки — смешение причинной связи с простой после­довательностью во времени. Иногда кажется, что если одно явление предшествует другому, то оно и является его причиной. Но это не все­гда так. Каждые сутки люди наблюдают, что за ночью следует день, а за днем — ночь. Но если бы на основании этого кто-нибудь стал утверж­дать, что ночь есть причина дня, а день — причина ночи, то тот оказал­ся бы рассуждающим по формуле "после этого, стало быть, по причине этого". В самом деле, ни ночь не является причиной дня, ни день не яв­ляется причиной ночи. Смена дня и ночи есть результат суточного вра­щения Земли вокруг собственной оси. Следовательно, неправомерно заключать о причинной связи двух явлений только на том основании, что одно явление происходит после другого.

Индуктивное доказательство применяется во всех науках, когда те­зис является общим суждением. Вот пример индуктивного доказатель­ства тезиса о том, что во всех треугольниках сумма внутренних углов равна двум прямым.

Аргументы: "в остроугольных треугольниках сумма внутренних уг­лов равна двум прямым"; "в прямоугольных треугольниках сумма внут­ренних углов равна двум прямым"; "в тупоугольных треугольниках сум­ма внутренних углов равна двум прямым".

Рассуждение: "поскольку, кроме остроугольных, тупоугольных и прямоугольных треугольников, нет больше никаких треугольников, а во всех остроугольных, тупоугольных и прямоугольных треугольни­ках сумма внутренних углов равна двум прямым, то, следовательно, во всех треугольниках сумма внутренних углов равна двум прямым".

Существо такого доказательства заключается в следующем: надо получить согласие своего собеседника на то, что каждый отдельный предмет, входящий в класс предметов, отображаемый в общем сужде­нии, имеет признак, зафиксированный в нем. Когда согласие на это получено, тогда с необходимостью вытекает истинность тезиса: раз каждый предмет в отдельности имеет этот признак, то естественно, что и все данные предметы имеют этот признак.

Резюмируя, следует сказать, что индуктивное доказательство вы­водит наличие некоторого свойства S у множества М, состоящего из n элементов, на основании того, что каждый из этих элементов обладает свойством S. Если мы хотим сделать заключение о целом множестве объектов (людей, предметов и т.д.), мы должны рассмотреть каждый элемент этого множества. А отсюда делается естественный и простой вывод: индуктивному доказательству подвергаются только те множе­ства, которые имеют малое количество элементов. Если множество имеет бесконечное количество элементов, строгое индуктивное доказательство построить невозможно. Если количество элементов множества очень ве­лико, но конечно, строгое индуктивное доказательство построить мож­но, но это очень трудоемкая, а потому обычно малоцелесообразная де­ятельность, так как каждый элемент в отдельности следует оценить с точки зрения наличия искомого признака. Поэтому строгое индуктив­ное доказательство распространяется только на так называемые мало­мощные множества (под мощностью множества понимается количество элементов, входящих в него). Множество мощностью 4 легко подверга­ется индуктивному доказательству, множество мощностью 100 — уже достаточно трудно, а множество мощностью 10000 почти не подверга­ется такому доказательству. Индуктивным способом невозможно дока­зать, скажем, тезис о том, что все москвичи умеют говорить по-русски. Но очень легко можно доказать тезис о том, что в определенной комна­те нет ни одного битого стекла, если в этой комнате, скажем, два окна, каждое окно имеет четыре стекла (всего стекол, таким образом, восемь). Можно рассмотреть первое стекло — нет трещин. Рассмотреть второе стекло — нет трещин и т.д. Удостоверившись, что каждое стекло — целое, можно сделать общий вывод: вэтой комнате нет ни одного бито­го стекла, что важно, например, в условиях надвигающейся зимы для принятия решения о замене стекол в помещении.

Наблюдения показывают, что индуктивное доказательство час­то вызывает затруднение. Приведем два примера.

1. У комнатного цветка 20 листьев. Посмотрим на первый лист: он живой. Посмотрим па второй лист: он живой и т.д. Посмотрим на двадцатый лист: он живой. Значит, можно сделать вывод, что цве­ток жив. Это неправильно. Ведь если у цветка хотя бы один листик жив, то весь цветок является живым (приведено излишнее доказательство). В логике эта ошибка звучит так: "кто чрезмерно доказывает, тот ничего не доказывает" (лат. qui nimium probat, nihil probat) — ког­да доказывается слишком много, из данных оснований следует не толь­ко тезис, но и какое-нибудь другое (иногда противоположное или лож­ное) положение.

2. Рассмотрим тезис: Семья Петровых — хорошая. Отец — акаде­мик. Мать — профессор. Дочь — очень способная девушка, аспирантка. Сын — подающий надежды молодой физик. Доказательство не получа­ется, потому что хорошая семья — это семья, в которой сохраняются доброжелательные человеческие отношения. Чтобы доказать индуктив­ным способом искомый тезис, надо установить пары: мама — дочка, мама — сын, папа — дочка, папа — сын, сын — дочка, папа — мама. После этого проанализировать отношения в каждой паре, признать эти отношения благополучными и тогда сделать заключение, что это хоро­шая семья (и то это будет достаточно неубедительно). Гораздо легче доказать тезис: В семье Петровых все имеют высшее образование. А кри­терий быть хорошей не является формальным (это вопрос интерпрета­ции), кроме того, слово хороший многозначно. Один человек, наблю­дая семью, назовет отношения в ней прекрасными, другой сочтет не­благополучными. Семейные отношения бесконечно сложны: даже дра­ка может быть свидетельством любви. Подобные тезисы лучше оставлять без доказательства. Их истинность или ложность докажет сама жизнь.

Глава 16