Условные тавтологии

Чтобы охватить формулы, верные при дополнительных условиях (аксиомах), рассматриваются модели с фиксированной шкалой или набором шкал.

Формула А называется вернойв модели M = (W, R, h), если она верна для всех tÎW. Формула А называется тавтологией относительно шкалы, если она верна для любой модели с данной шкалой. Формула А называется тавтологией относительно класса шкал С, если она является тавтологией относительной каждой шкалы из класса С.

Теорема (о рефлексии). Пусть р – атом. Формула р ® р является тавтологией относительно шкалы (W, R), если и только если R – рефлексивное отношение (т.е. wRw для всех w Î W).

Доказательство. Пусть R – рефлексивно. Пусть М – модель со шкалой (W, R), tÎW – произвольный мир и пусть M, t |= р ® р. Поскольку модель М – произвольная, то р ® р – тавтология относительно шкалы (W, R).

Пусть, наоборот, р ® р – тавтология относительно (W, R). Пусть t Î W. Докажем, что (t, t) Î R. С этой целью определим модель М = (W, R, h), полагая (при фиксированном t)

h(p) = {u Î W : (t, u) Î R}.

Ясно, что M, t |= р. Но р ® р верно, стало быть, M, t |= р. Отсюда t Î h(p). Следовательно, (t, t) Î R, что и требовалось доказать.

Упражнение 5

Доказать, что если R Í W ´ W – рефлексивно, то А ® А – тавтология относительно шкалы (W, R) для любой формулы А.

Формула (А ® В) ® ( А ® В) является тавтологией относительно класса всех шкал Крипке. Такие формулы называют естественно истинными. Формула А ® А верна относительно некоторого класса шкал. Такие формулы называются условно истинными.