Матрицы линейных преобразований

Пусть в - мерном линейном пространстве с базисом , ,…, задано линейное преобразование А. Тогда векторы , ,…, - являются векторами этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса:

= + +…+ ,

= + +…+ ,

……………………………….

= + +…+ .

В этом случае матрица называется матрицей линейного преобразованияА. Пусть = + +…+ - произвольный вектор в пространстве . Тогда

; ,

где

,

,

……………………………..

.

Эти равенства называются линейным преобразованием в базисе , ,…, .

В матричном виде

; ; .

Пример. Найти матрицу линейного преобразования, заданного в виде

;

;

.

На практике действия над линейными преобразованиями сводятся к действиям над их матрицами.

Определение. Если вектор переводится в вектор линейным преобразованием с матрицей А, а вектор в вектор линейным преобразованием с матрицей В, то последовательное применение этих преобразований равносильно линейному преобразованию, переводящему вектор в вектор (оно называется произведением составляющих преобразований).

.

Пример. Задано линейное преобразование А, переводящее вектор в вектор и линейное преобразование В, переводящее вектор в вектор . Найти матрицу линейного преобразования, переводящего вектор в вектор .

т.е.

Замечание. Если то преобразование является вырожденным.