Построение детерминированного конечного автомата по регулярному выражению

Приведем теперь алгоритм построения по регулярному выражению детерминированного конечного автомата, допускающего тот же язык [?].

Пусть дано регулярное выражение r в алфавите T. К регулярному выражению r добавим маркер конца: (r)#. Такое регулярное выражение будем называть пополненным. В процессе своей работы алгоритм будет использовать пополненное регулярное выражение.

Алгоритм будет оперировать с синтаксическим деревом для пополненного регулярного выражения (r)#, каждый лист которого помечен символом , а каждая внутренняя вершина помечена знаком одной из операций: (конкатенация),| (объединение), * (итерация).

Каждому листу дерева (кроме e -листьев) присвоим уникальный номер, называемый позицией, и будем использовать его, с одной стороны, для ссылки на лист в дереве, и, с другой стороны, для ссылки на символ, соответствующий этому листу. Заметим, что если некоторый символ используется в регулярном выражении несколько раз, он имеет несколько позиций.

Обойдем дерево T снизу-вверх слева-направо и вычислим четыре функции: nullable,firstpos, lastpos и followpos. Три первые функции - nullable, firstpos и lastpos - определены на узлах дерева, а followpos - на множестве позиций. Значением всех функций, кроме nullable, является множество позиций. Функция followpos вычисляется через три остальные функции.

Функция firstpos(n) для каждого узла n синтаксического дерева регулярного выражения дает множество позиций, которые соответствуют первым символам в подцепочках, генерируемых подвыражением с вершиной в n. Аналогично, lastpos(n) дает множество позиций, которым соответствуют последние символы в подцепочках, генерируемых подвыражениями с вершиной n. Для узла n, поддеревья которого (то есть деревья, у которых узел n является корнем) могут породить пустое слово, определимnullable(n)=true, а для остальных узлов nullable(n)=false.

Таблица для вычисления функций nullable, firstpos и lastpos приведена на рис. 3.11.

Пример 3.7.На рис. 3.12 приведено cинтаксическое дерево для пополненного регулярного выражения (a|b)^*abb# с результатом вычисления функций firstpos и lastpos. Слева от каждого узла расположено значение firstpos, справа от узла - значениеlastpos. Заметим, что эти функции могут быть вычислены за один обход дерева.

Если i - позиция, то followpos(i) есть множество позиций j таких, что существует некоторая строка ... cd ..., входящая в язык, описываемый регулярным выражением, такая, что позиция i соответствует этому вхождению c, а позиция j - вхождениюd.

Рис. 3.11.

Рис. 3.12.

Функция followpos может быть вычислена также за один обход дерева снизу-вверх по таким двум правилам.

1. Пусть n - внутренний узел с операцией (конкатенация), u и v - его потомки. Тогда для каждой позиции i, входящей вlastpos(u), добавляем к множеству значений followpos(i) множество firstpos(v).

2. Пусть n - внутренний узел с операцией * (итерация), u - его потомок. Тогда для каждой позиции i, входящей вlastpos(u), добавляем к множеству значений followpos(i) множество firstpos(u).

Пример 3.8. Результат вычисления функции followpos для регулярного выражения из предыдущего примера приведен на рис. 3.13.

Алгоритм 3.3. Прямое построение ДКА по регулярному выражению.

Вход. Регулярное выражение r в алфавите T.

Выход. ДКА M = (Q, T, D, q₀, F), такой что L(M) = L(r).

Метод. Состояния ДКА соответствуют множествам позиций.

Вначале Q и D пусты. Выполнить шаги 1-6:

(1) Построить синтаксическое дерево для пополненного регулярного выражения (r)#.

(2) Обходя синтаксическое дерево, вычислить значения функций nullable, firstpos, lastpos и followpos.

(3) Определить q₀ = firstpos(root), где root - корень синтаксического дерева.

(4) Добавить q₀ в Q как непомеченное состояние.

(5) Выполнить следующую процедуру:

(6) Определить F как множество всех состояний из Q, содержащих позиции, связанные с символом #.

Пример 3.9. Результат применения алгоритма 3.3 для регулярного выражения (a|b)^*abb приведен на рис. 3.14.

Рис. 3.14.