Числовые характеристики некоторых распределений

Биномиальное распределение. Это распределение рассматривалось в примере 3.2 (лекция 3). Пусть Х – распределена по биномиальному закону с параметрами n, p (n – число испытаний, p –вероятность успеха), q=1–p. Рассмотрим с.в. Х_i c законом распределения 0®q, 1®p (i = 1,2, …, n). Математическое ожидание . Случайная величина , причем с.в. независимы и распределены одинаково. Следовательно,

.

Вычислим дисперсию .

.

Итак,

.

Распределение Пуассона. Пуассоновский закон распределение имеет вид , x_i = i = 0, 1, … .

.

= =

= .

Итак,

. .

Равномерное распределение.

.

.

Итак,

. .

Показательное распределение.

= .

.

Итак,

. .

Нормальное распределение.

.

Аналогично можно вычислить дисперсию .

Итак,

. .

5.2 Вероятность попадания с.в. в числовой промежуток

Пусть Х – ДСВ. Тогда .

Рассмотрим НСВ Х. Так как для любого числа с, то для НСВ вероятности = = = .

Для вычисления вероятности можно применить две формулы:

,

.

Если интеграл “берущийся”, то никаких проблем не возникает. Для нормального распределения вопрос вычисления вероятности стоит особо, так как интеграл получается не “берущийся” и на практике часто приходится вычислять эту вероятность.

Предварительно рассмотрим функцию Лапласа, вычислению которой приводится задача вычисления вероятности для нормального распределения.

Функцией Лапласа называется функция

.