ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

Вращение твердого тела подчиняется закону:

,

(4.1)

где - угловое ускорение. Легко видеть, что это уравнение можно рассматривать как аналог 2-го закона Ньютона, где сила заменена моментом силы, масса - моментом инерции, ускорение - угловым ускорением.

Физический маятник

Рис. 4.1.

Физическим маятником называется любое твердое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной оси, не проходящей через его центр инерции.

На рис. 4.1 точка O – проекция оси вращения на плоскость рисунка, точка С – центр инерции, прямая проходящая через точку С и перпендикулярная оси вращения – ось маятника. l – расстояние от центра инерции до оси вращения. При отклонении маятника от положения равновесия на угол φ возникает вращающий момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Момент силы тяжести численно равен . Подставив его значение в уравнение (4.1), получим:

(4.2)

Для малых углов (φ < 5⁰) справедливо – sin φ ≈ φ. Обозначив , получим уравнение:

(4.3)

Решением такого уравнения является функция вида φ =φ₀sinωt, это означает, что маятник будет совершать гармонические колебания с частотой ω. Соответственно период его колебаний будет равен:

(4.4)

Если сравнить это выражение с выражением для периода колебаний математического маятника* ( ), то видно, что роль, аналогичную длине математического маятника, играет величина . Эту величину называют приведенной длиной физического маятника.

Таким образом, приведенной длиной физического маятника называется длина математического маятника с периодом колебаний, равным периоду данного физического маятника. Тогда из формулы (4.4) легко получить:

(4.5)

Если вдоль оси физического маятника от оси вращения (рис. 4.1) отложить расстояние равное приведенной длине, то полученная точка О' называется центром качания. Она обладает тем свойством, что период колебаний маятника относительно оси проходящей через эту точку будет таким же, как и относительно исходной оси.

Опираясь на это свойство, можно утверждать, что если периоды колебаний физического маятника относительно двух различных осей совпадают, то расстояние между ними равно приведенной длине физического маятника.На этом и основан используемый в данной работе метод (рис. 4.2).

период колебаний маятника относительно одной оси – , а относительно второй – . Здесь I₁ и I₂ - моменты инерции маятника относительно первой и второй осей, l₁ и l₂ – расстояния от центра инерции до двух осей, соответственно. По теореме Штейнера момент инерции тела относительно некоторой оси выражается через момент инерции I₀ относительно оси, проходящей через его центр инерции и параллельный данной: I =I₀ +ml². Тогда:

(4.6)

Возведя эти уравнения в квадрат, и вычтя второе из первого, получим: . если периоды равны, то это уравнение преобразуется к виду , что аналогично уравнению (4.5), если (l₁ + l₂) – приведенная длина.

Воспользовавшись формулами (4.6) при равенстве периодов легко получить выражения для моментов инерции:

Описание экспериментальной установки.

Рис. 4.2

Физический маятник, используемый в данной работе, представляет собой массивный стержень, на котором укреплены две опорные призмы и два дополнительных груза, выполненные в виде «чечевиц». (Рис. 4.2.)

Опорные призмы предназначены для подвешивания маятника на специальную опору двумя способами (прямое и оборотное положение) и жестко закреплены на стержне. Расстояние между призмами указано на рабочем месте. Одна из «чечевиц» также жестко закреплена, вторая может перемещаться вдоль стержня, ее положение фиксируется по шкале.

При перемещении «чечевицы» изменяется момент инерции маятника, а, следовательно, и период его колебаний.

Для измерения периодов колебаний маятника используется частотомер, соединенный с фотоэлементом.

Фотоэлемент укреплен перед маятником, а за маятником – лампочка. В неподвижном положении маятник перекрывает свет, идущий от лампочки к фотоэлементу. При колебаниях маятника такое перекрывание осуществляется два раза за один период колебаний. Частотомер установлен в режим, при котором фиксируется время 5-ти периодов.

Для определения центра инерции маятника служит настольная призма.

Порядок выполнения работы.

1. Включить лампочку и частотомер.

2. Убедиться в том, что свет от лампочки попадает на фотоэлемент при отсутствии маятника.

3. Убедиться в том, что частотомер настроен на необходимый режим и срабатывает при перекрывании света (с помощью преподавателя или дежурного сотрудника лаборатории).

4. Закрепить подвижную «чечевицу» в фиксированном начальномположении. (Например, 5 см по шкале маятника).

5. Подвесить маятник на одну из опорных призм. Привести его в колебательное движение (угол отклонения не более 5⁰). Измерить период колебаний Т₁ (не менее 3 раз).

6. Не изменяя положение подвижной «чечевицы», перевернуть маятник и подвесить его на другой опорной призме. Измерить период колебаний Т₂ (не менее 3 раз).

7. Закрепить подвижную «чечевицу» в новом фиксированном положении. (Например, 10 см по шкале маятника).

8. Повторить пункты 5 и 6.

9. Проанализировав значения Т₁и Т₂, полученные при двух положениях чечевицы, определить (приблизительно) при каком ее положении ожидается совпадение периодов Т₁и Т_2.

10. Закрепить подвижную «чечевицу» в предсказанном положении и повторить измерения Т₁и Т₂. Сравнить полученные значения периодов с измеренными ранее и определить в какую сторону необходимо далее сдвигать «чечевицу» для сближения величины периодов.

11. Повторять измерения, сдвигая чечевицу в нужную сторону и анализируя значения периодов, до тех пор, пока не добьетесь наиболее точного совпадения периодов Т₁ и Т₂. (Подумайте, чем ограничена точность).

12. При найденном положении чечевицы, определить центр инерции маятника, положив его на настольную призму. Измерить расстояние от центра инерции до ближайшей опорной призмы.

Обработка результатов измерений

Из значений Т₁и Т₂,полученных при том положении чечевицы, когда они наиболее близки, найти среднее значение периода Т и его погрешность. Определить значение g по формуле (4.5) и его погрешность по формуле:

Рассчитать моменты инерции маятника относительно осей проходящих через центр инерции и через ребра опорных призм по формулам (4.7).

Рассчитать погрешности моментов инерции маятника по формулам переноса ошибок (вывести самостоятельно)

Содержание отчета.

1. Характеристики измерительных приборов.

2. таблица экспериментальных данных.

Примерный вид таблицы

3. Значения l_прив , l₁ и l₂

4. График зависимости Т₁и Т₂ от положения чечевицы (по указанию преподавателя).

5. Вычисленные значения g и его погрешности.

6. Вычисленные значения моментов инерции и их погрешностей.

Контрольные вопросы

s Что такое приведенная длина физического маятника?

s Каким образом в данной работе определяется приведенная длина?

s Почему ускорение свободного падения зависит от широты?

s В какой точке Земли g - максимально, а в какой точке - минимально?

* Математическим маятником называется идеализированная система, состоящая из невесомой нерастяжимой нити на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке.