Метод центру тяжіння композиції максимум-мінімум

Як повинне змінитися нечітке логічне виведення, якщо А^/ задається не як конкретне значення, в як нечітка множина (наприклад, якщо у вище приведеному прикладі відомо, що „студент проводить у бібліотеці середню кількість часу”)? Для цього використовують відношення нечіткої імплікації:

Нечітким відношенням між множинами А та В називається нечітка підмножина їх декартового добутку. Тобто, якщо

, ,

то відношення А R В визначається як множина пар

.

Відношення нечіткої імплікації А→В можна виводити по різному. Часто використовується формула min-імплікації:

.

Для задання імплікації задають також й інші формули:

1) нечітке розширення класичної імплікації:

;

2) нечітка імплікація Лукашевича:

;

Тепер ми можемо отримати множину В^/ - нечітку множину висновків, які відповідають множині А^/. Це є результатом композиції множини А^/ й нечіткої імплікації:

де – знак композиції, що обчислюється за формулою

.

Але отримати лише множину В^/ недостатньо, треба ще знайти конкретну числову відповідь (провести дефадзифікацію). Найчастіше за числову відповідь береться центр тяжіння знайденої нечіткої множини, який обчислюється за формулою

.

Увесь описаний метод нечіткого логічного виведення часто називають методом центру тяжіння композиції максимум-мінімум.

Повернемося до попереднього прикладу.

Ми задали функції належності для нечітких множин А („багато працює в бібліотеці”) таВ („високий рейтинг”) таким чином:

А={(3, 0); (6, 0.1); (9, 0.4); (12, 0.6); (18, 0.8); (21, 1); (27, 1)}

В={(59, 0); (72, 0.2); (84, 0.4); (91, 0.7); (96, 0.9); (100, 1)}

Нехай дано, що „студент працює в бібліотеці середню кількість часу”. Задамо нечітку множину А^/ (середня кількість часу):

A^/={(3, 0); (6, 0.2); (9, 0.7); (12, 1); (18, 0.6); (21, 0.2); (27, 0)}

Обчислимо відношення імплікації нечітких множин А та В:

Знайдемо композицію множини А^/ та знайденого відношення А→В. Результатом буде нечітка множина В^/:

Нарешті, проведемо дефадзифікацію отриманої множини В^/:

v*=(72∙0.2 + 84∙0.4 + 91∙0.6 + 96∙0.6 + 100∙0.6)/(0.2 + 0.4 + 0.6 + 0.6 + 0.6) = 220.2/2.4 = 91.75 ≈92.

Отже, на основі проведеного розрахунку із застосуванням нечіткого композиційного правила виведення можна дійти висновку, що студент повинен отримати оцінку 92 бали.