Функции нескольких переменных. Кратные интегралы. Теория поля.

Основные теоретические сведения

1. Частной производной первого порядка функции двух переменных по аргументу называется предел

Обозначение: , . Нахождение сводится к дифференцированию функции одной переменной , полученной при фиксировании аргумента

2. Скалярным полем называется скалярная функция точки вместе с областью ее определения.

Скалярное поле характеризуется градиентом

и производной по направлению :

где – координаты единичного вектора направления .

3. Вычисление двойного интеграла от функции , определенной в области , сводится к вычислению двукратного интеграла вида

, (1)

где область определяется условиями , или вида

, (2)

если область определяется условиями , .

Переход от равенства (1) к (2) или обратно называется изменением порядка интегрирования.

4. Векторным полем называется векторная функция точки :

Векторное поле характеризуется скалярной величиной – дивергенцией:

и векторной величиной – ротором:

Векторное поле называется соленоидальным, если в каждой точке этой области .

Векторное поле называется потенциальным в области , если в каждой этой области .

Для потенциального векторного поля справедлива формула для нахождения потенциальной функции

где – фиксированная точка области , – любая точка области – произвольная постоянная.

Потоком векторного поля через двустороннюю поверхность называется поверхностный интеграл

, (3)

где – единичный вектор нормали вдоль , . Если поверхность задается уравнением , то

причем знак в правой части берется так, чтобы получить нормальный вектор к выбранной стороне поверхности.

Для вычисления интеграла (3) удобно проектировать поверхность на одну из координатных плоскостей. Пусть, например, взаимно однозначно проектируется на , тогда

Если взаимно однозначно проектируется на или , то

или .

Иногда вычисление потока проводят методом проектирования на все три координатные плоскости :

каждое слагаемое вычисляется отдельно посредством проектирования на соответствующую координатную плоскость.

Формула Остроградского устанавливает связь между потоком векторного поля через замкнутую поверхность и дивергенцию поля :

5. Циркуляция векторного поля по замкнутой кривой называется криволинейный интеграл

где .

6. Формула Стокса устанавливает связь между циркуляцией векторного поля и его ротором:

где – поверхность, ограниченная замкнутым контуром , – единичный вектор нормали к этой поверхности. Направление нормали должно быть согласно с направлением обхода контура .

Пример 1.Найти наибольшее и наименьшее значения функции в треугольнике, ограниченном прямыми , , .

Решение. Найдем стационарные точки, лежащие внутри данного треугольника:

Приравнивая частные производные нулю, можно на и сократить, так как внутри треугольника , тогда

Решение этой системы: . Стационарная точка лежит внутри треугольника, . На сторонах треугольника и значение функции z равно нулю. Найдем наибольшее и наименьшее значения на стороне . На ней и

Стационарные точки находим из уравнения .

(т.к. х = 0 – граничная точка).

На концах интервала .

Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции z в данном треугольнике надо искать среди следующих ее значений:

в точке на стороне в точке (4, 2).

Сравнивая полученные значения видно, что наибольшее значение функция принимает внутри треугольника в точке ; наименьшее значение z = - 128 – границе, в точке (4, 2).

Пример 2.Найти величину и направление наибольшего изменения функции в точке .

Решение. Находим частные производные функции U(M) в любой точке M(x, y, z) и в точке M₀:

Тогда в точке имеем . Наибольшая скорость изменения поля в точке M₀ достигается в направлении :

Пример 3.Вычислим работу силы вдоль отрезка прямой АВ, если А(1, 1, 1) и В(2, 3, 4).

Решение. Запишем параметрические уравнения прямой АВ:

Тогда работа А силы на пути АВ вычисляется по формуле

Пример 4. Вычислить циркуляцию векторного поля

по контуру треугольника, полученного в результате пересечения плоскости с координатными плоскостями при положительном направлении обхода относительно нормального вектора этой плоскости двумя способами: 1) используя определение циркуляции; 2) с помощью формулы Стокса.

Решение. В результате пересечения плоскости (р) с координатными плоскостями получим треугольник АВС и укажем на нем положительное направление обхода контура АВСА.

1. Вычислим циркуляцию С данного поля по формуле: