Зарядка конденсатора.

При полной разрядке конденсатора (при нулевом показании вольтметра, измеряющего напряжение на конденсаторе) мгновенно переключим переключатель П в положение 1 (см. рис. 1).

По второму закону Кирхгофа можно записать:

U_R+U_C=e. (7)

Из (7) получим:

.

Преобразуем это уравнение к следующему виду:

. (8)

Уравнение (8) представляет собой линейное неоднородное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения можно получить, прибавив любое его частное решение к общему решению соответствующего однородного уравнения.

Уравнение (5) дает общее решение однородного уравнения. Частное решение получим из условия, что конденсатор заряжается до напряжения U_C = eпри бесконечно большом времени зарядки. Поэтому

q_частн=e ·С. (9)

Сложив (5) и (9), получим

. (10)

Найдем const из начального условия при t= 0, U_C=0, q=0.

, const = e × C.

С учетом этого из (10) находим

.

Разделив это уравнение на С, с учетом (2), запишем:

. (11)

Время релаксации.

Из уравнений (6) и (11) следует, что напряжение на емкости изменяется по экспоненциальному закону. Напряжение уменьшается или возрастает тем медленнее, чем больше произведениеRC. Поэтому произведение RC называют постоянной времени и обозначают буквой t (тау).

t = RC. (12)

Выясним физический смысл постоянной времени t. В соответствии с (6) можем записать

.

Следовательно, t - это время, за которое напряжение на конденсаторе уменьшится в е раз.

Постоянную времени t называют также временем релаксации .

Найдем уравнение касательной графика функции (6) с учетом (12).

.

Из рис. 2 следует, что t - это время, за которое напряжение на конденсаторе достигло бы установившегося значения U_C=0, если с момента t скорость изменения напряжения на конденсаторе не изменялась бы.