ПОТОКИ ОТКАЗОВ И ИХ СВОЙСТВА.

КОМПЛЕКСНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ

План лекции

1.Потоки отказов и их свойства

2.Комплексные показатели надежности

Краткое содержание лекции

Потоки отказов

Под потоком событий понимается такая последовательность событий, при которой они происходят одно за другим в случайные моменты времени. Втеории надежности основными потоками событий являются потоки отказов ивосстановлений. Потоки отказов и восстановлений как последовательная сменачередующихся во времени состояний объектов – объективная реальность приэксплуатации систем длительного пользования, к которым относятся и системыэлектроэнергетики. При эксплуатации сложных систем отказы возникают вслучайные моменты времени. Т.к. они устраняются, и работа оборудованияпродолжается, т.е. большая часть элементов может отказывать ивосстанавливаться многократно, то в течение достаточно длительного времениэксплуатации можно говорить о потоках отказов. Характеристикой процесса многократных отказов и восстановлений является время между последовательными событиями отказа и восстановления (Т_О), представляемое случайной величиной (см. рис. 3.1).

TO = Ti+ tB.

Рисунок 3.1. Диаграмма процессов отказов и восстановлений элементов

Поток отказов – это последовательность отказов, происходящих один за другим в случайные моменты времени. Вид потока отказов определяет свойства системы, критерии надежности,вид аналитических зависимостей между количественными характеристикаминадежности, а также методы расчета и испытаний системы. Поэтому изучениепотоков отказов имеет большое значение в теории надежности.Наиболее важными характеристиками потока отказов являютсяинтенсивность и параметр потока отказов.

Интенсивность потока отказов μ0 – это математическое ожиданиечисла отказов в единицу времени. Параметр потока отказов ω(t) – среднее количество отказов в единицу времени к одному элементу или предел отношения вероятности появления хотябы одного отказа за промежуток времени t к данному промежутку временипри t →0 , т.е. при его неограниченном уменьшении, или плотностьвероятности возникновения отказов за рассматриваемый период:

Статистически параметр потока отказов определяется по формуле:

Анализ потоков отказов элементов и систем показывает, чтоинтенсивность и параметр потока отказов в теории надежности совпадают, а при экспоненциальном законе распределения времени возникновения отказовинтенсивность и параметр потока всегда совпадают с интенсивностью отказов.

Математическое ожидание Н(t) числа событий отказов и восстановленийна интервале времени (0,t), выраженное через интегральную функциюраспределения величины ТО, времени между последовательными событиямиотказа и восстановления, т.е. FO(t) называется суммарным параметром потокаотказов:

где t – максимальная граница рассматриваемого интервала времени;

х – текущий параметр времени.

В практических расчетах обычно используют среднее значение параметрапотока отказов, которое называется иногда частотой отказов или среднейповреждаемостью:

Различают следующие виды потоков отказов: простейший поток, нестационарный пуассоновский поток, поток Пальма (поток с ограниченным последействием).Простейшим потоком называют такой поток отказов, при котором время возникновения отказов удовлетворяет одновременно требованиям стационарности, отсутствия последействия и ординарности.Стационарность случайного процесса времени возникновения отказовозначает, что вероятность возникновения отказов на любом промежутке времениUt не зависит от сдвига Ut по оси времени. Иначе можно сказать так:вероятность отказа на отрезке времени зависит от длительности отрезка, но независит от его положения на оси времени (см. рис.3.2).

Рисунок 3.2. Пояснение стационарности случайного процесса времени возникновения отказов

Если случайный процесс стационарный, то большое число наблюдений,сделанных над одной системой в произвольно выбранные моменты времени,имеет те же статистические свойства, что и то же число наблюдений, носделанных одновременно над большим числом систем.Отсутствие последействия означает, что вероятность наступления nотказов в течение промежутка времени Ut не зависит от того, сколько былоотказов, и как они распределились до этого промежутка времени.Для систем с большим числом элементов это означает, что отказ любогоэлемента системы не приводит к изменению надежности остальных элементов,т.е. отказы являются случайными независимыми событиями.Ординарность потока отказов означает невозможность появления водин и тот же момент времени более одного отказа.Простейший поток отказов также называют стационарнымпуассоновским потоком. Он обладает следующими основными свойствами:

1. Отказы во времени распределены по закону Пуассона:

2. Плотность распределения промежутков времени между соседнимиотказами является показательной функцией:

3. Плотность распределения вероятности промежутков времени от началапотока до к-го отказа определяется выражением, представляющим собойгамма-распределение:

4. Параметр потока отказов совпадает с интенсивностью

λ =ω .

5. Сумма большого числа простейших потоков в течение времени tобразует также простейший поток с интенсивностью равной

Анализ условий существования простейшего потока позволяет сделатьследующий вывод: если элементы сложной системы работают одновременно,их отказы имеют мгновенный характер, то отказ любого элемента ведет котказу всей системы, старение элементов отсутствует, и процесс эксплуатациистабилизирован. Отсюда область применения простейших потоков отказов:работа нерезервированных систем после периода приработки при мгновенныхотказах, приводящих к отказу всей системы, без учета старения элементов.Допущение о том, что поток отказов является простейшим не всегдасправедливо. Так, условие стационарности может не выполняться из-заприработочных отказов, старения материалов, разновременности работыразличных элементов системы. Однако для небольших промежутков временипредположение о стационарности процессов времени восстановления отказоввполне оправдано.Гипотеза же об отсутствии последствия является мало правдоподобной,т.к. при постепенных отказах одних из элементов их параметры ухудшаются,изменяются условия работы соседних элементов, что не может не влиять на ихслужебные свойства. Все это вместе снижает надежность, но не приводит кпотере работоспособности. При мгновенных отказах одних элементов такжерезко могут изменяться режимы работы других элементов, но поток отказовостается без последствий, т.к. это время очень мало, и при восстановленииустраняются отказы всех элементов. Отсюда, гипотеза об отсутствиипоследствия справедлива для потока отказов сложной системы длительногопользования, если оценивается ее надежность до первого отказа или в течение

более длительного периода, если имеют место только мгновенные отказы, иотказ одного любого элемента основного соединения ведет к отказу всейсистемы. В остальных случаях поток отказов сложной системы являетсяпотоком с последствием.Что касается ординарности, то в большинстве случаев это предположениесправедливо, т.к. отказ одного элемента основного соединения приводит котказу всей системы и при этом безразлично, отказали или нет другиеэлементы.Кроме простейших потоков для анализа надежности применяютнестационарный пуассоновский поток, т.е. поток, удовлетворяющийсвойствам ординарности и отсутствия последствия, но не удовлетворяющийусловию стационарности. Он имеет место в процессе приработки системы, вслучае, когда элементы сложной системы работают не одновременно, врезервируемых системах с постоянно включенным резервом и при условии, чтоотказы основной и резервной системы являются простейшими.Основной характеристикой нестационарного пуассоновского потокаявляется мгновенная интенсивность под которой понимают предел отношениясреднего числа событий на участке t к длительности этого участка, когдаt стремится к нулю.

Нестационарный пуассоновский поток обладает следующимисвойствами:

1. Случайные события, образующие поток отказов, подчиняются законуПуассона с параметром, зависящим от участка, в течение которого наблюдалсяпоток и от его расположения на оси времени, т.е.

где:

a − математическое ожидание числа отказов на участке,

определяемое выражением:

2. Закон распределения промежутков времени между соседними отказами

определяется выражением:

где t₀ – время появления первого из соседних отказов.

3. Мгновенная интенсивность ординарного потока без последействиясовпадает с мгновенным значением его параметра, т.е.

Еще для анализа надежности в электроэнергетике используют потокПальма – т.е. поток с ограниченным последействием. Его применяют длясистем с резервированием.Потоком Пальма называется ординарный поток, при котором промежуткивремени между последовательными отказами также являются случайныминезависимыми величинами. Отличие заключается в том, что в потоке Пальмазакон распределения этих промежутков в общем случае отличается отэкспоненциального. Разновидностью потока Пальма является поток Эрланга,который применяют для системы с ненагруженным резервом. Примером такойсистемы является дублированная система, в которой один элемент основной,второй резервный. Отказ системы наступает при одновременном отказе двух ееэлементов, а времена между отказами и образуют поток Эрланга. Здесьвероятность наступления отказа системы в некотором интервале временизависит от того, произошел ли отказ основного элемента, поэтому поток иявляется потоком с ограниченным последействием.

Поток Эрланга обладает следующими свойствами:

1. Плотность распределения промежутков времени в потоке Эрланга k –гопорядка имеет вид:

где λ₀ - параметр простейшего потока, из которого получен поток Эрланга.

2. Параметр потока и плотность распределения промежутка времени отначала потока до первого события связаны между собой следующимсоотношением в преобразованиях Лапласа:

3. При любом законе плотности распределения промежутка времени отначала потока до первого отказа параметр потока λ ( t ) при t →∞ имеетпредел равный величине обратной математическому ожиданию промежутковвремени между событиями, т.е.

Это означает, что с течением времени поток Пальма стабилизируется истановится стационарным.

4. Если суммарный поток состоит из большого числа независимых потоковмалой интенсивности, то он весьма близок к простейшему. Это свойство имееточень большое значение для электроэнергетики, т.к. позволяет считать, что длясложных систем, состоящих из большого числа элементов, справедливэкспоненциальный закон функции надежности.Параметр суммарного потока равен сумме параметров независимыхпотоков: