Для решения задач гидродинамики

Плоское стационарное движение жидкости

При плоском стационарном движении жидкости все ее частицы перемещаются параллельно некоторой плоскости (рис. 6.1)

Рис. 6.1. Плоское движение жидкости

Если определяющая плоскость совпадает с координатной , то потенциал скорости будет равен , а уравнения

(6.1)

будут линиями эквипотенциалей.

Компоненты скорости в проекциях на оси и определяются в виде

(6.2)

Уравнение неразрывности в случае плоского движения жидкости имеет вид

(6.3)

Если ввести функцию , связанную с проекциями скоростей равенствами

(6.4)

то она удовлетворяет уравнениям неразрывности, т.к.

(6.5)

Эта функция называется функцией тока, а выражение является уравнением линий тока.

Поскольку уравнение безвихревое, то

(6.6)

поэтому

(6.7)

Подстановка равенств в уравнение неразрывности дает

(6.8)

Сравнение равенств (6.2) и (6.4) дает

(6.9)

Функции, удовлетворяющие условиям (6.9), называются гармоническими.

Применение теории функций комплексной переменной

для решения задач гидродинамики

В теории комплексной переменной связь между функциями и называется условиями Коши-Римана.

При этом комплексная величина является комплексной переменной , равной (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Определение комплексной переменной и

Таким образом, существует функция комплексной переменной , вещественная и мнимая части которой будут и , т.е.

. (6.10)

Функция называется комплексным потенциалом или характеристической функцией течения.

Производная не зависит от направления дифференцирования (условие аналитичности) и полностью определяется положением точки в плоскости , заданной координатой , т.е.

(6.11)

или

(6.12)

. (6.13)

С учетом условий и получим

(6.14)

Величина и направление скорости в комплексной плоскости (рис.6.2) определится формулой

(6.15)

Производная от комплексного потенциала по координате равна скорости по абсолютной величине, а по направлению совпадает с зеркальным отображением вектора скорости относительно вещественной оси.

Величина называется сопряженной скоростью.