Операции над нечеткими отношениями

Объединение и пересечение нечетких отношений определяется следующим образом:

Отношение включения для нечетких отношений определяется с помощью отношения частичного порядка на :

Множество всех нечетких отношений между и образует дистрибутивную решетку по отношению к операциям объединения и пересечения и удовлетворяет следующим тождествам:

1. Идемпотентность:

2. Коммутативность:

3. Ассоциативность:

4. Дистрибутивность:

Выполнение этих тождеств для следует из выполнения соответствующих тождеств для решетки . В выполняется также следующее соотношение:

Из полноты решетки следует, что она обладает наименьшим 0 и наибольшим I элементами. Эти элементы определяют, соответственно, пустое и универсальное нечеткие отношения:

Следующее соотношение определяет композицию нечетких отношений и :

Здесь обозначает наименьшую верхнюю грань множества элементов , где пробегает все значения из . В силу полноты эта операция всегда определена.

Существуют и другие варианты операции композиции, которые определяются с помощью дополнительных операций, выводимых в . В зависимости от того, является ли множеством векторов, множеством лингвистических переменных или множеством чисел, эти дополнительные операции будут иметь соответствующий вид. Например, если является множеством действительных чисел, то операция может быть заменена на операцию взятия среднего арифметического, что дает другое определение операции композиции:

В случае мы имеем

Замена операции на операцию умножения дает следующее определение композиции:

Нечеткое отношение такое, что

играет по отношению к операции композиции роль единицы: . В теории четких отношений отношение Е называется отношением равенства.

Для любого нечеткого отношения определяется также обратное отношение :