Определение времени сохранения работоспособности

Из рассмотренных показателей надежности объектов при постепенных отказах, вызванных случайным изменением ОП, наиболее важными являются: вероятность нахождения объекта в работоспособном состоянии и плотность f(t) распределения времени (наработки) до отказа. Последнюю можно также определить как плотность распределения времени достижения ОП границы X_п рабочей области и обозначить f [ X(t) ] = f(t).

Для практических целей организации технического обслуживания объектов и прогнозирования работоспособности при периодическом контроле ОП важно знать конкретное время сохранения работоспособности.

На примере приведенных ранее линейных моделей изменения ОП Х(t) или его логарифма ln X(t) = Y(t) (лекция 14) получим распределение f [ X(t) ] и расчетные выражения для определения времени сохранения работоспособности объекта. Ниже будут рассматриваться только модели изменения ОП Х(t). Для линеаризованных путем логарифмирования моделей ln X(t) = Y(t) расчетные выражения будут аналогичными.

3.1. Веерные модели изменения ОП

Для объектов, случайный процесс изменения ОП которых можно представить веерными моделями, случайная величина времени достижения ОП Х(t) границы X_п рабочей области

(13)

будет являться функцией случайной величины - скорости V изменения ОП, закон распределения которой нормальный.

Плотность распределения времени достижения ОП границы X_п рабочей области определяется по известному из теории вероятностей правилу получения законов распределения функций случайных аргументов:

(14)

Для веерной функции с нулевым начальным рассеиванием при Х₀ = K₀ = const, т.е. mx₀ = X₀ , S_x0 = 0 плотность распределения f [X(t)], определенная по выражению (14), имеет вид

(15)

с параметрами

(16)

(17)

где можно считать неким относительным запасом долговечности объекта, имеющим размерность времени; - относительная средняя скорость изменения ОП (параметр безразмерен).

Для веерной модели с ненулевым начальным рассеиванием (для получения плотности распределения f [X(t)] выражаем скорость изменения ОП при условии достижения процессом Х(t) границы X_п рабочей области, т.е. Х(t) = X_п :

(18)

Плотность распределения времени пересечения ОП границы рабочей области, определенная по (14), имеет вид

(19)

в котором параметр распределения определяется по (17), а параметр запаса долговечности ₁ учитывает смещение "полюса" функции и выражается

(20)

т.е. по виду схож с параметром распределения (15).

Законы распределения времени до отказа, выраженные плотностями распределения (15) и (19), получили название альфа-распределение.

Абсциссы, имеющие размерность времени, характерных точек кривой плотности распределения f [X(t)], определяемой (15) или (19), позволяют определить искомое время t_с сохранения работоспособности объекта.

Ниже приведены (без вывода) расчетные выражения для определения времени tс сохранения работоспособности объекта при следующих моделях X(t) изменения определяющего параметра (ОП).

Для веерной модели Х(t) с нулевым начальным рассеиванием при рассчитанных по (16), (17) параметрах и момент времени t_н, равный tс, определяется:

(21)

Для веерной модели Х(t) с ненулевым начальным рассеиванием время сохранения работоспособности также определяется из (21) при замене на ₁ по (20):

(22)

Координаты ( , ) "полюса" функции, от которых зависит определение tс по выражению (22), после подстановки в него (20) определяются:

(23)

(24)

3.2. Равномерная модель изменения ОП

Для равномерной линейной модели (лекция 14), когда случайный процесс ОП Х(t) с постоянными аргументами S_x(t) = S_x0 и приближается к границе X_п , закон распределения ОП в каждом из сечений нормален и плотность распределения времени пересечения ОП границы рабочей области определяется

(25)

Выражение (25) плотности f[X(t)] свидетельствует о нормальном законе распределения наработки объекта до постепенного отказа с параметрами распределения:

(26)

(27)

Время сохранения работоспособности tс после преобразования принимает вид

tс = mt - St .

(28)

Частные вопросы оценки параметрической надежности объектов