Шкала электромагнитных излучений

Зависимость λ₀ длины волныв вакууме от ν частоты с учётом cфазовой скорости электромагнитных волнв вакуумепо аналогии с (2.68) из раздела 2.0"Колебания и волны" имеет следующий вид: λ₀ = c/ν (10.1) Радиоволнаминазывают электромагнитные волны, λ₀ длина волны которых в вакуумес учётом (10.1) связаны следующим соотношением: λ₀ > 5·10 ^-5 м и ν < 6·10¹² Гц. (10.2) Оптическимизлучением или светом называют электромагнитные волны, λ₀ длина волны которых в вакууменаходится в следующем интервале:10 нм < λ₀ < 1 мкм, (10.3) где 1 нм = 10 ^-9 м. К оптическомуизлучению относят инфракрасное, видимоеи ультрафиолетовоеизлучения.

Инфракраснымизлучением называют электромагнитноеизлучение, испускаемое нагретымителами, λ₀ длины волн которых в вакууме находятся в следующем интервале:

770 нм < λ₀ < 1 мкм. (10.4) Видимымсветом или видимымизлучением называют электромагнитноеизлучение, способное непосредственно вызывать зрительное ощущение в человеческом глазе, с λ₀ длинами волн в вакууме, находящихся в следующем интервале: 380 нм < λ₀ < 770 нм. (10.5) Ультрафиолетовымизлучением называют электромагнитноеизлучение с λ₀ длинами волн в вакууме,находящимися в следующем интервале: 10 нм < λ₀ < 380 нм. (10.6) Рентгеновскимизлучением или рентгеновскими лучами, возникающими при взаимодействии заряженных частиц, а также фотоновс атомами вещества, называют электромагнитноеизлучение с λ₀ длинами волн в вакууме,находящимися в интервале:

0,01. . .1 пм < λ₀ < 10. . .100 нм, (10.7) где 1 пм = 10 ^-12 м.

Уравнение синусоидальной бегущей плоской и сферической световых волн в непоглощающей среде: амплитуда, длина волны, фазовая скорость

В волновой оптике светпредставляется электромагнитнойволной, поэтому в соответствии с (9.24) из раздела 9.0 "Электромагнитные волны. Излучение"взаимно перпендикулярные векторы Eи H напряжённостейсоответственно электрического и магнитногополей колеблютсяс ωциклической частотой в произвольной точке пространства. Плоскость, образованная взаимно перпендикулярными векторами Eи H напряжённостейсоответственно электрического и магнитногополей в произвольной точке пространства, перпендикулярнак r радиусу- вектору, проведённому из источника световойволны в эту произвольную точку пространства. Как показывает опыт, физиологическое, фотохимическое, фотоэлектрическое и другие действия света вызываются колебаниями с ωциклической частотой в произвольной точке пространства вектора E напряжённостиэлектрического поля. В дальнейшем под световым векторомподразумевается вектор E напряжённостиэлектрического поля, а его вектор амплитудыобозначается A.

Изменение во времении пространствеA проекции A светового векторана плоскость, перпендикулярную r радиусу- вектору, проведённому из источника световойволны в произвольную точку пространства, описывается уравнением (9.24) из раздела 9.0 "Электромагнитные волны. Излучение", в котором r радиус- вектор, проведённый из источника световойволны в произвольную точку пространства, направлен по OY оси, вследствие чего эта A проекция A светового векторана плоскость, перпендикулярную r радиусу- вектору, имеет следующий вид : A = A_m cos(ωt - ky + φ), (10.8) где ω -циклическая частотаколебаний A светового вектора; k = ω/v (2.70) из раздела 2.0 "Колебания и волны" - волновое число, v = с/(εμ)^1/2- фазовая(9.10) из раздела 9.0 "Электромагнитные волны. Излучение" скорость электромагнитной волныв однородной изотропной среде с постоянными ε диэлектрической и μмагнитной проницаемостями; A_m - амплитуда колебаний A светового вектора; φ - начальная фазаколебанийA светового вектора. Для плоской(рис.2.17) из раздела 2.0 "Колебания и волны" световойволны аналогично плоской бегущей волнедля упругой среды (2.69) в разделе 2.0 "Колебания и волны ", распространяющейся в непоглощающей среде, амплитуда A_m колебаний A светового вектора постоянна, т.е. A_m = const.

Для сферической световойволны аналогичносферической бегущей волне для упругой среды(2.76) в разделе 2.0 "Колебания и волны ", распространяющейся в непоглощающей среде, амплитуда A_m колебаний A светового вектора сферической световойволны с учётом r расстояния от источника сферической световойволны до произвольной точки пространстваимеет следующий вид: A_m = (A₀/r), (10.9) где A₀ - амплитудаколебаний A светового вектора на r расстоянии, равном единице длины. Для большинствапрозрачных веществ, в которых распространяется световаяволна, магнитная проницаемость μ ≈ 1, поэтому nпоказательпреломленияэтойпрозрачной среды,рассчитанный повыражению (9.99) из раздела 9.0 "Электромагнитные волны. Излучение"дляопределенияnпоказателя преломлениясреды при распространении электромагнитных волн,принимает следующий вид: n =( ε)^1/2, (10.10)

где ε -диэлектрическаяпроницаемость среды, в которой распространяется электромагнитная волна.

Значения nпоказателя преломлениясреды из (11.10) характеризуют оптическую плотность среды. Среда с бόльшим n называется оптически более плотной,чем среда с меньшимn. Среда с меньшим n называется оптически менее плотной,чем среда с бόльшимn. В вакууме световаяволна распространяется с vфазовойскоростью, равной скорости c света. Поэтому длинаволны λ₀ в вакууме с учётом ν частоты колебаний A светового вектора по аналогии с колебаниями (2.68) из раздела 2.0 "Колебания и волны" частиц упругой средыимеет следующее значение: λ₀ = с/ν = сT,(10.11) где T = 1/ν - периодколебаний A светового вектора.

фазоваяvскорость (9.10) из раздела 9.0 "Электромагнитные волны. Излучение" световой волны как электромагнитной волныс учётом значения магнитной проницаемости μ ≈ 1 прозрачных веществ, в которых распространяется световаяволна, имеет следующее значение:

v = с/(ε)^1/2. (10.12) Подставляем (10.10) в (10.12) и получаем следующее выражение, связывающее фазовую(9.10) из раздела 9.0 "Электромагнитные волны. Излучение" vскоростьсветовой волныиnпоказательпреломления прозрачной среды, в которой распространяется эта световаяволна: v = с/n. (10.13) Длинаволны λ впрозрачной среде по аналогии с (11.11), а также с учётом ν частоты колебаний A светового вектора в этой среде и фазовой(10.13) vскоростисветовой волныимеет следующий вид: λ = v/ν = с/νn. (10.14)

Интенсивность синусоидальной бегущей плоской и сферической световых волн в непоглощающей среде

ИнтенсивностьI световойволны в произвольной M точке по аналогиис(9.92) из раздела 9.0 "Электромагнитные волны. Излучение"интенсивностью электромагнитной волныравняется< S > среднему значению за Δt интервалвременимодуляSвектора плотности потокаэнергии, т.е. вектораS Пойнтинга, в произвольной M точке пространства с r радиусом- вектором, проведённым из источника световойволны в эту произвольную M точку, поэтому эта I интенсивность световойволны имеет следующий вид: I ~ E_mH_m, (10.15)

где E_m и H_m - амплитуды колебаний векторов напряжённостейсоответственно E электрическогои H магнитногополя световой волны как разновидности электромагнитной волны c λ длинами волн, находящимся в (10.3) интервале.

Согласно (9.28) из раздела 9.0 "Электромагнитные волны. Излучение"отношение E_m/H_m амплитуд колебаний векторов Eи H напряжённостейсоответственноэлектрическогополя и магнитногополей с учётом значения магнитной проницаемости μ ≈ 1 прозрачных веществ, а также с учётом (10.10) nпоказателя преломлениясреды, в которых распространяется световаяволна, имеет следующий вид:

E_m/H_m = (μ₀/ε₀ε)^1/2 ↔ H_m = ( ε)^1/2(ε₀/μ₀)^1/2 E_m = n(ε₀/μ₀)^1/2 E_m ↔ H_m ~nE_m . (10.16) Подставляем (10.16) в (10.15) с учётом равенстваамплитуды A_m колебаний A светового вектора величине E_m, принятой в (9.24) из раздела 9.0 "Электромагнитные волны. Излучение" амплитудой колебаний вектора E напряжённости электрическогополяэлектромагнитной волны, и получаем следующее выражениеIинтенсивности световойволны:

I ~ nE_m² = nA_m² ↔ I ~ A_m². (10.17) Согласно (10.17) среднее (9.92) из раздела 9.0 "Электромагнитные волны. Излучение" значение модуля <S >плотности потокаэнергии или вектора SПойнтинга за Δt интервалвремени, которое называют Iинтенсивностью электромагнитнойи световойволны в произвольной точке пространства,пропорциональнаквадрату A_m²амплитуды световойволны. Линии, вдоль которых распространяется световаяэнергия называются лучами. Усреднённый вектор< S >Пойнтинга направлен в каждой точке по касательной к лучу. В изотропныхсредах направление усреднённого вектора< S >Пойнтинга совпадает с нормальюк волновой поверхности, т.е. с направлением волнового k вектора. Следовательно, световыелучи перпендикулярны к волновым поверхностям.

амплитудысветовойволны в эти моменты времени направлены в разные стороны.

Естественныйсвет являетсянеполяризованным светом.

Сложение синусоидальных бегущих плоских некогерентных и когерентных световых волн в непоглощающей среде

M точке пространства колебания световойволны, усреднённые векторы< S₁ >,< S₂ >Пойнтингакоторыхимеют однонаправление.

КвадратA_m²амплитуды световойволнырезультирующего колебания в (рис. 10.2) M точке пространствапо аналогии с (2.18)из раздела 2.0"Колебания и волны" определяетсяследующим сложениемдвух одинаково направленныхгармонических колебаний: A_m² = A_m1² +A_m2² + 2A_m1A_m2 cos(Ф₂ - Ф₁), (10.18)

где (2.69) из раздела 2.0"Колебания и волны" Ф₁ = ωt - ky+ φ₁ , Ф₂ = ωt - ky+ φ₂ - фазовые углыколебаний A₁, A₂световых векторовпервой и второйсветовыхволн в произвольной M точке пространства, имеющей y координату, в данный момент t времени; Ф₂ - Ф₁ = δ - разность фаз в произвольной M точке пространства, имеющей y координату,колебаний A₁, A₂световых векторовпервой и второйсветовыхволн в данный момент t времени, равная углу между векторами A_m2, A_m1 амплитуд этих световыхволн.

Если угол δ = Ф₂ - Ф₁ остаётся (рис. 10.2) постоянным во времени, что возможно при равенстве ω циклических частот первой и второйсветовыхволн в произвольной M точке пространства, имеющей y координату, то световыеволны называются когерентными.

В случае некогерентных световыхволн δ = Ф₂ - Ф₁ угол (рис. 10.2) между векторами A_m2, A_m1 амплитуд в M точке пространстванепрерывно изменяется с течением tвремени, принимая за Δt интервалвремени с равной вероятностью любые положительныеи отрицательныезначения, поэтому <cosδ > = <cos(Ф₂ - Ф₁)> в случае некогерентных световыхволн равно 0.

Таким образом, в случае некогерентных световыхволн среднее значение < A_m² > квадрата амплитуды световой волнырезультирующего колебания в точке (рис. 10.2)

M пространствас учётом (10.18) имеет следующий вид:

< A_m² > = <A_m1²> + <A_m2²> + 2<A_m1A_m2>< cos(Ф₂ - Ф₁)> = <A_m1²> + <A_m2²>.(10.19) ИнтенсивностьIэлектромагнитнойи световойволны согласно(10.17)пропорциональнаквадрату A_m²амплитуды световойволны, поэтому (10.19) принимает следующий вид:

I = I₁ + I₂. (10.20) Согласно (10.20) результирующаяIинтенсивность электромагнитнойи световойволны, наблюдаемая при наложении двух некогерентных световыхволн, например, в (рис. 10.2) M точке пространствав произвольный момент t времени, равна сумме I₁ и I₂ интенсивностей, создаваемых каждой световойволной в M точке пространства.

В случае когерентных световыхволн cosδ = cos(Ф₂ - Ф₁) имеет постоянное значение во времени, поэтому результирующаяIинтенсивность электромагнитнойи световойволны согласно (10.18) имеет следующий вид: I = I₁ + I₂ + 2(I₁ I₂)^1/2cosδ. (10.21) В тех точках пространства, для которых cosδ > 0, результирующаяIинтенсивность электромагнитнойи световойволны согласно (10.21) будет превышать сумму I₁ и I₂ интенсивностей, создаваемых каждой световойволной в отдельности.

В тех точках пространства, для которых cosδ < 0, результирующаяIинтенсивность электромагнитнойи световойволны согласно (10.21) будет меньшесуммы I₁ и I₂ интенсивностей, создаваемых каждой световойволной в отдельности.

Таким образом, при наложении когерентных световыхволн происходит перераспределение светового потокав пространстве, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других - минимумыинтенсивности.

При равной интенсивностикаждой из когерентных световыхволн, т.е. когда I₁ = I₂,в интерференционных(10.21) максимумахпри cosδ= 1 результирующаяIинтенсивность электромагнитнойи световойволны имеет следующий вид: I = 4I₁.(10.22) В интерференционных(10.21) минимумах, когда cosδ= -1,результирующаяIинтенсивность электромагнитнойи световойволны имеет следующий вид: I = 0.(10.23) Для двух некогерентных световыхволн, когда интенсивность обеих световых волнодинакова, т.е. I₁ = I₂, в любой точке пространства получается всюду одинаковая результирующая

Iинтенсивность электромагнитнойи световойволны, имеющая следующий вид:

I = 2I₁.(10.24)

Расчет интерференционной картины от одного источника разделением световых волн на две части

Когерентные световыеволны получают разделениемс помощью отраженийили преломленийодной волны, излучаемой одним источником, находящимся (рис. 10.3) в O точке,

на две части. Если заставить эти две волны пройти разные оптические пути, а потом наложить их одну на другую, то наблюдается интерференция. Разность оптических путей, проходимых

интерферирующими световымиволнами, не должна быть очень большой.

Световаяволна (рис. 10.3) с вектором A_m1 амплитуды колебаний A₁светового векторапроходит геометрический путьl₁′ + l₁′′ попрозрачной среде с показателем n₁ преломленияэтой среды и направлениемсветового лучапо вектору< S₁ >Пойнтинга. В M точке пространства Ф₁ фаза колебаний (10.8) этой световой волныc учётом φ₀₁ = 0 начальной фазыколебаний в O точке пространства и ωциклической частотыколебаний A₁светового вектораимеет следующий вид: Ф₁ = ωt - k₁r₁ , (10.25)

n₁ показателем преломления,с учётом (10.13) имеет следующий вид: v₁ = c/n₁.(10.26) Подставляем (10.26) в (10.25) и получаем (2.69) из раздела 2.0 "Колебания и волны" следующую величину Ф₁ фазового угла световойволны с вектором A_m1 амплитуды колебаний

A₁светового вектора в (рис. 10.3) M точке пространства: Ф₁ = ωt -[ω(l₁′ + l₁′′ )/v₁ ] = ωt - [ (l₁′ + l₁′′ )n₁ω/c]. (10.27) Аналогично для световойволны (рис. 10.3) с вектором A_m2 амплитуды колебаний

A₂ светового вектора, которая проходит геометрический путьl₂′ + l₂′′ попрозрачной среде с

n₂ показателем преломленияэтой среды и направлениемсветового лучапо вектору

< S₂ >Пойнтинга, Ф₂ фазовыйугол этойсветовойволны в M точке пространства c учётом начальной φ₀₂ = 0 фазыколебаний в O точке пространства и ωциклическойчастотыколебаний A₂ светового вектора имеет следующий вид: Ф₂ = ωt - [ (l₂′ + l₂′′ )n₂ω/c]. (10.28) Разность Ф₂ - Ф₁ фаз колебаний A₂, A₁ световых векторов, равный(рис. 10.2) углу между векторами A_m2 , A_m1 амплитуд в M точкепространствав произвольный момент t временис учётом (10.27), (10.28) имеет следующий вид: Ф₂ - Ф₁ = (ω/c)[(l₂′ + l₂′′ ) n₂ - (l₁′ + l₁′′ ) n₁]. (10.29) Связь между ν частотой колебаний A светового вектора и его ωциклическойчастотойимеет следующий вид: ω = 2πν. (10.30) Длинаλ₀ световой волны в вакууме (10.11) с учётом (10.30) принимает следующий вид: λ₀ = 2πс/ω ↔ ω/c = 2π/λ₀ . (10.31) Подставляем (10.31) в (10.29), обозначив разность [(l₂′ + l₂′′)n₂ - (l₁′ + l₁′′)n₁] = Δ оптической разностью ходамежду оптическимL₂ = (l₂′ + l₂′′ )n₂ путём световойволны с вектором

A_m2 амплитуды колебаний A₂ светового вектора и оптическимL₁ = (l₁′ + l₁′′ )n₁путём световойволны с вектором A_m1 амплитуды колебаний A₁ световых векторов, из чего получаем следующее выражение разности Ф₂ - Ф₁ фаз колебаний A₂, A₁ световых векторов, т.е. (рис. 10.3) δ угол между векторами A_m2 , A_m1 амплитуд в M точкепространствав произвольный момент t времени: Ф₂ - Ф₁ = δ = (ω/c)[(l₂′ + l₂′′ ) n₂ - (l₁′ + l₁′′ ) n₁] = (2π/λ₀ )Δ. (10.32) Если в (10.32) разность Ф₂ - Ф₁ фаз колебаний A₂, A₁ световых векторов, т.е. (рис. 10.3)

δ угол между векторами A_m2 , A_m1 амплитуд в M точкепространствав произвольный момент

t времени, кратна 2π, т.е. в (10.18) cos(Ф₂ - Ф₁) = 1, то в эту M точку пространствав произвольный момент t времени световые волны приходят в одинаковой фазеи в ней поэтому существуетинтерференционный максимум. Условие кратности 2π разности Ф₂ - Ф₁ фаз колебаний A₂, A₁ световых векторов, т.е. кратности 2π (рис. 10.3) δ угла между векторами A_m2 , A_m1 амплитуд в M точкепространствав произвольный момент t временис учётом(10.32) приводит к следующему выражению: Ф₂ - Ф₁ = (2π/λ₀ ) Δ = ±m2π ↔ Δ = ± mλ₀, (10.33) где m = 0, 1, 2, …. Согласно (10.33) при (рис. 10.3) оптической Δразности ходамежду оптическимL₂ = (l₂′ + l₂′′)n₂ путём световойволны с вектором A_m2 амплитуды колебаний A₂ светового вектора и оптическимL₁ = (l₁′ + l₁′′)n₁путём световойволны с вектором A_m1 амплитуды колебаний A₁ световых векторов, кратным целомучислу λ₀ длин световых волнв вакууме, в

M точкепространствав произвольный момент t временисуществует интерференционный максимум.

Если в (11.32) разность Ф₂ - Ф₁ фаз колебаний A₂, A₁ световых векторов, т.е. (рис. 10.3)

δ угол между векторами A_m2 , A_m1 амплитуд в M точкепространствав произвольный момент

t времени,кратна нечётномуколичеству ± π, т.е. в (10.18) cos(Ф₂ - Ф₁) = -1, то в эту M точку пространствав произвольный момент t времени световые волны приходят в противофазеи в ней поэтому существуетинтерференционный минимум. Условие кратности нечётномуколичеству ± π разности Ф₂ - Ф₁ фаз колебаний A₂, A₁ световых векторов, т.е. кратности π

(рис. 10.3) δ угла между векторами A_m2 , A_m1 амплитуд в M точкепространствав произвольный момент t временис учётом(10.32) приводит к следующему выражению:

Ф₂ - Ф₁ = (2π/λ₀ ) Δ = ±(2m + 1)π ↔ Δ = ± (m + 1/2)λ₀, (10.34) где m = 0, 1, 2, …. Согласно (10.34) при (рис. 10.3) оптической Δразности ходамежду оптическимL₂ = (l₂′ + l₂′′) n₂ путём световойволны с вектором A_m2 амплитуды колебаний A₂ светового вектора и оптическимL₁ = (l₁′ + l₁′′)n₁путём световойволны с вектором A_m1 амплитуды колебаний A₁ световых векторов, кратным нечётномуколичеству длин световых λ₀/2 полуволнв вакууме, в M точкепространствав произвольный момент t временисуществует интерференционный минимум.

Расчет интерференционной картины с двумя когерентными источниками цилиндрическихсветовых волн

цилиндрическими, т.е. плоскости их равных фаз- это окружностис центрами S₁, S₂ точках.

Световыеволны от S₁, S₂ источников являются когерентными.

Оптическая Δразность хода световыхлучей l₁, l₂ длинами с учётом nпоказателя преломления среды, в которой они распространяются, по аналогии с (10.32) имеет следующий вид: n(l₂ - l₁) = Δ. (10.35)

(рис.10.4) схеме: l₂² = l² + (z + d/2)²

l₁² = l² + (z - h/2)² ↔ (l₂ + l₁)( l₂ - l₁) = 2zh.(10.37) Подставляем (10.36) в (10.37) и получаем следующее приблизительное выражение, связывающее геометрические параметры на (рис.10.4) схеме: ( l₂ - l₁) ≈ zh/l. (10.38) Умножаем левуюи правуючасти (11.38) на n показательпреломления среды, в которой распространяютсясветовыелучис l₁, l₂ длинами, вследствие чего получаем следующее выражение: n( l₂ - l₁) ≈ nzh/l.(10.39) Подставляем (10.35) оптическую Δразность хода световыхлучей с l₁, l₂ длинами в (10.39) и получаем её следующую величину для M точки на Э экране, находящейся на z расстоянии от O центра: Δ ≈ nzh/l.(10.40) Для расчёта z_max координат, где будут наблюдаться интерференционные максимумывоспользуемся условием их существования, для чего приравняем (11.33) и (11.40), вследствие чего для расчёта z_max координат получаем следующее выражение:

nz_maxh/l = ± mλ₀↔ z_max = ± mlλ₀/nh ↔ z_max = ± mlλ/h, (10.41) где m = 0, 1, 2, ….; λ = λ₀/n - длина световой волны в однородной изотропной среде с nпоказателем преломления, в которой распространяютсясветовыелучис l₁, l₂ длинами. Для расчёта z_min координат, где будут наблюдаться интерференционные минимумывоспользуемся условием их существования, для чего приравняем (10.34) и (10.40), вследствие чего для расчёта z_min координат получаем следующее выражение:

nz_min h/l = ± (m + 1/2)λ₀ ↔ z_min = ± (m + 1/2)l λ₀/nh ↔ z_min = ± (m + 1/2)lλ/h, (10.42) где m = 0, 1, 2, ….; λ = λ₀/n - длина световой волны в среде с nпоказателем преломления, в которой распространяютсясветовыелучис l₁, l₂ длинами. Расстояние Δz_р между соседними интерференционными максимумами(рис. 10.4), где I интенсивность световой волны максимальна, например, между 1max (m = 1) интерференционным максимумом первого порядка, т.е. в котором оптическая Δ(10.40) разность хода световыхлучейс l₁, l₂ длинами составляет однудлину волны λ = λ₀/n в среде с

nпоказателем преломления, и 2max (m = 2) интерференционным максимумомвторого порядка, т.е. в котором Δоптическая(10.40) разность хода световыхлучейс l₁, l₂ длинами составляет дведлины волны λ = λ₀/n в среде с nпоказателем преломления с учётом (10.41), имеет следующий вид: Δz_р = z_{2 max} - z_{1 max} = 2lλ/d - lλ/d = lλ/h, (10.43) где Δz_р называют расстоянием между интерференционнымиполосами, которое не зависит от порядка соседних интерференционных максимумов. Для отчётливой интерференционнойкартины необходимо, чтобы h расстояние между S₁, S₂ источниками (рис. 10.4) световых волн было много меньше l расстояния от этих источников световых волн до Э экрана, где наблюдается интерференционнаякартина.

Расстояние Δz_ш между соседними интерференционными минимумами(рис. 10.4), где I интенсивность световой волны минимальна, например, между 1max (m = 1) интерференционным минимумом первого порядка, т.е. в котором оптическая Δ(10.40) разность хода световыхлучейс l₁, l₂ длинами составляет половинудлины волны λ/2 = λ₀/2n в среде с nпоказателем преломления, и 2max (m = 2) интерференционным минимумомвторого порядка, т.е. в котором оптическая(10.40) Δ разность хода световыхлучейс l₁, l₂ длинами составляеттри половиныдлины волны 3λ/2 = 3λ₀ /2n в среде с nпоказателем преломления с учётом (10.42), имеет следующий вид: Δz_ш = z_2min - z_{1 min} = 3lλ/2h - lλ/2h = lλ/h, (10.44) где Δz_ш называютшириной интерференционныхполос, которое не зависит от порядка соседних интерференционных минимумов. Из сравнения (10.43) и (10.44) следует, что расстояние Δz_р между интерференционнымиполосами равно ширине Δz_ш интерференционныхполос, вследствие чего для расчёта расстояние Δz_р между интерференционнымиполосами и ширины Δz_ш интерференционныхполос получаем следующее выражение: Δz_р = Δz_ш = lλ/h. (10.45)

Пространственно-временная когерентность световых волн: длина, время и ширина когерентности световых волн

Источники (рис.10.5) S_λ и S_λ+Δλ - это две тонкие нити, находящиеся в O начале координат и перпендикулярные плоскости чертежа, от которых в рассматриваемую M точку на Э экране распространяются световыелучи. Световыеволны с λ, λ+Δλ длинами световых волн в однородной изотропной среде с nпоказателем преломления от соответственно S_λ, S_λ+Δλ источников являются цилиндрическими, т.е. плоскости их равных фаз- это окружностис центрами S_λ, S_λ+Δλ точках.

Каждый S_λ, S_λ+Δλ источник образует (рис. 10.5) на Э экране интерференционнуюкартину со следующими расстояниями Δz_λ, Δz_λ+Δλ (10.44) между интерференционнымиполосами:

Δz_λ = lλ/h; Δz_λ+Δλ = l(λ+Δλ) /h, (10.46) где λ+Δλ > λ - длины световых волн в однородной изотропной среде с nпоказателем преломления от соответственно S_λ, S_λ+Δλ источников; h - расстояние между узкими щелями в ДФдиафрагме, находящейся на l расстоянии от Э экрана.

Оптическая Δ(10.40) разность ходав рассматриваемой M точке на Э экране одинаковадля интерференционного минимума (m+1)_min порядка с λ длиной световой волны иинтерференционного максимума m_max порядка с λ+Δλ длиной световой волны, вследствие чего (10.41) для расчёта z_m+1 = z_m координат получаем следующее выражение:

z_m+1 = ± (m+1/2)λl/h; z_m = ± m(λ+Δλ)l/h ↔ ± (m+1/2)λl/h ≈ ± m(λ+Δλ)l/h ↔ λ ≈ mΔλ, (10.47)

где λ /Δλ = m - степень монохроматичности света; в порядкахm > (m+1)_min = m_max интерференционныемаксимумы отсветовыхлучейс λ+Δλ длиной световой волны находятся на

Э экране в z координатах, где существуют интерференционныемаксимумы отсветовыхлучейс

которых распространяются световыелучи, отличающиеся друг от друга на Δλ длинусветовой волны, в данной интерференционной системе становятся некогерентными, если m ≥ (m+1) _min = m_max .Световые волны от S_λ, S_λ+Δλ источников, от которых распространяются световыелучи, отличающиеся друг от друга на Δλ длину, в данной интерференционной системе будут когерентнымидотехпор, пока порядокmинтерференционного максимумабудет меньше 3, т.е. при значениях порядкаmинтерференционногомаксимума, равного m = 0, ±1, ±2.

Оптическая Δ(10.40) разность ходав (рис. 10.5) рассматриваемой M точке на

Э экране световыхлучейс λ, λ+Δλ длинами волн, при распространении которых данная интерференционная система становится некогерентной, имеет с учётом(10.47) следующий вид:

Δ= m_maxλ≈ λ²/Δλ ↔ l_ког ≈ λ²/Δλ, (10.48)

гдеl_ког- длина когерентности световыхлучейс λ, λ+Δλ длинами волн, при распространении которых данная интерференционная система при выполнении условия Δ< l_ког является когерентной.

Согласно (10.48) по заданной l_когдлине когерентностирассчитывают

m_max ≈ λ /Δλ ≈ l_ког/λ степень монохроматичности света,чтобы в порядкеm< m_maxинтерференционнаякартина была видна отчётливовданной интерференционной системе.

Оптическая Δ(10.40) разность ходав (рис. 10.5) рассматриваемой M точке на

Э экране световыхлучейс λ, λ+Δλ длинами волн, при распространении которых данная интерференционная система является когерентной вплоть до m< m_maxпорядка интерференционногомаксимума имеет с учётом(10.48) следующий вид:

Δ< m_maxλ↔ Δ< l_ког ≈ λ²/Δλ. (10.49) В вакууме l_когдлину когерентности световойлуч сменьшей λ длиной волны из всего диапазона до λ+Δλ значения этих длин волн проходит учётом её cфазовой скоростиза следующее t_ког время когерентности: t_ког = l_ког/c ↔ t_ког ≈ cλ²/Δλ. (10.50)

Световыеволны с длиной λ волны в однородной изотропной среде с nпоказателем преломления (рис. 10.6) от Щ щели бесконечной длины по перпендикулярнойплоскости чертежа OX осии sширинойпо OZ оси, находящейся на l расстоянии от ДФдиафрагмы, после прохождения двухузкихS₁, S₂ щелейв ДФдиафрагме, находящихся на d расстоянии друг от друга создают на Э экране интерференционнуюкартину.

Расстояние d между двумяузкимиS₁, S₂ щелямив ДФдиафрагме,при распространении от которых световыеволны становятся некогерентными,обозначаютh_ког шириной когерентности световыхволн в данной интерференционной системе, т.е. для определения h_ког ширины когерентности световыхволн имеет место следующее выражение: h_ког ≈ h, (10.51)

гдеh- расстояние между двумяузкимиS₁, S₂ щелямив ДФдиафрагме Щ щели,при распространении от которых световыеволны становятся некогерентными.

При sширине Щ щели, равной (рис. 10.6) величине Δz интервала между интерференционнымимаксимумами 0 порядка от 1, 2 световыхлучей, исходящих отсоответственно ds₁, ds₂ верхнейи нижнейграниц Щ щели,будет целиком заполнен при равенстве l расстояния от Щ щелидо ДФдиафрагмыl расстоянию от ДФдиафрагмыдо

Э экрана интерференционнымимаксимумами 0 порядка от остальных, находящихся между верхнейи нижнейграницами, элементов Щ щели.Поэтомуинтерференционныеполосыисчезнутпри следующей sширине Щ щели, равной (рис. 10.6) величине(10.46) Δz интервала между интерференционнымимаксимумами 0 порядка от 1, 2 световыхлучей:

Δz = lλ/h ↔ s = lλ/h.(10.52)

Подставляем (10.51) в (10.52) и получаем следующее приблизительное выражение, связывающее (рис. 10.7) h_ког ширину когерентности световыхволн, равное h расстоянию между двумяузкимиS₁, S₂ щелямив ДФдиафрагме, и sшириной Щ щели, при которой интерференционная система когерентна, т.е. при которойинтерференционнаякартина на

Э экране будет видна отчётливо: h_ког ≈ lλ/s ↔ h_ког ≈ λ/(s/l) ↔ h_ког ≈ λ/φ,(10.53)

гдеφ- малая угловая ширина Щ щелиотносительно OY оси, проходящей на равных расстояниях от двух узкихS₁, S₂ щелейв ДФдиафрагме.

Для получения устойчивой интерференционнойкартины с использованием обычных, т.е. не лазерных, источников света необходимо исходную световую волну разделить на две части, которые затем в области перекрытия дадут интерференционныеполосы, если будут выполняться следующие необходимое и достаточноеусловия:

1) длина l_когкогерентности(10.49) источника света, выбранного для получения интерференционнойкартины, должна превышать Δ оптическую разность хода складываемыхсветовых волн, т.е. Δ < l_ког ;

2) ширина h_когкогерентности(10.53) в оптической системе (рис. 10.6) должна превышать

h расстояние между щелями, которые делят луч пополам, т.е. h < h_ког.

Интерференция световых волн в тонких пленках

До отражения (рис. 10.8) в O₁ точке 1 световойлучпо сравнению со 2 световымлучом проходит в I среде дополнительныйd оптический путь, имеющий следующий вид:

d = 2htqυ₂ sinυ₁.(10.54)Далее световой(рис. 10.8) луч в вакууме 1 отражается от поверхности средыIIс

n₂показателемпреломления, оптически более плотной, чем I среда, поэтому в O₁точке отражения 1световойлуч меняет свою фазуна π, что эквивалентно прохождению1 световымлучомоптического пути, равного λ₀/2 длины световой волны в вакууме. Поэтому световой1 лучот плоского O₂Kволнового фронта, пересекающего 2 лучв O₂ точке, проходит оптический l₁ путь, имеющий следующий вид: l₁ = d + λ₀/2 = 2htqυ₂ sinυ₁ + λ₀/2.(10.55)Световой(рис. 10.5) луч 2 преломляется в O₂ точке, распространяется во II средес

n показателем преломлениядо основания тонкой пластины наl расстояние, после чего попадает в O₁ точку.

Оптический (10.29) l₂ путь, который прошёл2 световойлучот плоского O₂Kволнового фронта до O₁ точки при прохождении двойногоl расстояния во II средес n показателем преломления, имеет следующий вид: l₂ = 2n₂h/cosυ₂ (10.56) Световые(рис. 10.8) лучи 1 и 2, оказавшись в O₁ точке после прохождения соответственно оптических путей l₁ (10.55) и l₂ (10.56) когерентны, а Δоптическаяразность хода2′ преломлённого и 1′ отражённого световыхлучей с учётом (10.56) и (10.55) имеют следующий вид: Δ = l₂ - l₁ = (2hn₂/cosυ₂) - 2htqυ₂sinυ₁ - λ₀/2.(10.57)

n₂cosυ₂ = (n₂² - sin²υ₁)^1/2. (10.60)

Производим тождественныепреобразования в (10.57) с учётом (10.58) и (10.60) и получаем следующее выражение, связывающее (рис. 10.8)Δоптическуюразность ходапреломлённого и отражённого 2′ и 1′световыхлучей с υ₁ углом падения 1 и 2 световыхлучей,

n₂ показателем преломленияII среды и h толщиной тонкой пластины:

Δ = 2h[(n₂²/n₂cosυ₂) - (n₂sinυ₂sinυ₁/n₂cosυ₂)] - λ₀/2 =

= 2h[(n₂² - sin²υ₁)/(n₂² - sin²υ₁)^1/2] - λ₀/2 = 2h(n₂² - sin²υ₁)^1/2 - λ₀/2.(10.61) Ограничения, накладываемые (10.49) пространственно - временной когерентностью

1 и 2 световых(рис. 10.8) естественных лучей, приводят к появлению интерференцииэтих лучей при h толщине пластины менее нескольких сотыхмиллиметров. Условие возникновения интерференционных максимумовполучаетсяприравниваниемвыражения(10.61) оптическойΔ разности хода между преломлённым и отражённом

2′ и 1′ световымилучами и выражения (10.33) интерференционного максимумау когерентныхсветовых лучей с учётом только знака «+»передэтой Δоптической разностью хода, т.к.2 световой(рис. 10.8) лучпроходитl₂ оптическийпуть, всегда превышающий оптическийl₁ путь, пройденный 1световымлучом, вследствие чего получаем следующее условие возникновения интерференционных максимумов:

2h(n² - sin²υ₁)^1/2 - λ₀/2 = mλ₀ ↔ 2h(n² - sin²υ₁)^1/2= (m +1/2)λ₀, (10.62)где m = 0, 1, 2…

Условие возникновения интерференционных минимумовполучаетсяприравниваниемвыражения(10.61) оптическойΔ разности хода между преломлённым и отражённом

2′ и 1′световымилучами и выражения (10.34) интерференционного минимумау когерентныхсветовых лучей с учётом только знака «+»передэтой Δоптическойразностью хода, т.к.

2 световой(рис. 10.8) лучпроходитl₂ оптическийпуть, всегда превышающий оптический

l₁ путь, пройденный 1 световымлучом, вследствие чего получаем следующее условие возникновения интерференционных минимумов:

2h(n² - sin²υ₁)^1/2 - λ₀/2 = (m + 1/2)λ₀ ↔ 2h(n² - sin²υ₁)^1/2 = (m +1) λ₀, (10.63)

где m = 0, 1, 2…

Интерференционная картина от световых волн равного наклона

r₁ расстоянии от FFглавнойоптической осиЛ собирающейлинзы вфокальнойплоскости на Э экране, находящегося на f расстоянииот этой Лсобирающейлинзы.

Световые лучи (рис. 10.9), находящиеся в плоскости рисункаи падающие параллельным пучкомна пластинку под "- υ₁" углом, послеотражения от нижней и верхней её поверхностей образуют когерентные параллельныесветовые лучи . Они соберутся (рис. 10.9) по законам геометрическойоптики в M₁ точкесправа на r₁ расстоянии от FFглавнойоптической осиЛ собирающейлинзы вфокальнойплоскости на Э экране, находящегося на f расстоянииот этой Лсобирающейлинзы.

Световые лучи (рис. 10.9), не находящиеся в плоскости рисункаи падающие параллельным пучкомна пластинку под углом с модулём υ₁, послеотражения от нижней и верхней её поверхностей образуют когерентные параллельныесветовые лучи. Они соберутся (рис. 10.9) по законам геометрическойоптики в M₃, M₄,...точках слева и справана r₁ расстоянии от FFглавнойоптической осиЛ собирающей линзы вфокальнойплоскости на Э экране, находящегося на f расстоянииот этой Лсобирающейлинзы.

Таким образом, если параллельныесветовые лучи, падающие на пластинку под углом с модулём υ₁, после отражения от нижней и верхней её поверхностей образуют когерентные параллельныесветовые лучи с Δ₁ оптическойразностью хода, удовлетворяющего условию (10.33) интерференционного максимума, то на Э экране образуется светлое кольцос r₁ радиусом.

Параллельныесветовые лучи, падающие на пластинку под другим углом с модулём υ₂, после отражения от нижней и верхней её поверхностей образуют когерентные параллельныесветовые лучи с Δ₂ оптической разностью хода, удовлетворяющего условию (10.33)интерференционного максимума, вследствие чего на Э экране образуется другое светлое кольцос r₂ радиусом. В результате на Э экраневозникают чередующиеся светлыеи тёмные интерференционные кольцас центром в F точке пересечения FFглавной оптическойсобирающей Л линзы, r₁, r₂, …. радиусы которых соответствуют υ₁, υ₂, ….углам падения параллельныхлучей, падающих на пластину. Эти чередующиеся светлыеи тёмные кольцаназывают интерференционными кольцами равного наклона.

Интерференционная картина световых волн с кольцами равной толщины или кольцами Ньютона

При нормальном падении (рис. 10.10) монохроматического параллельногопучка световыхлучей с λ₀ длиной световой волныв вакууме на Пл.1прозрачнуюпластину

Δоптическая(10.40) разность ходамежду 1′ световымлучом, отражённым в A точке от нижнейповерхности Л линзы, и 1′′световымлучом, отражённым от верхнейповерхностиПл.2 прозрачнойпластины, равна удвоенной b толщине зазора плюс λ₀/2 половина длины световой волны в вакууме, т.к. 1′′ лучотражается от верхнейповерхностиПл.2 прозрачнойпластины с nпоказателем преломления, оптически более плотной, чем среда в зазоре b длиной, поэтому эта Δоптическая(10.40) разность ходамежду 1′ световымлучом, отражённым в A точке от нижнейповерхности Л линзы, и 1′′световымлучом, отражённым от верхнейповерхностиПл.2 прозрачнойпластины, имеет следующий вид: Δ = 2b + λ₀/2. (10.64)