Семинар. Постоянное магнитное поле. Магнетики

 

Задача 7.1.1, №9

 

Дано: R0/R = 3/2; n = 3; μ(r); j А/м2. Определить: B(r) = ? H(r) = ? J(r) = ? Iмол;Iмол.пов.= ?-сила соответственно молекулярного и поверхностных молекулярных токов и их направление; jмолZ, jмол.повZ - проекциина eZ орт в цилиндрической системе координат векторовjмол, jмол.пов соответственноплотностеймолекулярногои поверхностных молекулярных токов. и их направление.

В данной задаче векторы B(r) индукции (7.6) из раздела 7.1 "Магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях", H(r) напряжённости (7.120) из раздела 7.2 "Магнитное поле в веществе", намагниченности J(r) (7.126) из раздела 7.2 "Магнитное поле в веществе", магнитного поля представляют собой цилиндрическое векторное поле, поскольку все эти векторы(рис. 7.1) находятся на окружностях, соосных с трубчатымпроводником из магнетикас μ(r) магнитной проницаемостью, и направленыпо касательнойк этой окружности, т.е. коллинеарны eφ орту цилиндрической системы координат. Магнитная проницаемость μ(r) непостоянна по объёму между внутреннейи внешнейповерхностями трубчатогопроводника, зависит только от r длины(рис.7.1.1), т.е. модуля r радиуса-вектора,

направленного по er орту из O начала координат основной OXY плоскости цилиндрическойсистемы координат в проекцию на неё P точки, в которой определяется μ(r) магнитная проницаемость и имеет следующий вид:

μ(r) = (35R3 - 8r3) /8R3 (R2 + r2),(1.1) где (рис.7.1.1) R ≤ r ≤ 3R/2.

Циркуляция (7.124) из раздела 7.2 "Магнитное поле в веществе" вектора H(r)напряжённостимагнитного поля поокружности(рис.7.1) радиусом rв области пространства, занятого магнетиком, равнарезультирующему Iрез макроскопическому или току проводимости через поверхность S площадью, которую охватывает эта окружность r радиусом.

Охватываемая окружностьюr радиусом поверхность - это кольцос внутреннимR радиусом и внешнимr радиусом. По нормалик поверхности этого кольца(рис.7.1)течётток проводимости с j А/м2 модулёмвектора j плотности.

Результирующаясила Iрез тока проводимости через поверхностькольца с внутреннимR радиусом и внешним rрадиусом имеет следующий вид: Iрез = jπ(r2 - R2) А, (1.2) где (рис.7.1.1) R ≤ r ≤ 3R/2.

Модуль H(r)вектора H(r) напряжённостимагнитного поля при циркуляции поокружности(рис.7.1) радиусом r постоянен, поэтому с учётом(1.2) модуль H(r) вектора H(r) напряжённостимагнитного поля в функции от радиуса rокружности, охватывающей кольцевуюповерхность магнетика с внутреннимрадиусом R и внешнимрадиусомr, имеет следующий вид: H2πr = Iрез ↔ H2πr = jπ(r2 - R2) ↔ H(r) = j(r2 - R2)/2r А/м,(1.3) где (рис.7.1.1) R ≤ r ≤ 3R/2.

Модуль H(r)вектора H(r) напряжённостимагнитного поля на внутреннейH|r = R сr = R радиусом и внешнейH|r = 3R/2 сr = 3R/2 радиусомповерхностяхтрубчатогопроводника из магнетика с учётом(1.3) имеет следующий вид: H|r = R = 0 А/м; H|r = 3R/2 = j(5/12)R А/м. (1.4) Согласно (7.127) из раздела 7.2 "Магнитное поле в веществе"связь модуля H(r)вектора

H(r) напряжённостис модулем B(r) вектора B(r)индукции магнитного поля имеет следующий вид:

B =μ0μH.(1.5) Подставляем (1.1) магнитную μ(r) проницаемостьмагнетика, из которой изготовлентрубчатыйпроводник, а также (1.3) модуль H(r)вектора H(r)напряжённостимагнитного поля в (1.5) и получаем следующее выражение для модуля B(r) вектора B(r)индукции магнитного поля в функции от rрадиуса окружности, охватывающей кольцевуюповерхность магнетика с внутреннимR радиусоми внешнимr радиусом: B(r) = jμ0[(35R3 - 8 r3)(r2 - R2)]/16R3 кг/с2А(Тл),(1.6) где (рис.7.1) R ≤ r ≤ 3R/2.

Модуль B(r) вектора B(r)индукции магнитного поля на внутреннейB| r = R сr = Rрадиусом и внешнейB| r = 3R/2 сr = 3R/2 радиусомповерхностяхтрубчатогопроводника из магнетика с учётом(1.6) имеет следующий вид: B|r = R = 0 кг/с2А(Тл); B|r = 3R/2 = jμ0(5/12)R кг/с2А(Тл).(1.7)

Проекция (7.115) из раздела 7.2 "Магнитное поле в веществе" J l(r) навектор dl обхода Г контура вектора J(r)намагниченности магнетика(рис.7.1.1), из которой изготовлентрубчатыйпроводник,в функции от r радиуса окружности, охватывающей кольцевуюповерхность магнетика с внутреннимрадиусом R и внешнимрадиусомr и S площадью, имеет следующий вид:

J l = (μ - 1)H,(1.8)

где J l(r) может быть положительной, когда μ >1 для парамагнетикови ферромагнетиков, и может быть отрицательной, когда μ < 1 для диамагнетиков.

Подставляем (1.1) магнитнуюμ(r) проницаемостьмагнетика, из которой изготовлентрубчатыйпроводник, а также (1.3) модуль H(r)вектора H(r)напряжённостимагнитного поля в (1.8) и получаем следующее выражение для проекции J l(r) навектор dl обхода Г контура вектора J(r)намагниченности магнетика(рис.7.1), из которой изготовлентрубчатыйпроводник,в функции от r радиуса окружности, охватывающей кольцевуюповерхность магнетика с Rвнутренними rвнешнимрадиусами: Jl = j[(27R3 - 8 r3)(r2 - R2)]/16R3 rА/м,(1.9) где (рис.7.1) R ≤ r ≤ 3R/2; Jl(r) = Jφ(r) -проекцияJ l(r) навектор dl обхода Г контура вектора

J намагниченности магнетикаравна Jφ(r) проекции на eφ орт в цилиндрическойсистемекоординат этого вектора J намагниченности магнетика(рис.7.24), т.е. Jφ(r)= Jl(r), поскольку эти dl и eφ векторы коллинеарныи направлены в одну сторону.

Проекция J l(r) навектор dl обхода Г контура вектора J(r)намагниченности магнетика(рис.7.1), из которой изготовлентрубчатыйпроводник,на внутреннейJ|r = R сr = R радиусом и внешнейJ|r = 3R/2 сr = 3R/2 радиусомповерхностяхтрубчатогопроводника с учётом(1.9) имеет следующий вид: Jl|r = R = 0 А/м; Jl|r = 3R/2 = 0 А/м. (1.10) На внутреннейи внешнейповерхностяхтрубчатогопроводника согласно(1.9) проекция J l(r) навектор dl обхода Г контура вектором J(r)намагниченностимагнетика(рис.7.1.1), из которой изготовлентрубчатыйпроводник, равна нулю, а между этими поверхностями, т.е. при R ≤ r ≤ 3R/2, согласно (1.9) эта проекция J l(r магнетика отлична от нуля, т.е. магнетикявляется парамагнитным, ферромагнитным илидиамагнитнымматериалом. Поэтому вектор J(r) намагниченностимагнетика, из которой изготовлентрубчатыйпроводник, совпадает по направлению (рис.7.1) с векторами H(r), B(r) соответственно индукцииинапряжённостимагнитного поля в случаепарамагнитного, ферромагнитного магнетикасмагнитной χ > 0 восприимчивостью магнетика, из которого изготовлентрубчатыйпроводник; в случае диамагнитногомагнетика с χ < 0 восприимчивостью вектор J(r) намагниченностимагнетика противоположен по направлению с векторами H(r), B(r) соответственно индукцииинапряжённостимагнитного поля

Вектор J(r) намагниченностимагнетика(рис.7.1) коллинеарен орту eφ цилиндрической системыкоординат, поэтому векторное выражение (1.9) имеет следующий вид: J(r) ={j[(27R3 - 8 r3)(r2 - R2)]/16R3 r}eφ, (1.11) где (рис.7.1.1) R ≤ r ≤ 3R/2.

Ротация вектора J(r) намагниченности (1.11) магнетикас учётом равенства нулю проекцийJr, JZ этоговектора на соответственно er, eZ орты в цилиндрической системекоординат и отличия от нуляпроекцииJφ на eφ орт, а также с учётом зависимости этой проекции Jφ (1.11)только от r модуля r радиуса-вектора, направленного по орту er, приводит к следующему выражению вектора

jмол плотности молекулярных токов (7.116) из раздела 7.2 "Магнитное поле в веществе", равным значениюротора намагниченности [J] в произвольной точке пространства, зависящей в цилиндрической системекоординат только от r модуля r радиуса-вектора: jмол = [ J] ={(1/r)[∂(rJφ)/∂r]}eZ = j(1/R3)(54R3 - 40r3 + 24R2r)eZ,(1.12) где (рис.7.1.1) R ≤ r ≤ 3R/2.

Проекция jмолZ наeZ орт в цилиндрической системекоординат (рис. 7.1) вектора

jмолплотностимолекулярных токов на внутреннейи внешнейповерхностяхjмолZ |r = R сr = R;

jмолZ |r = 3R/2 с r = 3R/2 срадиусамитрубчатогопроводника с учётом(1.12) имеет следующий вид: jмолZ |r = R = 38j А/м2 ; jмолZ |r = 3R/2 = -45j А/м2. (1.13)

Качественный график (рис.7.2) модуля H(r) вектора H(r) напряжённостимагнитного поля в функции от rрадиусаокружности, охватывающейкольцевуюповерхность магнетика с внутреннимR радиусом и внешнимr радиусом, построенный с учётом (1.3) H(r) = 0, 5j[r- (R2/r)] А/м примерноимеет вид прямой, с равенствами этого модуля H(r) вектора H(r) напряжённостимагнитного поля на внутреннейH|r = R = 0 А/м сr = R радиусом и внешнейH|r = 3R/2 = j(5/12)R А/м сr = 3R/2 радиусомповерхностяхтрубчатогопроводника из магнетика.

Качественный график (рис.7.2) модуля B(r) вектора B(r)индукции магнитного поля в функции от r радиусаокружности, охватывающейкольцевуюповерхность магнетика с внутреннимR радиусом и внешнимr радиусом, построенный (1.6) с учётом B(r) ≈ jμ00, 5j[2, 2r - 0, 5(r4/R3) - 2, 2R2/r + 0, 5(r2/R )] кг/с2А(Тл),имеет вид кривой, с равенствами этого модуля B(r) вектора B(r)индукции магнитного поля на внутреннейB| r = R = 0 сr = R радиусом и внешнейB| r = 3R/2 = jμ0(5/12)R кг/с2А(Тл) сr = 3R/2 радиусомповерхностяхтрубчатогопроводника из магнетика.

Согласно (1.12), (1.13) вектор jмол плотности молекулярных токов на внутреннейповерхноститрубчатогопроводникаколлинеарен eZ орту в цилиндрическойсистемекоординат и направлен с ним в одну сторону, а на внешней поверхности трубчатогопроводника вектор jмол плотности молекулярных токов направлен в противоположную этому eZ ортусторону. При значении модуля r0 радиуса-вектора r0, которое можно определить, приравняв (1.12) нулю, и которое находится в интервале R ≤ r ≤ 3R/2,векторjмол0плотность молекулярных токов становится равной нулю. На окружности трубчатогопроводника (рис.7.2) с модулем r0 радиуса-вектора r0 происходит смена знака у вектора jмол плотности молекулярных токов:

 

dr

в интервале R ≤ r ≤ r0 значений вектор плотности jмол|R ≤ r ≤ r0 молекулярных токов трубчатогопроводникаколлинеарен eZ орту в цилиндрическойсистемекоординат и направлен с ним в одну сторону, а в интервале r0 ≤ r ≤ 3R/2 значений вектор плотности jмол|r0 ≤ r ≤ 3R/2 молекулярных токов трубчатого проводника направлен в противоположную сторону этому eZ орту.

МолекулярныйdIмол (7.108) из раздела 7.2 "Магнитное поле в веществе" ток, текущий через кольцо с элементарной(рис.7.3) толщиной dr и r радиусом, который находится в интервале R ≤ r ≤ 3R/2 значений, с учётом (1.13) имеет следующий вид:

dIмол = jмолZ 2πrdr = j(2π/R3)(54R3r - 40r4 + 24R2r2) dr, (1.14)

где dS = 2πrdr - площадь элементарногокольца, перпендикулярнокоторому течёт молекулярныйdIмол ток. МолекулярныйIмолток, текущий через поперечное сечение трубчатого проводника, представляющего собой кольцос внутреннимR радиусом и внешним3R/2 радиусом с учётом (1.14) имеет следующий вид:

3R/2 3R/2 3R/2

Iмол = ∫jмолdS= ∫ dIмол = ∫jмол2πrdr = j(2π/R3) ∫(54R3r - 40r4 +24R2r2) dr = 0 А.(1.15)

S R R R

МолекулярныйIмол (1.12) ток с вектором jмол плотности, текущий через поперечное сечение трубчатого проводника S площадью, согласно (7.108) из раздела 7.2 "Магнитное поле в веществе" по расчётам (1.15) имеет следующий вид: Iмол = ∫jмолdS = 0 А.(1.16) S

Проекция jмол.пов внутZ на eZ орт вектора jмол.пов внут плотности поверхностноготока,которыйтечётв цилиндрической системе координатпо или противоположнонаправлениюeZ орта по внутреннейповерхноститрубчатогопроводника, определяется (7.155) из раздела 7.2 "Магнитное поле в веществе" согласно следующему выражению: jмол.пов внут Z = JГвнутl - JГвнутl = 0,(1.17)

где JГвнутl - проекция (рис.7.1) навектор dl обхода Гвнут воображаемого контура вектора JГвнутнамагниченности, который представляетсобойокружность R радиусом в материале трубчатого проводника; эта JГвнутl проекция согласно(1.10) равна нулю, т.е. JГвнутl = 0: JГвнутl - проекция навектор dl обхода Гвнут воображаемого контура вектора J(r)намагниченности, который представляетсобойокружность R радиусом в вакууме внутри трубчатого проводника, поэтому она тоже равна нулю, т.е. JГвнутl = 0.

Молекулярный Iмол.пов внутповерхностныйток (рис.7.1.3) на внутреннейповерхности трубчатогопроводника с учётом(1.17) имеет следующий вид: Iмол.пов внут= jмол.пов внутZ2πR = 0,(1.18) где 2πR - длина контура c внутреннейстороны поперечного сечения материала трубчатого проводника, перпендикулярное его оси,вследствие чего длина этого контура R радиусом равна 2πR длине окружности.

0  
Молекулярныйрезультирующий ток Iмол рез силой,которыйохватывается Гвнеш воображаемымконтуром в виде окружности(рис.7.3) r = 3R/2радиусом и который расположен внутри материала трубчатого проводника на его внешнейповерхности, имеет следующий вид: Iмол рез= Iмол + Iмол.пов внут= 0,(1.19)

где Iмол - молекулярныйток силой, текущий через поперечное сечение трубчатого проводника, представляющий собой кольцос внутреннимR радиусом и внешним3R/2 радиусом иравный (1.16) нулю, т.е. Iмол = 0; Iмол.пов внут-молекулярный поверхностныйток на внутреннейповерхности трубчатогопроводника, равный (1.18) нулю, т.е. Iмол.пов внут = 0.Поэтому молекулярныйрезультирующий ток Iмол рез силой,которыйохватывается Гвнеш воображаемымконтуром в виде окружностиr = 3R/2радиусом и который расположен внутри материала трубчатого проводника на его внешнейповерхности равен нулю, т.е. Iмол рез= 0.

Циркуляция (7.155) из раздела 7.2 "Магнитное поле в веществе" вектора JГвнешнамагниченности магнетика повоображаемой окружности(рис.7. 3) Гвнеш контуру в виде окружностиr = 3R/2радиусом c внутреннейстороны поперечного сечения трубчатогопроводникаиз магнетика c (1.1) μ(r) магнитной проницаемостью, перпендикулярного его оси, имеет с учётом (1.10) следующий вид: JГвнеш dl= = JГвнеш l3Rπ = 0,(1.20) Гвнеш

где JГвнеш l = 0 -проекция навектор dl обхода Гвнеш контура (рис.7.1) вектора JГвнеш l намагниченности втрубчатомпроводникеиз магнетика с (1.1) μ(r) магнитной проницаемостью, который охватываетc внутреннейстороны поперечное сечение трубчатогопроводника, перпендикулярное его оси,вследствие чего длина этого Гвнеш контура 3R/2 радиусом равна 3πR длине окружности.

Молекулярныйрезультирующий ток Iмол рез |Гвнеш силой,которыйохватывается Гвнеш воображаемымконтуром в виде окружности(рис.7.3) 3R/2радиусом и который расположен внутри материала трубчатого проводника на его внешнейповерхности равен (1.19) нулю, т.е. Iмол рез |Гвнеш = 0.

Циркуляция вектора JГвнешнамагниченности магнетика повоображаемой окружности(рис.7. 1.3) Гвнеш контуру в виде окружности3R/2радиусомвнутри материала трубчатого проводника на его внешнейповерхности должна быть равна, согласно(7.155) из раздела 7.2 "Магнитное поле в веществе", молекулярномурезультирующему току Iмол рез |Гвнеш силой,которыйохватываетсяэтим Гвнеш воображаемымконтуром.

Согласно(1.119) и (7.120) имеет место следующее равенство: JГвнеш dl= Iмол рез |Гвнеш,(1.21) Гвнеш что является подтверждением правильности расчётов в данной задаче.

Проекция jмол.пов внешZ на eZ орт вектора jмол.пов внеш плотности поверхностноготока.,которыйтечётв цилиндрической системе координатпо или противоположнонаправлениюeZ орта по внешнейповерхноститрубчатогопроводника, определяется (7.155) из раздела 7.2 "Магнитное поле в веществе" согласно следующему выражению: jмол.пов внеш Z = JГвнешl - JГвнеш l = 0,(1.22)

где Jвнешl - проекция (рис.7.1) навектор dl обхода Гвнеш воображаемого контура вектора JГвнешнамагниченности, который представляетсобойокружность 3R/2радиусом снаружи внешнейповерхности трубчатого проводника; эта JГвнешl проекция равна нулю, потому что Гвнеш воображаемый контур находится в вакууме, т.е. JГвнешl = 0: JГвнешl - проекция навектор dl обхода Гвнеш воображаемого контура вектора JГвнешнамагниченности, который представляетсобойокружность 3R/2 радиусом внутри внешнейповерхноститрубчатого проводника, т.е. в материале магнетика; эта JГвнешl проекция согласно (1.10) равна нулю, т.е. JГвнешl = 0.

Молекулярный Iмол.пов внешповерхностныйток (рис.7.1.3) на внешнейповерхности трубчатогопроводника с учётом(1.22) имеет следующий вид: Iмол.пов внеш= jмол.пов внеш Z3πR = 0,(1.23) где 3πR - длина контура c внешнейстороны поперечного сечения материала трубчатого проводника, перпендикулярное его оси,вследствие чего длина этого контура 3R/2 радиусом равна 3πR длине окружности.

 

Задача 7.1.2

 

Длинный соленоид в вакууме имеет R радиус сечения и n витков на единицу длины. По нему течёт постоянный ток I силой. Найти B', B модуливекторов индукции магнитного поля на оси в функции h расстояния от торца соответственно B'вне и B внутриэтого соленоида. Изобразить примерный график зависимости B модулявектора B индукции магнитного поля на оси в функции

h расстояния от торца вне и внутрисоленоида, отнесённого к R радиусу этого соленоида, т.е. в зависимости от h/R.Дано: R; n; I/ B(h) = ? График B(h/R) = ?

 

Z

Линейнаяjлинплотностьтока (7.31) из раздела 7.1 "Магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях" вдлинном соленоидеимеет следующий вид: jлин = nI. (2.1)

Ток dI силой в витках соленоида, которые (рис. 7.4 а, б) расположены на элементарной

dy длине имеет следующий вид: dI = nIdy. (2.2) Проекция dB'M' Y на OY ось вектораdB'M'магнитной индукции в M ' точкевне соленоида, находящейся на осиэтого соленоида с h расстояниемот его торца, от витков соленоида, которые

(рис.7.4 а) расположены на элементарнойdy длине имеет (7.15) из раздела 7.1 "Магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях" с учётом (2.2) следующий вид: dB'M' Y = dB'M' = μ0dIR2/2[R2 + (y + h)2] 3/2 = μ0nIR2dy/2[R2 + (y + h)2] 3/2, (2.3)

где dB'M' Y = dB'M' - проекцияна OY ось вектораdB'M'магнитной индукции в M' точкевне соленоида равна, вследствие направления этоговектораdB'M' по OY оси, dB'M' модулювектораdB'M'магнитной индукции в M' точкевне соленоида; (y + h) - расстояние (7.15) из раздела 7.1 "Магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях" от витков соленоида, которые (рис.7.4 а) расположены на элементарнойdy длине и имеют y координату M' точкивне соленоида.

Проекция B'M' Y на OY ось вектора B'M'магнитной индукции в M ' точкевне соленоида, находящейся на осиэтого соленоида с h расстояниемот его торца, от всех витков соленоида, которые

(рис. 7.4 а) расположены на длине от 0 до координат по OY оси имеет с учётом (2.3) следующий вид:

B'M' Y = B'M' = μ0nIR2∫ dy/2[R2 + (y + h)2] 3/2 = (μ0nI/2){1 - [h/(R2 + h2)1/2]} ↔

0

↔ B'M' =(B0/2){1 - [(h/R) /(1 + h2/R 2) 1/2]}, (2.4)

где B'M' Y = B'M' - проекция B'M' Y на OY ось вектора B'M'магнитной индукции в M' точкевне соленоида равна, вследствие направления этоговектора B'M' по OY оси, B'M' модулювектора B'M'магнитной индукции в M' точкевне соленоида, находящейся на осисоленоида с h расстояниемот его торца;

B0 = μ0nI - модуль вектораB0 индукциимагнитного поля (7.34) из раздела 7.1 "Магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях" в середине(рис.7.8) из раздела 7.1 "Магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях" длинного соленоида, находящегося ввакууме.

Согласно (2.4) приh/R= 0, т.е. при нахождении M' точки на торце соленоида, B'M' модульвектора B'M'магнитной индукции равен B0/2 = μ0nI/2 половине модуля B0 вектораB0 индукциимагнитного поля в серединедлинного соленоида, находящегося ввакууме. Это отражено синей линией на примерном графике (рис. 7.5) зависимости B'/B0 модуля, отнесённого кмодулю

B0 вектораB0 индукциимагнитного поля в серединедлинного соленоида,в функции h расстояния от торца вне соленоида, отнесённого к R радиусу этого соленоида, т.е. в зависимости от h/R. При h/R > 3, т.е. при нахождении M' точки по осина h > 3R расстоянии от торцавне соленоида B'M' модульвектора B'M'магнитной индукции не превышает величины 0, 03B0, т.е. B'M'| h/R > 3 < 0, 03B0.

Проекция dB٭MY на OY ось вектораdB٭Mмагнитной индукции в M точкевнутрисоленоида, находящейся на осисоленоида с h расстояниемот его торца, от витков соленоида, которые

(рис. 7.4 б) расположены на элементарнойdy длине слеваот этой M точкивнутрисоленоида, имеет (7.15) из раздела 7.1 "Магнитостатика" с учётом (2.5) следующий вид:

dB٭M Y = dB٭M = μ0dIR2/2[R2 + (h - y)2] 3/2 = μ0nIR2dy/2[R2 + (h - y)2] 3/2, (2.5) где dB٭M Y = dB٭M - проекцияна OY ось вектораdB٭Mмагнитной индукции в M точкевнутри соленоида равна, вследствие направления этоговектораdB٭M по OY оси, dB٭M модулювектораdB'M'магнитной индукции в M точкевнутри соленоида; (h - y) - расстояние (7.15) из раздела 7.1 "Магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях" от витков соленоида, которые (рис.7.4 а) расположены на элементарнойdy длине и имеют y координату слеваот этой M точкивнутрисоленоида.

Проекция B٭MY на OY ось вектора B٭Mмагнитной индукции в M точкевнутри соленоида, находящейся на осиэтого соленоида с h расстояниемот его торца, от всех витков соленоида, которые

(рис. 7.4 б) расположены слеваот этой M точкивнутрисоленоида на длине от 0 до h координат по OY оси имеет с учётом (2.2) следующий вид:

 

h

B٭MY = B٭M = μ0nIR2∫dy/2[R2 + (h - y)2] 3/2 = (μ0nI/2)[h/(R2 + h2)1/2], (2.6)

0

где B٭MY = B٭M - проекцияна OY ось вектора B٭Mмагнитной индукции в M точкевнутри соленоида равна, вследствие направления этоговектора B٭M по OY оси, B٭M модулювектора B٭Mмагнитной индукции в M точкевнутри соленоида, находящейся на осисоленоида с h расстояниемот его торца.

Проекция dB٭٭MY на OY ось вектораdB٭٭Mмагнитной индукции в M точкевнутрисоленоида, находящейся на осисоленоида с h расстояниемот его торца, от витков соленоида, которые

(рис. 7.4 б) расположены на элементарнойdy длине справаот этой M точкивнутрисоленоида, имеет (7.15) из раздела 7.1 "Магнитостатика" с учётом (2.2) следующий вид:

dB٭٭M Y = dB٭٭M = μ0dIR2/2[R2 + (y - h)2] 3/2 = μ0nIR2dy/2[R2 + (y - h)2] 3/2, (2.7) где dB٭٭MY = dB٭٭M - проекцияна OY ось вектораdB٭٭Mмагнитной индукции в M точкевнутри соленоида равна, вследствие направления этоговектораdB٭٭Mпо OY оси, dB٭٭M модулювектораdB٭٭Mмагнитной индукции в M точкевнутри соленоида; (y - h) - расстояние (7.15) из раздела 7.1 "Магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях" от витков соленоида, которые (рис. 7.4 а) расположены на элементарной

dy длине и имеют y координату справаот этой M точкивнутрисоленоида.

Проекция B٭٭MY на OY ось вектора B٭٭M магнитной индукции в M точкевнутри соленоида, находящейся на осиэтого соленоида с h расстояниемот его торца, от всех витков соленоида, которые

(рис. 7.4 б) расположены справаот этой M точкивнутрисоленоида на длине от h до координат по OY оси имеет с учётом (2.7) следующий вид:

B٭٭MY = B٭٭M = μ0nIR2∫dy/2[R2 + (y - h)2] 3/2 = μ0nI/2, (2.8)

h

где B٭٭MY = B٭٭M - проекцияна OY ось вектора B٭٭M магнитной индукции в M точкевнутри соленоида равна, вследствие направления этоговектора B٭٭M по OY оси, B٭٭M модулювектора B٭٭M магнитной индукции в M точкевнутри соленоида, находящейся на осисоленоида с h расстояниемот его торца.

РезультирующийBM модульвектора BM магнитной индукции в M точкевнутри соленоида от всех витков соленоида, которые (рис. 7.4 б) расположены слева и справа иот этой M точкивнутрисоленоида на длине от 0 до координат по OY оси имеет с учётом (2.6), (2.8) следующий вид:

BM = B٭M + B٭٭M = (μ0nI/2){1 + [h/(R2 + h2) 1/2]} ↔ BM = (B0/2){1 + [(h/R) /(1 + h2/R 2) 1/2]}, (2.9)

где B0 = μ0nI - модуль вектораB0 индукциимагнитного поля (7.34) из раздела 7.1 "Магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях" в середине(рис.7.8) из раздела 7.1 "Магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях" длинного соленоида, находящегося ввакууме.

Согласно (2.9) приh/R= 0, т.е. при нахождении M точки на торце соленоида, BM модульвектора BMмагнитной индукции равен B0/2 = μ0nI/2 половине модуля B0 вектораB0 индукциимагнитного поля в серединедлинного соленоида, находящегося ввакууме. Это отражено зелёной

 

 
 
линией на примерном графике (рис. 7.1.5) зависимости B/B0 модуля, отнесённого кмодулю B0 вектора B0 индукциимагнитного поля в середине длинного соленоида,в функции h расстояния от торца внутри соленоида, отнесённого к R радиусу этого соленоида, т.е. в зависимости от h/R. При h/R ≈ 3, т.е. при нахождении M точки по осина h ≈ 3R расстоянии от торцавнутри соленоида BM модульвектора BM магнитной индукции примерноравен величине 0, 97B0, т.е. BM| h/R ≈ 3 ≈ 0, 97B0.  


Задача 7.1.3

Вдоль длинного цилиндрического провода R радиуса, сделанного из однородного парамагнетика с магнитной χ восприимчивостью, течёт постоянный ток I силой. Определить модуль jмол, направление вектора jмол плотности молекулярного тока в зависимости от r расстояния до OO′ оси цилиндрического провода, а также определить поверхностный Iмол.пов. и объёмный Iмол. молекулярный ток в этом цилиндрическом проводе и их направление.Дано: χ; R; I/ jмол = ? jмол = ? Iмол. = ?Iмол.пов = ?

 
 
В данной задаче векторы B(r) индукции (7.6) из раздела 7.1 "Магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях", H(r) напряжённости (7.120) из раздела 7.2 "Магнитное поле в веществе", намагниченности J(r) (7.126) из раздела 7.2 "Магнитное поле в веществе", магнитного поля представляют собой цилиндрическое векторное поле, поскольку все эти векторы(рис. 7.1.7) находятся на окружностях, соосных с цилиндрическим


проводником из магнетикас магнитной χ восприимчивостью, и направленыпо касательнойк этой окружности, т.е. коллинеарны eφ орту цилиндрической системыкоординат.

Циркуляция (7.124) из раздела 7.2 "Магнитное поле в веществе" вектора H(r)напряжённостимагнитного поля в интегральномвиде повоображаемой окружности(рис. 7.7) радиусом rв области пространства, занятого магнетиком, равна результирующему Iрез макроскопическому или току проводимости через поверхность S площадью, которую охватывает эта окружность r радиусом. Охватываемая воображаемой окружностью r радиусом поверхность - это кругr радиусом. По нормалик поверхности этого круга(рис. 7.1.7)течётток проводимости с j А/м2 модулёмвектора j плотности, который имеет следующий вид: j = I/πR2 А/м2. (3.1)Результирующаясила Iрез тока проводимости через поверхностькругаr радиусом имеет следующий вид: Iрез = πr2I/πR2 = r2I/R2 А. (3.2)

Циркуляция (7.124) из раздела 7.2 "Магнитное поле в веществе" вектора H(r)напряжённостимагнитного поля в интегральномвиде (рис. 7.7) повоображаемой окружностиr радиусом в области пространства, занятого магнетиком, равна (3.2)результирующему Iрез макроскопическому или току проводимости через поверхность S площадью, которую охватывает эта воображаемая окружность r радиусом.

Модуль H(r)вектора H(r) напряжённостимагнитного поля при циркуляции повоображаемой окружности(рис. 7.7) радиусом r постоянен, поэтому с учётом (3.2) модуль H(r) вектора H(r) напряжённостимагнитного поля в функции от радиуса rокружности, охватывающей круг

r радиусом, имеет следующий вид: H2πr = Iрез ↔ H2πr = r2I/R2 ↔ H = rI/2πR2,(3.3) где (рис. 7.7) 0 ≤ r ≤ R.

НамагниченностьJ (7.126) из раздела 7.2 "Магнитное поле в веществе" магнетика, из которой изготовленцилиндрическийпроводник, имеет следующий вид: J = χH,(3.4)

где вектор J намагниченности сонаправлен вектору H напряжённостимагнитного поля (3.3)в магнетике цилиндрическогопроводника, когда χ > 0 для парамагнетикови ферромагнетиков, и вектор J намагниченности противонаправлен вектору H напряжённостимагнитного поля (3.3)в магнетике цилиндрическогопроводника, когда χ < 0 для диамагнетиков.

Подставляем магнитную χ восприимчивость магнетика, из которой изготовленцилиндрическийпроводник, а также (3.3) модуль H(r)вектора H(r)напряжённостимагнитного поля в (3.4), представленное в виде модулей, и получаем следующее выражение для J(r) намагниченности магнетика, из которой изготовленэтот цилиндрическийпроводник,в функции от r радиуса окружности, охватывающей круговуюповерхность магнетика: J(r) = χH(r) = χrI/2πR2 А/м,(3.5) где (рис. 7.7) 0 ≤ r ≤ R.

НамагниченностьJ(r)на круговойповерхности магнетикаr = R радиусом с учётом(3.5) имеет следующий вид: J|r = R = χI/2πR А/м. (3.6) Вектор J(r) намагниченностимагнетика(рис.7.7) коллинеарен орту eφ цилиндрической системыкоординат, поэтому векторное выражение (3.5) имеет следующий вид: J = χH = eφ χrI/2πR2 А/м,(3.7)

где (рис.7.7) 0 ≤ r ≤ R.

Ротация вектора J(r) намагниченности (3.7) магнетикас учётом равенства нулю проекцийJr, JZ этоговектора на соответственно er, eZ орты в цилиндрической системекоординат и отличия от нуляпроекцииJφ на eφ орт, а также с учётом зависимости этой проекции Jφ (3.7)только от r модуля

r радиуса-вектора, направленного по орту er, приводит к следующему выражению вектора

jмол плотности молекулярных токов (7.116) из раздела 7.2 "Магнитное поле в веществе", равным значениюротора намагниченности [J] в произвольной точке пространства, зависящей в цилиндрической системекоординат только от r модуля r радиуса-вектора: jмол = [ J] ={(1/r)[∂(rJ)/∂r]}eZ =eZχI/πR2,(3.8) где (рис.7.7) 0 ≤ r ≤ R.

Вектор jмол плотностимолекулярных токов направлен по OZ оси, поэтому проекция jмолZна

eZ орт в цилиндрической системекоординат (рис. 7.7) положительна, является следующей постоянной величиной в пределах поперечного сечения кругаR радиусоммагнетика цилиндрическогопроводника:jмолZ = χI/πR2,(3.9)

где (рис.7.7) 0 ≤ r ≤ R.

Молекулярныйток dIмол силой (7.108) из раздела 7.2 "Магнитное поле в веществе" ток, текущий через кольцо с элементарной(рис. 7.1.8) толщиной dr и r радиусом, который находится в интервале 0 ≤ r ≤ R значений, с учётом (3.9) имеет следующий вид:

dIмол = jмол2πrdr = (χI/πR2)2πrdr = χ2Irdr/R2, (3.10)

где dS = 2πrdr - площадь элементарногокольца, перпендикулярнокоторому течёт молекулярныйток dIмол силой.

МолекулярныйIмол результирующийток, текущий (рис. 7.8) через поперечное сечение кругаR радиусоммагнетика цилиндрическогопроводника с учётом (3.10) , согласно (7.108) из раздела 7.2 "Магнитное поле в веществе", имеет следующий вид:

R R Iмол = ∫jмолdS= ∫ dIмол = (χ2I/R2) ∫rdr = χI А, (3.11)

S 0 0

где молекулярныйIмол результирующийток направлен по OZ оси, т.е. в одну сторону срезультирующейсилой Iрез тока проводимости в магнетике цилиндрическогопроводника, если χ>0 для парамагнетикови ферромагнетиков, а, если χ < 0 для диамагнетиков, то молекулярныйIмол результирующийтокнаправлен противоположно OZ оси, т.е. в противоположную сторону срезультирующейсилой Iрез тока проводимости в магнетике цилиндрическогопроводника.

Молекулярныйрезультирующийток Iмол силой согласно (7.115) из раздела 7.2 "Магнитное поле в веществе" с учётом равенства J|r = R = χI/2πR А/м (3.6) намагниченностина Г| r = R контуре R радиусом, который охватывает поперечное сечение кругаR радиусоммагнетика цилиндрическогопроводникаимеет следующий вид: Iмол = ∫Jdl= ∫J|r =R dl = J|r = R2πR = (χI/2πR) = χI А, (3.12) Г Г|r = R где молекулярный Iмол результирующий ток направлен по OZ оси, т.е. в одну сторону срезультирующейсилой Iрез тока проводимости в магнетике цилиндрического  

проводника, если χ>0 для парамагнетикови ферромагнетиков, а, если χ < 0 для диамагнетиков, то молекулярныйIмол результирующийтокнаправлен противоположно OZ оси, т.е. в противоположную сторону срезультирующейсилой Iрез тока проводимости в магнетике цилиндрическогопроводника.

Равенство(3.11) и (3.12) соответствует следующему (7.115) из раздела 7.2 "Магнитное поле в веществе" : Iмол = ∫jмолdS = ∫Jdl, (3.13)

S Г

что является подтверждением правильности расчётов в данном выводе.

Циркуляция (7.115) из раздела 7.2 "Магнитное поле в веществе" вектора J(r) намагниченности (3.7) магнетикамагнитного поля в интегральномвиде повоображаемой окружности -(рис. 7.8) Г контуру R радиусом c внешнейстороны боковой поверхности цилиндрическогопроводникаиз магнетика равнаследующей сумме молекулярныхтоков Iмол;Iмол.пов.силой,соответственно текущих через поверхность S площадью и по боковой поверхности цилиндрическогопроводникаиз магнетика:

Jdl =Iмол +Iмол.пов = 0 ↔ Iмол = -Iмол.пов, (3.14)

Г

где (3.14) приравнено нулю, п.ч. Г контур R радиусом cвнешнейстороны боковой поверхности цилиндрического проводникаиз магнетикапроходит в вакууме,где векторJ(r) намагниченностиравен нулю.

Согласно (3.14)молекулярныетоки Iмол;Iмол.пов.силой,соответственно текущие через поверхность S площадью и по боковой поверхности цилиндрическогопроводникаиз магнетика,компенсируютдруг друга, поскольку текут навстречу, а их величины равны друг другу.

 

Задача 7.1.4

Постоянный кольцевой магнит со средним R радиусом имеет в вакууме поперечный зазор

b шириной.Модуль вектора Bиндукции магнитного поля в зазоре между полюсами этого магнита равен B. Считая, что рассеяния магнитного поля на краях зазора нет, найти H модуль и направление вектора Hнапряжённости магнитного поля в материале кольцевого магнита. Дано:R; b; B / H = ? H = ?

Циркуляция (7.124) из раздела 7.2 "Магнитное поле в веществе" вектора H напряжённостимагнитного поля в интегральномвиде по(рис. 7.9) воображаемой окружности R радиусом в области пространства, занятого материалом магнита и в зазоре между полюсами этого магнита, равна (3.2) результирующему Iрез макроскопическому или току проводимости через поверхность S площадью, которую охватывает эта воображаемая окружность R радиуса.  

Проекция Hτ на касательный τ ортквоображаемой окружностиR радиусом, т.е.Г контуру,в области пространства, занятого материалом магнита и в зазоре между полюсами этого магнита, вектора Hнапряжённостимагнитного пол








Дата добавления: 2016-02-14; просмотров: 694;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.119 сек.