МЕТОД АКТИВНОГО ДВУХПОЛЮСНИКА И ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА

В том случае, когда необходимо определить ток в какой-либо ветви без определения токов в остальных ветвях, применяется метод активного двухполюсника и эквивалентного генератора.

Пусть в схеме рис. 1-35 необходимо определить только ток I₃. Третья ветвь с зажимами d и n выделяется, а вся остальная схема представляется в виде активного двухполюсника рис. 1-37.

Рис. 1-37. Схема активного двухполюсника

Активный двухполюсник может быть заменён эквивалентным генератором с ЭДС Е_эг равной напряжению холостого хода U_ххnd на зажимах разомкнутой выделенной ветви nd, а внутреннее сопротивление эквивалентного генератора R_вн равно входному сопротивлению пассивного двухполюсника R_вхnd относительно зажимов n и d выделенной ветви.

Тогда схема рис. 1-37 принимает следующий вид (рис. 1-38)

Рис. 1-38. Схема после замены активного двухполюсника эквивалентным генератором

Тогда ток I₃ выделенной ветви определяется по формуле

I₃= . (1-145)

Следует отметить, что напряжение холостого хода берётся в направлении тока выделенной ветви в исходной схеме.

Так, на схеме рис. 1-38 ток I₃ протекает от узла n к узлу d. В этом направлении и берётся разность потенциалов φ_n – φ_d разомкнутой выделенной ветви

φ_n – φ_d = U_ххnd .

Далее на практике поступают следующим образом: осуществляют режим холостого хода выделенной ветви, для чего в выделенную ветвь вводится разомкнутый ключ, либо вообще резистор, в данном случае резистор R₃, отбрасывается. Получается новая схема, в которой будет другое токораспределение.

Изобразим схему в режиме холостого хода выделенной ветви nd

(рис. 1-39).

Не обязательно вычислять все токи в схеме рис. 1-39. Достаточно рассчитать токи I₁` и I<sub>6</sub>`.

По схеме рис. 1-39 и производится расчёт напряжения холостого хода U_ххnd, т. е. ЭДС эквивалентного генератора.

Рис. 1-39. Схема в режиме холостого хода выделенной ветви nd

Обозначим на схеме рис. 1-39 путь, по которому замыкается ток от источника тока I_к, штриховой линией.

В схеме рис. 1-39 два независимых контура abd и abc. Выберем произвольно направление контурных токов, например, по часовой стрелке.

Составим систему из двух уравнений по методу контурных токов :

I₁₁(R₁ + R₂ + R₄) - I₂₂R₄ + I_КЗR₁ = E₂;

-I₁₁R₄ + I₂₂(R₄ + R₅ + R₆) + I_КЗR₆ = 0. (1-146)

Здесь (R₁ + R₂ + R₄) – суммарное сопротивление первого контура;

(R₄ + R₅ + R₆) – суммарное сопротивление второго контура. I_КЗR₁ и I_КЗR₆ взяты положительными, потому что контурные токи и ток от источника тока I_КЗ на этих резисторах R₁ и R₆ совпадают.

В правой части Е₂ – суммарная ЭДС первого контура. Во втором контуре ЭДС нет, поэтому в правой части ноль.

Взаимное сопротивление R₄ взято отрицательным, потому что контурные токи I₁₁ и I₂₂, которые используем для расчёта токов I₁` и I<sub>6</sub>`,

противоположно направлены на резисторе R₄.

I₁`= -I₁₁ - I_КЗ; (1-147)

I₆`= I₂₂ + I_КЗ. (1-148)

Направления токов I₁₁ и I_кз противоположны направлению тока I₁`, поэтому в выражении (1-147) они отрицательны.

Направления токов I₂₂ и I_кз совпадают с направлением тока I₆`, поэтому в выражении (1-148) они положительные.

Теперь можно определить напряжение холостого хода U_ххnd:

U_ххnd = -I₁`R<sub>1</sub> + I<sub>6</sub>`R₆ – Е₃ . (1-149)

Подсчёт начинаем с точки d. Далее движемся к точке а в сторону убывания потенциала. Поэтому первое слагаемое I₁`R<sub>1</sub> будет отрицательным. Далее движемся от точки а к точкес против тока I<sub>6</sub>`, т.е. в сторону повышения потенциала. Поэтому слагаемое I₆`R₆ будет положительным. На участке cn движемся против ЭДС Е₃, т.е. происходит скачок потенциала на -Е₃.

Входное сопротивление R_вхnd можно определить по схеме пассивного двухполюсника. Для этого в схеме рис. 1-39 идеальные источники ЭДС Е₂ и Е₃ закоротим, потому что внутреннее сопротивление идеальных источников ЭДС равно нулю, а идеального источника тока равно бесконечности. Если в схеме реальные источники ЭДС и тока, то на их месте в схеме пассивного двухполюсника должны оставаться их внутренние сопротивления.

По заданию источники ЭДС и тока идеальные, поэтому схема пассивного двухполюсника будет выглядеть (рис. 1-40). На этой схеме нет последовательных или параллельных резисторов. Схема сложная, поэтому необходимо произвести преобразование треугольника в звезду или звезды в треугольник.

Преобразуем треугольник резисторов R₄, R₅, R₆ в эквивалентную звезду.

В схеме на рис. 1-40 обозначена эквивалентная звезда штрихованными линиями.

Рис. 1-40. Схема пассивного двухполюсника

Изобразим теперь преобразованную схему на рис. 1-41.

Рис. 1-41. Преобразованная схема

Теперь на схеме рис. 1-41 видно отчётливо, что резисторы R₂ и R₄₅ соединены последовательно. Так же последовательно соединены резисторы R₁ и R₄₆. Обе независимые ветви соединены параллельно. Если к этому сопротивлению двух параллельных ветвей включить резистор R₅₆, то это и будет входное сопротивление R_вхnd:

R_вхnd= + R₅₆ . (1-150)

И далее рассчитываем ток I₃ в выделенной ветви nd по формуле (1-145).

Так производится расчёт в случае, когда параметры схемы известны.

Когда параметры схемы неизвестны, то напряжение холостого хода определяется экспериментальным путём. На зажимах nи dвыделенной ветви включается вольтметр. Резистор R₃ отбрасывается (рис. 1-42):

Рис. 1-42. Схема определения напряжения холостого хода

Вольтметр в схеме рис. 1-42определяет напряжение холостого хода U_ххnd.

Если между зажимами nи dвключить амперметр, то будет осуществлён режим короткого замыкания ветви nd(рис. 1-39).

Рис. 1-43. Схема определения тока короткого замыкания

Амперметр в схеме рис. 1-43 замерит ток короткого замыкания I_3К выделенной ветви nd.

Если в схеме рис. 1-38 закоротить зажимы nи d, то получается схема рис. 1-44.

Рис. 1-44. Режим короткого замыкания выделенной ветви

Из схемы рис. 1-44 получаем:

R_вн =R_вхnd = . (1-151)

Таким образом, показание вольтметра в опыте холостого хода делим на показание амперметра в опыте короткого замыкания и получаем R_вхnd, т.е. входное сопротивление пассивного двухполюсника относительно зажимов выделенной ветви. Оно же внутреннее сопротивление эквивалентного генератора.

Благодаря тому, что использованы режимы холостого хода и короткого замыкания данный метод имеет ещё несколько названий, а именно: метод холостого хода и короткого замыкания, метод эквивалентного генератора, метод активного двухполюсника.

В данном примере рассмотрен самый сложный случай, когда требуется определить ток в выделенной ветви с резистором, к которому подсоединяется источник тока.

Остальные случаи проще. Так, если в схеме рис. 1-35 требуется найти токи в выделенных ветвях da, ba, ac, cb, то никаких затруднений не предвидится. Просто изображаете схемы в режиме холостого хода, отбрасывая резисторы R₁, либо R₄, либо R₆, либо R₅. И по этим схемам ищется напряжение холостого хода.

Чуть труднее случай, когда в выделенной ветви есть источник ЭДС. Если в схеме рис. 1-35 требуется определить ток I₂, то неопытный студент отбрасывает не только резистор R₂ но и источник ЭДС Е₂ при определении напряжения холостого хода. То есть он пытается найти U_ххdb. Расчёт будет неправильный, так как будет потеряна ЭДС Е₂ при определении напряжения холостого хода.

Обязательно нужно ввести точку m между резисторами R₂ источником ЭДС Е₂ и определять напряжение холостого хода U_ххdm. Тогда ЭДС Е₂ не будет потеряна.

Рис. 1-45. Схема в режиме холостого хода выделенной ветви dm

I₁₁(R₁ + R₃ + R₆) - I₂₂R₆ + I_КЗR₃ = -E₃;

-I₁₁R₆ + I₂₂(R₄ + R₅ + R₆) = 0. (1-152)

Необходимые токи I₁` и I<sub>4</sub>` будут равны:

I₁`= I₁₁; (1-153)

I₄`= -I₂₂. (1-154)

Напряжение холостого хода U_ххdm:

U_ххdm = Е₂ – I₄`R<sub>4</sub> + I<sub>1</sub>`R₁ . (1-155)

Как видим из (154) ЭДС Е₂ не потеряна, она учитывается при расчёте U_ххdm.