ОБЩАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
получить аналитическое решение задачи механики деформируемого твердого тела – значит определить прежде всего компоненты вектора перемещения , тензоров деформаций и напряжения в любой точке области D, занятой телом, и в любой момент времени.
В общем случае, как показано ранее, 15 искомых функций должны удовлетворять следующим 15 уравнениям.
Трем уравнениям движения [см. формулу (1.45)]
. (4.37)
Шести уравнениям механического состояния
(4.38)
соответственно при упругой деформации изотропного тела [см. формулу (4.9)]; при упругопластической деформации изотропного тела [см. формулу (4.12)]; при ползучести среды [см. формулу (4.26)]. Возможны уравнения другого вида, связывающие компоненты и , в зависимости от рассматриваемого состояния тела и действующих факторов (см. разд. 4.2).
Шести уравнениям совместимости (неразрывности) деформаций Сен-Венана [см. формулу (1.24)]
(4.39)
и т.д. (остальные уравнения получаются круговой заменой индексов) при рассмотрении кратковременного напряженно-деформированного состояния тела. При изучении ползучести тела используются шесть аналогичных уравнений совместимости скоростей деформаций .
В уравнениях (4.37) – (4.39) использована декартова система координат и следующие введенные ранее обозначения: - проекции массовых сил и ускорения; - плотность тела; - модуль сдвига; - коэффициент Ламе; - модуль объемного сжатия; Е, v – модуль Юнга и коэффициент Пуассона; и - модули пластичности и ползучести, являющиеся соответственно функциями интенсивности деформации сдвига Г и интенсивности скорости деформации сдвига Н (см. раздел 1.3); - компоненты девиатора деформации; - объемная деформация; - компоненты девиатора скорости деформации; - символ Кронекера:
где - скорость объемной деформации; и - компоненты тензоров деформаций и скоростей деформаций; связанные соответственно с компонентами перемещения и скорости соотношениями Коши:
(4.40)
При переходе к криволинейной системе координат вид всех уравнений, кроме уравнений (4.38), изменится. В разд. 1.3 и 1.4 приведены формулы перехода к цилиндрической системе координат.
Для однозначного определения напряженно-деформированного состояния тела к уравнениям (4.37) – (4.39) необходимо присоединить начальное и граничные условия. Различают три основные граничные задачи механики деформируемого твердого тела.
Если на поверхности S, ограничивающей область D тела, задан вектор напряжения , то граничные условия записываются в виде (см. разд. 1.4)
(4.41)
где - нормаль к поверхности S; - проекции вектора на оси выбранной системы координат; М – точка поверхности; t – время.
В этом случае говорят о первой основной граничной задаче.
Если на поверхности S заданы условия для компонент вектора перемещения (или скорости )
(4.42)
то говорят о второй граничной задаче, где - известные функции точек поверхности и времени.
В том случае, когда на одной части поверхности S задано условие вида (4.41), а на другой – вида (4.42), говорят о третьей основной граничной задаче, иногда ее называют смешанной граничной задачей.
Отличительная особенность первой основной граничной задачи состоит в том, что ее решение в зависимости от удобства можно строить в перемещениях (скоростях) или в напряжениях. Вторую и третью граничные задачи можно решать только в перемещениях (скоростях).
Решить задачу в перемещениях – значит представить исходную систему уравнений, граничные и начальные условия через функции . Для этого достаточно подставить формулы (4.38) и (4.40) в уравнения (4.37) и граничные условия (4.41). полученная таким образом система трех уравнений и трех граничных условий будет содержать только перемещения . В этом случае надобность в уравнениях (4.39) отпадает. Они могут служить лишь для контроля полученного решения.
Если первая граничная задача решается в напряжениях , то эти функции, кроме уравнений (4.37), должны удовлетворять и системе уравнений (4.39), в которой необходимо (или ) выразить через с помощью формул (4.38).
Ясно, что вид и характер исходной системы уравнений зависит от вида соотношений (4.38). С различными частными системами таких уравнений можно познакомиться по справочной литературе, учебникам и монографиям. При решении конкретных задач мы будем получать эти уравнения в упрощенном виде.
Определение напряженно-деформированного состояния тела не может быть самоцелью. Оно лишь предпосылка для оценки прочности, устойчивости, долговечности тела, конструкции или сооружения.
Дата добавления: 2016-03-15; просмотров: 655;