Лекция 3 Элементы механики сплошных сред. Упругие напряжения

План

1. Элементы механики сплошных сред. Стационарное движение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли.

2. Упругие напряжения. Закон Гука.

Тезисы

1. Объем газа определяется объемом того сосуда, который газ занимает. В жидкостях в отличие от газов среднее расстояние между молекулами остается практически постоянным, поэтому жидкость обладает практически неизменным объемом. В механике с большой степенью точно­сти жидкости и газы рассматриваются как сплошные, непрерывно распределенные в занятой ими части пространства. Плот­ность жидкости мало зависит от давления. Плотность же газов от давления зависит существенно. Из опыта известно, что сжи­маемостью жидкости и газа во многих за­дачах можно пренебречь и пользоваться единым понятием несжимаемой жидкости, плотность которой всюду одинакова и не изменяется со временем. Идеаль­ная жидкость - физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой от­сутствуют силы внутреннего трения. Идеаль­ная жидкость - воображаемая жидкость, в которой от­сутствуют силы внутреннего трения.Ей противоречит вязкая жидкость. Физическая величина, определяемая нормальной силой, действующей со сторо­ны жидкости на единицу площади, назы­ваетсядавлением ржидкости . Единица давления - паскаль (Па): 1 Па равен давлению, создаваемому си­лой 1 Н, равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью 1 м² (1 Па=1 Н/м²). Давление в любом месте покоящейся жид­кости одинаково по всем направлениям, причем давление одинаково передается по всему объему, занятому покоящейся жид­костью.

Давление изменяется линейно с высо­той. Давление Р=rgh называется гидростати­ческим. Сила давле­ния на нижние слои жидкости боль­ше, чем на верхние, поэтому на тело, по­груженное в жидкость, действует выталки­вающая сила, определяемая законом Архимеда: на тело, погруженное в жид­кость (газ), действует со стороны этой жидкости направленная вверх выталкива­ющая сила, равная весу вытесненной те­лом жидкости (газа) , где r — плотность жидкости, V — объем погруженного в жидкость тела.

Движение жидкостей называется течени­ем, а совокупность частиц движущейся жидкости — потоком. Графически движе­ние жидкостей изображается с помощью линий тока, которые проводятся так, что касательные к ним совпадают по направ­лению с вектором скорости жидкости в со­ответствующих точках пространства (рис. 45). По картине линий тока можно су­дить о направлении и модуле скорости в разных точках пространства, т. е. можно определить состояние движения жидкости. Часть жидкости, ограниченную линия­ми тока, называют трубкой тока. Течение жидкости называется установившимся (или стационарным), если форма и распо­ложение линий тока, а также значения скоростей в каждой ее точке со временем не изменяются.

Рассмотрим какую-либо трубку тока. Выберем два ее сечения S₁ и S₂, перпенди­кулярные направлению скорости (рис. 46). Ес­ли жидкость несжимаема (r=const), то через сечение S₂пройдет за 1 с такой же объем жидкости, как и через сечение S₁, т. е. Произведение скоро­сти течения несжимаемой жидкости на поперечное сечение трубки тока есть ве­личина постоянная для данной трубки то­ка. Соотношение называется урав­нением неразрывности для несжимаемой жидкости. - уравне­ние Бернулли - выражение закона сохранения энергии применительно к уста­новившемуся течению идеальной жидко­сти (здесь р - статическое давление (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина — динамическое давление, - гидростатическое давление). Для горизонтальной трубки тока уравнение Бернулли записывается в виде , где левая часть называется полным давлением. Формула Торичелли записывается:

Вязкость - это свой­ство реальных жидкостей оказывать со­противление перемещению одной части жидкости относительно другой. При пере­мещении одних слоев реальной жидкости относительно других возникают силы внутреннего трения, направленные по ка­сательной к поверхности слоев. Сила внутреннего трения F тем боль­ше, чем больше рассматриваемая площадь поверхности слоя S, и зависит от того, насколько быстро меняется скорость течения жидкости при переходе от слоя к слою. Величина Dv/Dx показывает, как быстро меняется скорость при перехо­де от слоя к слою в направлении х, пер­пендикулярном направлению движения слоев, и называется градиентом скорости. Таким образом, модуль силы внутреннего трения равен , где коэффициент пропорциональности h, зависящий от природы жидкости, называ­ется динамической вязкостью (или просто вязкостью). Единица вязкости — паскаль•секунда (Па•с) (1 Па•с=1 Н•с/м²). Чем больше вязкость, тем сильнее жидкость отличается от идеальной, тем большие силы внутреннего трения в ней возникают. Вязкость зависит от темпера­туры, причем характер этой зависимости для жидкостей и газов различен (для жидкостей с увеличением температуры уменьшается, у газов, наоборот, увеличи­вается), что указывает на различие в них механизмов внутреннего трения. Особенно сильно от температуры зависит вязкость масел. Методы определения вязкости:

1) формула Стокса ; 2) формула Пуазейля

2. Деформация называется упругой, если после прекращения действия внешних сил тело принимает первоначальные размеры и форму. Деформации, которые сохраняются в теле после прекращения действия внешних сил, называются пластическими. Сила, действующая на единицу пло­щади поперечного сечения, называется на­пряжением и измеряется в паскалях. Количественной мерой, характеризую­щей степень деформации, испытываемой телом, является его относительная дефор­мация. Относительное изменение дли­ны стержня (продольная деформация) , относительное поперечное растяжение (сжатие) , где d -— диаметр стержня. Деформации e и e' всегда имеют раз­ные знаки , где m — положительный коэффициент, за­висящий от свойств материала, называе­мый коэффициентом Пуассона.

Роберт Гук экспериментально установил, что для малых деформаций относительное уд­линение e и напряжение s прямо про­порциональны друг другу: , где коэффициент пропорциональности Е – модуль Юнга.

Модуль Юнга определяется напряжением, вызывающим относительное удлинение, равное единице . Тогда закон Гука можно записать так , где k — коэффициент упругости: удлинение стержня при упругой деформации пропорционально действующей на стержень силе. Потенциальная энергия упруго растянутого (сжатого) стержня Деформации твердых тел подчиняются закону Гука только для упругих деформаций. Связь между деформацией и напряжением пред­ставляется в виде диаграммы напряже­ний (рис. 35). Из рисунка видно, что линейная зависимость s (e), установленная Гуком, выполняется лишь в очень узких пределах до так на­зываемого предела пропорциональности (s_п). При дальнейшем увеличении напря­жения деформация еще упругая (хотя за­висимость s (e) уже не линейна) и до пре­дела упругости (s_у) остаточные деформа­ции не возникают. За пределом упругости в теле возникают остаточные деформации и график, описывающий возвращение тела в первоначальное состояние после прекра­щения действия силы, изобразится не кри­вой ВО, а параллельной ей — CF. Напря­жение, при котором появляется заметная остаточная деформация (~=0,2 %), назы­вается пределом текучести (s_т) — точка С на кривой. В области CD деформация возрастает без увеличения напряжения, т. е. тело как бы «течет». Эта область называется областью текучести (или об­ластью пластических деформаций). Мате­риалы, для которых область текучести значительна, называются вязкими, для ко­торых же она практически отсутствует — хрупкими. При дальнейшем растяжении (за точку D) происходит разрушение тела. Максимальное напряжение, возникающее в теле до разрушения - преде­л прочности (s_p).