Метод Ньютона (метод касательных). В данном методе функция f(x) должна удовлетворять на отрезке (a,b) следующим условиям:

В данном методе функция f(x) должна удовлетворять на отрезке (a,b) следующим условиям:

1) функция должна быть дважды дифференцируема;

2) (x) ≠ 0; (*)

3) , на отрезке [a,b].

Итерационный алгоритм в методе Ньютона имеет вид

, k=0,1,2,… (3)

x₀=b или x₀=a,

где: x_k – значение корня на k-ой итерации;

h_k=? – корректирующая поправка x_k на k-ой итерации.

Требуется определить h_k.

Представим график функции f(x), удовлетворяющий условиям (*), на отрезке [a,b] на Рис.3

Пояснение метода Ньютона на Рис.3.

Рис.3. Метод Ньютона

Из (прямоугольного) имеем / откуда , тогда на основании (2а) имеем

Аналогично из прямоугольного треугольника получаем

В общем случае для (k+1)-ой итерации можно записать

(3а)

Сходимость итерационного алгоритма (2*) или (3а) очевидна.

Остановка итерационного алгоритма производится при выполнении условия , а результатом является .

Достоинство – сходимость метода на порядок больше по сравнению с методом половинного деления.

Недостатки: – более жесткие требования к f(x) (смотри (*));

– в каждой итерации необходимо вычислять и