ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ СТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

В том случае, когда преобразуемая случайная функция X (t) задана своей спектральной плотностью S_x(ω) и требуется определить спектральную плотность S_y (т) преобразованной случайной функции Y(t).

Желательно, иметь метод, позволяющий непосредственно по известной спектральной плотности преобразуемой функции при заданных свойствах линейного оператора сразу определить спек­тральную плотность преобразованной функции.

При гармоническом анализе детерминированных функций с этой целью используется еще одна характеристика линейного опе­ратора, описывающая его свойства в частотной области. Это ком­плексная функция частоты k(jω) = K(ω)e ^-jj(ω), получившая звание передаточной функции оператора. Ее модуль Κ(ω), и аргумент φ (ω) соответственно показывают, как изменяются амплитуда и фаза каждой гармонической составляющей спектра преобразуе­мой функции после действия на нее линейного оператора. Модуль передаточной функции K(ω) в гармоническом анализе называют амплитудно-частотной, а аргумент φ (ω)—фазочастотной харак­теристиками оператора.

Известно [2], что передаточная функция k( jω) и импульсная переходная характеристика h (τ) линейного оператора связаны парой преобразований Фурье

(2.5.24)

Исходя из свойств передаточной функции, амплитудно-фазовый спектр A_y ( j ω) детерминированной функции у (t), полученной в результате линейного преобразования детерминированной функ­ция x (t) определяется выражением

(2.5.25)

где A_x(jw) — амплитудно-фазовый спектр функции x(t), опреде­ляемый формулой (2.4.3); k(j ω)—передаточная функция линей­ного оператора.

Однако непосредственное использование (2.5.25) для опреде­ления спектральной плотности в случае линейного преобразования случайной функции не представляется возможным. Это объясня­ется тем, что, как уже указывалось в параграфе 2.4, энергетичес­кий спектр, во-первых, не содержит информации о фазах спек­тральных составляющих, и во-вторых, характеризует энергию этих составляющих, а не их амплитуду.

Для определения спектральной плотности S_y (ω) преобразо­ванной линейным оператором случайной функции Υ (t) подставим в формулу Винера—Хинчина (2.4.4) ее корреляционную функцию R_y(t), выраженную согласно (2.5.21) через корреляционную функцию R_x(t) преобразуемой функции X (t) и импульсную пе­реходную характеристику оператора R (t)

(2.5.26)

Вводя вместо τ переменную t = t+t₁-t₂ и учитывая, что в силу свойства h (τ) = 0 при τ < 0 нижние пределы внутренних ин­тегралов можно взять равными — ¥ преобразуем (2.5.26) к виду

Представляя экспоненту в виде произведения трех экспонент и осуществив необходимую группировку, получаем

(2.5.27)

Нетрудно видеть, что первый интеграл в (2.5.27) есть спектраль­ная плотность S_x(w) преобразуемой функции, второй — переда­точная функция k(jw), а третий — функция, комплексно сопряжен­ная с передаточной функцией — k(-jω). Следовательно, произве­дение второго и третьего интегралов в (2.5.27) дает k(jw)´(-jw) = | k(jw)|²= K² (ω) — квадрат модуля передаточной функ­ции (квадрат амплитудно-частотной характеристики оператора) и (2.5.27) принимает вид

S_y (ω) = S_x(w) K² (ω), (2.5.28)

Таким образом, спектральная плотность случайной функции Υ (t), получаемой в результате преобразования линейным опера­тором с передаточной функцией h (τ) случайной функции Χ (t), равна произведению ее спектральной плотности S_x(t) на квадрат амплитудно-частотной характеристики оператора. Этого следова­ло ожидать и из физических соображений, так как энергия про­порциональна квадрату амплитуды. Укажем в качестве .примера., что для оператора интегрирования (интегратора), импульсная пе­реходная характеристика которого, как это следует из (2.5.14), h(τ) = 1, передаточная функция, которую можно получить из вы­ражения (2.5.24) имеет вид h(jw) = -j/ω. Следовательно, квадрат амплитудно-частотной характеристики интегратора равен Κ²(ω) = 1/ω². Тогда спектральные плотности случайных функций на вы-

ходе и входе интегратора связаны соотношениями S_y(w)=w ^-2S_x(w) .

Аналогично для оператора дифференцирования имеет место

Получение выражения (2.5.28) дает решение вопроса о пре­образовании стационарных функций линейными операторами. Действительно, теперь существует возможность определять как корреляционную функцию, так и спектральную плотность преоб­разованной функции, если свойства линейного оператора и пре­образуемой функции заданы любыми сочетаниями — импульсная переходная характеристика или передаточная функция — корре­ляционная функция R_x(t) или спектральная плотность S_x(ω).