К вопросу об эксперименте Эйнштейна – де Гааза 1 страница

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

Магнитные поля движущихся зарядов (опыты)

1. Опыт Эрстеда (1920 г.)

РИС.19-1

Правило правой руки.

Стрелка под проводом. Если стрелка над проводом, то направление поворота меняется на обратное. Эффект наблюдается во всех случаях при протекании тока, независимо от природы проводника (например, ионный ток в электролите). Два провода, по которым текут токи – взаимодействуют: опыты Ампера в том же 1820 г.

Взаимодействие проводников с током, контуров с током, соленоидов и т.п. подобно действию токов на магниты и называется магнитным взаимодействием. Зависит не от зарядов, а от токов. Не экранируется проводниками.

{Магнитное поле (постоянное), в свою очередь, действует на заряды: электронно-лучевая трубка, кинескоп, ускорители, масс-спектрометры.}

Закон магнитного взаимодействия токов

Что установлено экспериментально? (главным образом – А. М. Ампером-1775-1836)

1. Сила взаимодействия двух проводников пропорциональна силе тока в каждом из них: .

2. Изогнутый провод с током не оказывает магнитного действия (равно как и скрученный).

Бифилярная намотка: одна часть провода произвольно навита вокруг другой.

Отсюда следует, что элементы проводника с током оказывают такое же магнитное действие, как элемент (отрезок) , их замыкающий.

РИС.19-2

Итак: магнитное действие бесконечно малого отрезка проводника с током определяется произведением , где - сила тока, а - вектор, имеющий длину отрезка и направленный вдоль тока.

- элемент тока (линейный элемент тока).

Отсюда: .

3. Ампер установил, что сила взаимодействия обратно пропорциональна квадрату расстояния между элементами тока: .

4. Величина и направление силы взаимодействия двух элементов с током зависят от их взаимной ориентации (выявление этой зависимости было наиболее трудным экспериментально).

Из опыта (Рис. 19-3) следует, что не оказывает никакого действия на , поэтому сила, действующая на , , где .

Если и не лежат в одной плоскости, то отрезок можно разложить на две составляющие: - в плоскости, содержащей и ,

- перпендикулярно этой плоскости.

Сила, действующая на , всегда равна нулю. Сила, действующая на , пропорциональна , где - направление нормали к плоскости (Рис. 19-4).

Итак, экспериментально установленный закон взаимодействия проводников с током

(основной закон в учении о магнетизме-закон Ампера):

( - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц).

РИС.19-3

РИС.19-4

Направление силы - она перпендикулярна элементу и лежит в плоскости, содержащей и .

Иначе: правило правого буравчика (штопора): если вращать правый буравчик так, чтобы рукоятка перемещалась от элемента к нормали , то поступательное движение буравчика совпадет с направлением силы .

Направление нормали - задается тем же правилом: оно совпадает с поступательным движением буравчика, если его вращать от элемента к радиусу - вектору .

В векторной форме закон Ампера:

.

Напряженность магнитного поля вводим по аналогии с напряженностью электрического поля из сопоставления закона Кулона и закона Ампера.

Кулон	Ампер
	Роль заряда играет линейный элемент тока . Движущиеся заряды!

Напряженность магнитного поля определяется путем интегрирования по всему контуру с током: .

Примеры

Магнитное поле в центре кругового проводника

, т.к. и расстояния все одинаковые и равны .

.

РИС.19-5

РИС.19-6

Провод бесконечный. Направление магнитного поля для всех элементов провода одинаковые, поэтому складываем абсолютные значения .

,

, .

Þ .

Единицы -Тл (SI) .

- в CGSE,

в SI.

; .

Сила Лоренца, действующая на точечный заряд , движущийся со скоростью (постоянной) в электрическом поле и магнитном поле :

.

Если по некоторому объема проводника протекает ток , а этот элемент находится в магнитном поле , то на этот элемент действует сила - это прямое следствие из магнитной составляющей силы Лоренца.

Плотность пондеромоторных сил:

.

Закон Био-Савара-Ампера

Если точечный заряд движется со скоростью (постоянной) , то напряженность магнитного поля, создаваемого этим зарядом в точке наблюдения, определяемой радиусом-вектором :

.

РИС.19-7

Нам известно, что напряженность поля точечного заряда , следовательно, можно записать: .

Воспользовавшись принципом суперпозиции (каждый заряд создает магнитное поле совершенно независимо от всех остальных зарядов), находим:

.

Связь объемных и линейных токов

.

Поскольку выделить элемент объемного тока или элемент линейного тока на практике невозможно, то опытной проверке могут быть подвергнуты лишь интегральные соотношения (закон Био-Савара в 1820 г.):

( не зависит от времени),

( не зависит от времени).

Эти выражения справедливы только для замкнутых токов, каковыми и являются токи постоянные.

Вектор-потенциал магнитного поля

Одно из основных уравнений магнитного поля можно записать в более удобной форме.

Подынтегральная функция:

( - по точке наблюдения).

Рассмотрим выражение для дифференцирования произведения скаляра и вектора:

,

.

Отсюда: .

Подставим , :

.

Рассмотрим теперь и покажем, что , так как значение вектора плотности тока не зависит от перемещения точки наблюдения. Действительно:

, где - координаты точки истока.

.

Рассмотрим любую компоненту , например, компоненту :

.

Таким образом, подынтегральная функция в законе Био-Савара стала: .

Закон Био-Савара приобрел вид: .

В этом выражении дифференцирование. т.е. образование ротора, производится по координатам точки наблюдения ( ), а интегрирование – по объему проводников, обтекаемых током. Эти операции можно поменять местами:

.

Если ввести обозначение:

, то уравнение примет вид:

, где индекс « » при знаке ротора опущен как излишний, так как при заданном распределении токов вектор зависит только от положения точки наблюдения.

Напряженность магнитного поля может быть представлена в виде ротора некоторого вектора , который называется вектор-потенциалом токов.

Вектор-потенциал объемных токов: .

Вектор потенциал линейных токов, т.е. на расстояниях от токов - больших по сравнению с размерами их сечения: .

Аналогия между скалярным потенциалом стационарной системы точечных зарядов и векторным потенциалом системы постоянных токов :

Из этого сопоставления следует,

что вектор плотности тока играет для магнитного поля такую же роль, как скаляр плотности зарядов для электростатического поля.

Дифференциальные соотношения для вектор-потенциала

(дополнительный материал)

В электростатике мы получили уравнение Пуассона

, решением которого было .

Запишем аналогичные выражения для компонент вектор-потенциала:

Þ ;

Þ ;

Þ .

Правые три уравнения для компонент вектора эквивалентны одному векторному уравнению ,

которое и является искомым дифференциальным уравнением для векторного потенциала.

Это уравнение справедливо, если

1) сам вектор-потенциал и его пространственные производные конечны и непрерывны во всем исследуемом пространстве;

2) при и ®0 или хотя бы остаются конечными.

Рассмотрим .

( - по координатам точки наблюдения).

Порядок дифференцирования по координатам точки наблюдения и интегрирования по объемам, обтекаемым точками, может быть изменен на обратный:

,

( , так как вектор плотности тока зависит только от координат истока, а не от координат точки наблюдения).

.

- в силу замкнутости постоянных токов.

Следовательно, .

.

Последний интеграл можно преобразовать по теореме Гаусса, так как пространственное интегрирование в нем происходит по тем же самым координатам точек истока, как и дифференцирование (в предыдущем выражении для интегрирование происходило по точкам истока, а дифференцирование, т.е. образование , производилось по точкам наблюдения).

.

Поскольку на поверхности проводников , то

, что и требовалось доказать.

Дополнительный материал закончился.

Дифференциальные уравнения магнитного поля

1) ,

(дивергенция ротора всегда =0)

{уравнение (3) из лекции №13 }.

2) ,

,

.

{сравните с уравнением (1) лекции №13}.

3) Рассмотрим циркуляцию магнитного вектора по произвольной замкнутой линии . На основании теоремы Стокса можно записать:

(напомним, что поверхностные интегралы могут быть распространены по любой поверхности , опирающейся на контур ).

Обратим теперь внимание на то, что равно силе тока , проходящей через элемент поверхности в направлении ее положительной нормали. Следовательно:

(алгебраическая сумма сил токов, пронизывающих контур ; токи эти считаются положительными или отрицательными в зависимости от того, какую систему винта они создают с направлением обхода контура).

РИС.19-8

Очевидно, что циркуляция вектора напряженности магнитного поля по кривой, не охватывающей токов, равна помноженной на сумме сил этих токов (взятых с надлежащими знаками).

Момент сил, действующих на виток с током в магнитном поле

( - контур витка).

РИС.19-9

Если магнитное поле однородно, то вектор можно вынести за знак интеграла. Поскольку , то сила, действующая на виток с током в однородном магнитном поле, равна нулю.

Однако момент силы , вообще говоря, в нуль не обращается.

, где .

Вектор - магнитный поток тока.

- векторная площадь витка (вектор единичной нормали направлен так, чтобы осуществлялась правовинтовая система).

20 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ

Природа магнетизма

Притягиваются провода или отталкиваются – это зависит от направления тока. Но существуют ведь постоянные магниты. Мы знаем, что для возникновения электростатического поля нужны электрические заряды, а для возникновения магнитного поля нужны токи. Что за токи в постоянных магнитах?

Магнитный момент контура с током:

РИС.20-1

Электрон, движущийся в атоме по замкнутой орбите, создает ток, плотность которого

, где - масса,, - волновые функции электрона, - плотность потока вероятности.

Если задано состояние электрона в атоме, т.е. заданы его волновые функции, то можно вычислить плотность замкнутого электронного тока в атоме и можно определить эффективную площадь орбиты электрона; следовательно, можно определить магнитный момент атома, обусловленный орбитальным движением электрона: