Логико-вероятностный подход к расчету надежности

Рассмотрим расчет надежности системы с несводимой к параллельно - последовательным

Система является работоспособной, если работоспособны:

1,2,3,4,5,6,7,8,9;

1,2,9,3,4;

……….

8,7,9,6,5;

8,7,9,3,5;

Работоспособность i-го элемента - X_i представляет собой функцию:

Таким образом, функция работоспособности системы представляет собой: Y=X₁×X₂ X₃×X₄ X₅×X₆ X₇×X₈×X₉Ú X₁×X₂ X₉×X₃ X₄Ú …ÚX₈×X₇ X₉×X₃ X₅Ú X₈×X₇ X₉×X₃ X₅

Функция работоспособности системы приводится к ортогональной форме (к виду, когда в ней нет повторяющихся членов и логические функции заменены на алгебраические аÚb=a+b-a×b). Затем производится замена событий на вероятности.

Такой метод получил название логико-вероятностный.

Последовательность расчета надежности следующая:

1) сформулировать словесно условие работоспособности изделия;

2) на основании формулировки об условии работоспособности изделия записать логическую функцию работоспособности (минимизировать, исключить повторяющиеся члены);

3) преобразовать в случае необходимости логическую функцию работоспособности (минимизировать, исключить повторяющиеся члены);

4) в логической функции работоспособности заменить логические операции арифметическими;

5) в арифметической функции работоспособности заменить простые события их вероятностями;

6) в полученную формулу, устанавливающую связь между вероятностями состояний элементов и вероятностью состояний системы, подставить числовые значения вероятностей состояний элементов. Решением полученного уравнения определить числовое значение вероятности работоспособного состояния системы.

Другой способ расчета сложных систем основан на использовании марковских процессов.

Модель задается в виде состояний, в которых система может находиться, и возможных переходов из одного состояния в другое.

Допущение: нахождение состояния системы в данный момент времени не зависит от предыдущего состояния

где:

l - показатель интенсивности отказа

m - показатель ремонтопригодности

На графике изображены следующие состояния:

Работают оба элемента системы

Отказ одного из элементов - ИС работоспособна

Отказ второго элемента - ИС неработоспособна

При представлении ИС с помощью данной модели используется теория марковских процессов, в том случае, если нахождение системы не зависит от того, в каком состоянии находилась ИС в прошлом.

Составляется уравнение Колмогорова - Смирнова:

Производная от вероятности нахождения системы в i - том состоянии равна алгебраической сумме произведений интенсивности перехода на вероятности соответствующих состояний. Тем произведениям, которым соответствуют уходящие из данного состояния стрелки, приписывают знак "-", а входящим - "+".

Таким образом, для данной системы, изображенной на рисунке, имеем:

Таким образом, используя приведенные методы можно получить приближенные значения показателей надежности технических объектов, что позволяет проводить анализ применяемых технических приемов и методов при проектировании и разработке.

Вопросы для самоконтроля

1. Укажите преимущества и недостатки расчетных методов исследования надежности и области их применения.

2. Покажите связь между теорией расчетов надежности и математической логики, теорией вероятностей.

3. Укажите последовательность расчета надежности системы состоящей из 4 элементов, отказ каждого из которых приводит к отказу системы в целом, если известна интенсивность отказов каждого элемента и в случае если известна вероятность отказа каждого элемента.

4. Укажите последовательность расчета надежности системы состоящей из 3 элементов, отказ каждого из которых не приводит к отказу системы в целом, если известна вероятность безотказной работы каждого элемента.