Система координат для прямоугольного волновода

Т. к. поперечные составляющие векторов поля выражаются через продольные (см. 13.2), достаточно решить уравнения Гельмгольца относительно последних:

,

(13.2.8)

при соответствующих граничных условиях. Как видим, это две скалярные краевые задачи на собственные значения и на собственные функции (собственные волны) поперечного оператора Лапласа. Их решения стандартным методом разделения переменных имеют вид [13.1]:

а) для -волн:

(13.7.1)

где для -ой моды ( =1, 2, …):

(13.7.2)

б) для -волн:

(13.7.3)

где для -ой моды ( =0, 1, 2, … , кроме одновременного ):

(13.7.4)

Как для -волны, так и для -волны постоянная для -ой моды находится из соотношения:

,

(13.7.5)

а зная ее, из (13.3.5) находится критическая длина волны:

,

(13.7.6)

длина волны в волноводе:

,

(13.3.8)

и фазовая скорость этой волны:

. (13.3.9) Характеристическое сопротивление для -волн равно (13.3.11) а для -волн равно (13.3.12)

Заметим, что для -волны определены все параметры, кроме , а для -волны – все параметры, кроме . Для определения этих параметров нужны дополнительные данные, например, мощность источника.

Соотношения (13.7.1), (13.7.2), (13.7.3), (13.7.4) показывают, что в волноводе могут существовать различные моды -волн и -волн, структура поля и параметры которых зависят от двумерного номера . Эти моды принято обозначать и , причем у -волн пробегают значения 1, 2, …, а у -волн один из индексов (но не оба) может равняться нулю.

Чтобы понять смысл номеров и , заметим, что структура поля в поперечном сечении волновода (т. е. при фиксированном значении координаты ) аналогична структуре стоячей волны, которую можно характеризовать «длинами волн» и в направлениях осей и соответственно. Таким образом, номер есть число «полуволн» ( ), укладывающихся на поперечном размере стенки, параллельной оси , а номер есть число «полуволн» ( ), укладывающихся на поперечном размере стенки, параллельной оси . Равенство нулю одного из номеров означает, что поле рассматриваемой волны не зависит от соответствующей координаты (при – от координаты , а при – от координаты ). Изменение всех составляющих комплексных амплитуд векторов и вдоль оси описывается множителем . В волноводе без потерь распространение волны происходит только при , а критическая длина волны зависит, в силу (13.7.6), от размеров и , от номеров и моды. При фиксированных размерах и волновода с увеличением номеров и (или) значение уменьшается.

Наибольшую среди всех возможных волн при имеет волна с . При наибольшую имеют две волны и . Волну, имеющую наибольшую , называют основной волной ЛП (или волной низшего типа). Таким образом, при основной волной прямоугольного волновода является волна .

Волны, у которых , не распространяются: образуется стоячая волна, в которой и амплитуды составляющих векторов и экспоненциально убывают вдоль оси пропорционально фактору

,

(13.7.7)

но это не связано с потерями на поглощение, они по-прежнему предполагаются отсутствующими.