Емкостные коэффициенты

Решения задачи о нахождении электрических полей в системе N статических заряженных проводников упрощаются, если воспользоваться следующим свойством: заряды проводников являются линейными, однородными функциями их потенциалов, а потенциалы - линейными, однородными функциями зарядов.

Коэффициенты этих линейных зависимостей называют емкостными коэффициентами, которые определяются размерами, формой и взаимным расположением проводников. Если пространство между проводниками заполнено однородным диэлектриком, в котором нет свободных зарядов, то емкостные коэффициенты прямо пропорциональны его диэлектрической проницаемости. Согласно линейности и однородности уравнений электростатики (например, уравнение Лапласа) аналитически это свойство записывается в виде

, (14)

где q_i - заряд i-го проводника; j_j - потенциал j-го проводника; С_ij - емкостные коэффициенты ( индексы i, j = 1, 2, ... , N).

В свою очередь, емкостные коэффициенты характеризуются следующими свойствами: 1) С_ij = С_ji; 2) С_ii > 0 для всех i. Действительно, емкостные коэффициенты С_ij с одинаковыми индексами (I = j) положительны. Заземлим все проводники, кроме i -го и j - го, тогда q_i = C_iij_i. Но величины q_i и j_i имеют одинаковые знаки.

Следовательно, С_ii > 0. 3) С_ij < 0, если I ¹ j, т. е. емкостные коэффициенты с различными индексами - отрицательны. Действительно, заземлим все проводники, кроме i -го и j- го. Сообщим i -му проводнику положительный заряд (q_i> 0), а j-й - останется не заряженным (q_j=0),а потенциалы j_i и j_j будут положительными. Причем q_j = С_jij_I + C_jjj_j = 0, что возможно, если С_ji < 0. Во всех случаях потенциал поля в бесконечности равен нулю. Если число проводников (обкладок конденсатора) равно двум, то

q₁ = C₁₁ j₁ + C₁₂ j₂,

q₂ = C₂₁ j₁ + C₂₂ j₂, (15)

где ½+q½=½-q½= q.

Решая уравнения (14) относительно j₁ и j₂, находим разность потенциалов и емкость конденсатора: . (16)