Переход породы в новое напряжённо - деформированное состояние

В нетронутом массиве породы на глубине H на площадку с нормальным вектором, параллельным вертикальной оси Z, действует эффективное давление, равное разности горного и пластового давлений

P_z = ρ_п g H – Р_пл , (3.1)

где ρ_п - усреднённая плотность породы, Н – глубина ,g–ускорение свободного падения, Р_пл – пластовое давление на глубине Н.

Боковые давления на площадках, перпендикулярных осям Х и Y, в общем случае могут быть не одинаковыми. При равенстве давления в породе напряжению, можно говорить о том, что на глубине H действует комплекс напряжений: . Для изотропной среды можно допустить и P_z. Понятно, что будут составлять только какую–то часть . (рис. №3.1)

Для оценки боковых напряжений рассмотрим некоторые положения теории упругости. При растяжении цилиндрического твёрдого тела силой F по схеме, представленной на рисунке №3.2, его длина и диаметр претерпят изменения. Относительные деформации длины и диаметра цилиндра обозначим и , соответственно.

.

Относительные деформации, выраженные через геометрические размеры цилиндра равны:

и . -суммарное удлинение.

Поперечное сечение цилиндра – S. Тогда действующее напряжение в твёрдом теле будет равно .

Отношение относительного уменьшения диаметра цилиндра к относительному удлинению цилиндра называется коэффициентом Пуассона:

. (3.2)

Естественно, боковые напряжения должны выражаться через коэффициент

Пуассона. Для упрощения решения будем считать породу изотропной средой. Тогда в пределах упругих деформаций можно ввести понятие коэффициента бокового распора:

Тогда в пределах упругих деформаций можно ввести понятие коэффициента бокового распора:

. (3.3)

Напряжения = . Таким образом, боковые напряжения в нетронутом массиве выражаются через коэффициент бокового распора и напряжение, создаваемое горным давлением.

Бурение скважины сопровождается переходом пород в окрестности ствола в новое напряжённо – деформированное состояние. Теперь приведённые соотношения действительны только в достаточно удалённых от скважины зонах. Для скважины необходимо ввести цилиндрические координаты.

Координата r может вращаться относительно оси скважины, вследствие допущения об изотропности породы.

Координата θ, являясь скользящей и может перемещаться вдоль координаты r, оставаясь перпендикулярной r.

Достаточно простые решения могут быть получены для случая отсутствия фильтрации и постоянства скачка давления на стенке скважины равному разности забойного и пластового давления в скважине на глубине залегания пласта. Решение будет распространяться для области

≤ r ≤ ∞.

+ a = - a; (3.4)

где a , = репрессия, равная разности забойного и пластового давлений.

Следует отметить, что для нетронутого массива σ_{r и} σ_θ , при условии r , должны быть равны .

Действительно, проверка равенств (3.4) показывает:

при r = а; при ;

Из теории упругости следует закономерность, состоящая в следующем: при действии в среде 2 – х главных взаимно перпендикулярных напряжений возникает сдвиговое напряжение , которое равно или = . (3.5)

Обозначим известное сдвиговое напряжение , получим

= (3.6)

Для размера зоны дилатансии в пласте из (3.5) получим

( 3.7)

Основная проблема состоит в определении значения предела прочности породы – коллектора на сдвиг для конкретного пласта в условиях залегания.

Дляописания объемных деформаций пористых сред в условиях пластического течения используется следующее реологическое уравнение

dθ = dθ ш - dθ_D = ß(Р)dp – λ(έ_r^0,5)dτ , (3.8)

где θш–объемная деформация, обусловленная действием шаровой части тензора напряжений; θ_D–дилатантная составляющая объемной деформации среды; έ_r - второй инвариант девиатора тензора скоростей деформаций; λ–скорость дилатансии. Вычитаемое в правой части выражения представляет собой дилатантную составляющую деформации в функции от сдвигового напряжения. Переходя к теории конечных деформаций, величину θ_D можно представить в виде

θ_D = λ ( έ_r ^0,5 )Δτ = Φ·Δ σ_р ^0,5 , (3.9)

где Φ - некоторая функция, σ_р- второй инвариант девиатора тензора напряжений.