Метод кривых распределения

Статистический метод дает возможность не ставить специальные эксперименты, заменяя их наблюдениями непосредственно на производстве. При этом нужно лишь регламентировать условия операции и считаться с законом больших чисел, на основе которого делают выводы при всяких статистических исследованиях. Согласно этому закону при увеличении числа наблюдений над однородными явлениями частость появления какого-либо события в прошлом приближается к вероятности появления его в будущем (частостью называют отношение числа случаев m, когда событие наблюдалось, к общему числу n сделанных наблюдений; вероятность – отношение числа случаев, благоприятствующих данному событию, ко всему числу возможных случаев; вероятность достоверного события равна единице (100%), невозможного – нулю.

Вышеприведенное условие закона больших чисел означает, что не всякое измерение размеров можно положить в основу выводов о погрешностях обработки. Например, величина рассеивания V= 0,15, полученная после обработки партии из 25 деталей, является критерием погрешности обработки, достаточно достоверным для данной партии, но не больше. Эта величина будет неправильной (малодостоверной), если принять ее в качестве норматива, так как число обработанных деталей (число наблюдений) слишком мало.

Наглядное представление о действительной точности операционного размера носит кривая распределения размеров. Получившееся поле рассеивания V разделяют на некоторое число равных интервалов и в выбранном масштабе изображают на оси абсцисс. Далее подсчитывают частость

,

где m_i – количество деталей с размером, попавшим в каждый интервал разбивки (по оси Х). Далее выбирают масштаб по оси ординат и из середины каждого интервала откладывают соответствующую частоту в виде отрезка. Соединяя концы этих отрезков, получают ломаную линию, называемую практической кривой распределения.

Рис.3.9. Практическая кривая распределения размеров(пояснения в тексте)

Если бы количество деталей было бы безгранично велико, то естественно безграничным могло быть и число интервалов. Тогда ломаная превратилась бы в плавную кривую и изображала закон распределения размеров.

При выбранном масштабе построения форма кривой распределения зависит только от разности значений размеров. В исследованиях, связанных с определенным заданным размером, принимают за начало координат среднее значение L _{з ср.}; таким образом достигается наибольшая наглядность (рис.3.9).

Параметры кривой. Кривую распределения характеризуют следующие главные параметры:

1. Поле рассеивания размеров. Величина его

V = L_{д max} – L_{д min}. (3.4)

2. Центр группирования отклонений. Положение его в поле рассеивания соответствует среднему значению действительных размеров (в случае симметричной кривой):

, (3.5)

где n –общее число измерений (деталей).

Заметим, что, не зная характера распределения, мы вынуждены считать, что

, (3.6)

что правильно только при совпадении центра группирования с серединой поля рассеивания, т.е. для симметричных фигур (для нашей выше приведенной кривой центр группирования сместится несколько влево).

3. Абсолютная несимметрия. Этот параметр характеризует несимметричность кривой. Величина его ε представляет собой смещение центра группирования с середины поля рассеяния

. (3.7)

4. Среднеквадратическое отклонение размеров от центра группирования

. (3.8)

В статистических исследованиях этот параметр играет особо важную роль.

Во-первых, величина σ правильнее, чем величина поля V, характеризует интенсивность рассеяния. Например, поле V у кривой 1 и у кривой 2 одинаково (рис. 3.10).

Рис. 3.10. О роли σ и V при оценке кривых распределения (пояснения в тексте)

Однако при V₁ = V₂ среднеквадратическое отклонение σ₁< σ₂; это свидетельствует о том, что в первом варианте стабильность технологии более высокая, чем во втором.

Во-вторых, параметром σ широко пользуются при переходе от практических кривых к теоретическим законам распределения и при сопоставлении законов. Практические кривые получаются в виде ломаных линий, имеющих не вполне правильную форму. Использовать их для вывода общих закономерностей затруднительно. Поэтому их заменяют подходящими «теоретическими» кривыми, изображающими вполне определенные законы, задаваемые уравнениями вида y=f(x).

В- третьих, величина σ является единственным параметром, определяющим форму так называемой кривой нормального распределения (закон Гаусса), имеющий для технологии важное значение, так как к ней достаточно близко подходят практические кривые. Уравнение этой кривой в координатах с началом в центре группирования имеет вид

, (3.9)

где е – основание натуральных логарифмов (е=2,71828).

Кривая автоматически приближается к оси абсцисс. Она имеет две точки перегиба – на расстоянии + σ и – σ от центра группирования. При таком законе распределения 25% всех деталей партии находятся в интервале Х = ± 0,3σ; 50% - в интервале Х = ± 0,7σ; 75% - в интервале Х = ± 1,1σ, 99,73% - в интервале ± 3σ. В связи с этим считают, что практически все поле рассеяния находится в интервале ± 3σ (ошибка составляет лишь 0,27%), т.е. принимают

V = L_{д max} – L_{д min} = 6σ.

Влияние вида погрешности на характер распределения. Применяя метод кривых распределения к изучению погрешности обработки партии деталей, различают три «чистых» (теоретических) вида погрешностей:

а) постоянные;

б) закономерно-изменяющиеся;

в) случайные.

Рис. 3.11. Влияние постоянной а и закономерно-меняющейся б погрешностей на распределение размеров

Погрешность партии деталей называют закономерноизменяющейся, если по ходу обработки партии можно видеть закономерность в изменении погрешности деталей. У такой погрешности форма кривой распределения зависит от закона изменения факторов, вызывающих погрешность. На рис. 3.11, б показана типичная закономерность износа инструмента h и в соответствии с этим кривая распределения размеров.

Постоянные и закономерноизменяющиеся погрешности носят общее название систематических погрешностей.

Рис. 3.12. Влияние случайных погрешностей на характер распределения(пояснения в тексте)

На практике ни одна из «чистых» погрешностей партии получиться не может. Постоянная или закономерноизменяющаяся не могут получиться потому, что на действие крупного постоянного или закономерноизменяющегося фактора обязательно накладывается действие множества мелких переменных факторов (колебания величины припуска, свойств материала детали, температурных условий, условий смазки, различия во влиянии неточностей станка, приспособления, износа инструмента, различия в силе закрепления деталей и т.д.). Случайная же не может получиться в чистом виде ввиду неизбежности влияния какого-либо крупного постоянного фактора или переменного, не носящего случайный характер. Поэтому действительная погрешность обработки партии деталей всегда является более сложной.

Исходные положения для анализа кривых. При анализе руководствуются следующими основными положениями:

1. Ввиду большого числа различных производственных погрешностей, влияющих на выдерживаемый при обработке размер L_{з ср}, погрешность обработки партии деталей в наилучшем случае должна быть случайной величиной, подчиняющейся закону Гаусса. Это означает, что распределение погрешностей деталей, входящих в партию, должно следовать кривой нормального распределения с центрами группирования, совпадающими с L_{з ср} (рис. 3.12). Получив такое распределение, можно заключить, что среди производственных погрешностей не было крупных, доминировавших над остальными. Следовательно, крупные были выявлены и устранены при разработке, наладке и апробировании операции. Осталось лишь множество мелких производственных погрешностей, в отдельности малосущественных. Устранение одной из них или нескольких уже не может привести к заметному уменьшению погрешности обработки. Точностные возможности метода обработки практически оказываются исчерпанными. Существенное уменьшение погрешности обработки, если оно необходимо, требует перехода к иному методу обработки, более точному в целом, чем рассматриваемый (например, переход от точения к шлифованию, от зенкерования к развертыванию и т.п.).

При таком распределении величина поля рассеяния V = 6σ. Наибольшая из погрешностей деталей имеет величину, равную 3 σ.

2. Всякое отступление от закона нормального распределения указывают на то, что производственные погрешности, вызвавшие погрешность обработки, были неоднородные. Среди них была одна или несколько доминировавших над совокупностью остальных.

3. Влияние доминирующей постоянной производственной погрешности выражается в том, что центр группирования, оставаясь в середине поля рассеивания (ε = 0), смещается от значения L_{з ср} на величину μ, представляющую собой постоянную погрешность обработки (рис. 3.13). У таких деталей величина поля рассеяния V = 6 σ, но наибольшая из погрешностей деталей имеет величину, равную (3 σ + μ).

Рис. 3.13. Влияние постоянной погрешности μ на распределение размеров(пояснения в тексте)

Погрешность μ может быть обусловлена неточностью установки инструмента на размер L_з.ср и является неизбежной. Значительная по сравнению с полем рассеяния постоянная погрешность μ указывает на несовершенство метода, которым устанавливали инструмент. Отличными считают методы, обеспечивающие μ ≤ 0,5 σ. При обработке мерным инструментом роль неточности установки инструмента на размер играет неточность диаметра инструмента.

4. Влияние доминирующей переменной производственной погрешности внешне выражается в том, что форма кривой отличается от формы кривой нормального распределения.

Новая форма зависит от закона изменения доминирующей погрешности и от того, как велика последняя по сравнению с совокупностью остальных. В зависимости от этого закона центр группирования может остаться в середине рассеяния, т.е. кривая будет симметричной (ε = 0) или же он может сместиться с середины поля, т.е. кривая будет несимметричной (ε ¹ 0).

5. Наиболее часто в роли доминирующей закономерноизменяющейся производственной погрешности выступает износ режущего инструмента, в роли доминирующей постоянной – неточность установки инструмента, вызывающая погрешность μ.

6. Доминирующая закономерноизменяющаяся производственная погрешность вызывает в ходе обработки закономерное увеличение поля рассеяния и закономерно изменяет величину постоянной погрешности μ.

Получение двухвершинной кривой, хотя партия обрабатывалась при одной установке инструмента, указывает на то, что в какой-то момент обработки в действие включился непредвиденный крупный постоянный фактор – сбилось положение инструмента, выкрошилось режущее лезвие инструмента и др.

В практике технологии машиностроения распределение размеров в подавляющем большинстве случае совпадает с распределением Гаусса. Зная это, можно существенно упростить самоисследование операций, ограничившись достаточно малым числом опытов–наблюдений. Подсчитав для обработанных деталей (50 ÷ 100 шт.) получившуюся величину σ, можно, минуя построение кривой распределения (практической кривой), сразу же определить поле рассеяния (V=6 σ).

Наряду с этим упрощается решение задач, связанных с получением ожидаемой точности:

а) задач о возможности применения данного метода обработки;

б) задач о том, какая доля допуска на заданный размер может быть использована в качестве допуска на постоянную погрешность (μ) – при установке инструмента на размер или в качестве допуска на изготовление и износ мерного инструмента.

Наиболее важное общее практическое значение исследований погрешности с помощью кривых распределения состоит в том, что они позволяют составить обоснованные нормативы точности (поле рассеяния V = 6 σ), которую можно ожидать от различных методов обработки. Именно с методом (процессом) обработки (станок, инструмент, режим) связана большая часть производственных погрешностей, аналитические исследования которых невозможны или очень трудоемки.