Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля

Электростатическое поле – это особый вид материи, с помощью которой происходит взаимодействие заряженных тел.

Закон Кулона:сила взаимодействия F между двумя неподвижными точечными зарядами q₁ и q₂ прямопропорциональна величинам этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними:

, где (e₀ – электрическая постоянная);

e – диэлектрическая проницаемость среды, показывающая во сколько раз сила взаимодействия зарядов в данной среде меньше, чем в вакууме.

Элект­рические поля, которые создаются неподвижными электрическими зарядами, называ­ются электростатическими.

Напряженность электростатического поля в данной точке есть физическая величина , определяемая силой, действующей на пробный точечный положительный заряд q₀ , помещенный в эту точку поля, то есть:

.

Электростатическое поле может быть изображено графически с помощьюсиловых линий.Силовая линия — это такая линия, касательная в каждой точке к которой совпадает по направлению с вектором напряженности электростатическго поля в данной точке (рис. 1, 2).

Если поле создается точечным зарядом, то силовые линии – это радиальные прямые, выходящие из положительного заряда (рис. 2, а), и входя­щие в отрицательный заряд (рис. 2, б).

Рис. 1 Рис. 2

С помощью силовых линий можно характеризовать не только направление, но и величину напряженности электростатического поля, связывая ей с густотой силовых линий. Большей густоте силовых линий соответствует большая величина напряженности (рис. 1, 2). Количественно числу силовых линий, прони­зывающих единичную площадку, расположенную перпендикулярно силовым линиям, ставится в соответствие величина напряженности электростатического поля. В этом случае определенному заряду q, создающему поле, соответствует определенное число N силовых линий, выходящих (для ) из заряда или входящих (для ) в заряд, а именно: .

Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную площадку S характкризуется числом силовых линий, пронизывающих данную площадку S.

Если площадка S перпендикулярна силовым линиям (рис. 3), то поток Ф_Е вектора напряженности через данную площадку S : .

Рис. 3 Рис. 4

,

где α – угол между векторами напряженности и нормали к площадке S.

Для того, чтобы найти поток Ф_Е вектора напряженности через произвольную поверхность S, необходиморазбить эту поверхность на элементарные площадки dS (рис. 5),определить элементарный поток dФ_Е через каждую площадку dS по формуле:

,

а затем все эти элементарные потоки dФ_Е сложить, что приводит к интегрированию:

,

где α – угол между векторами напряженности и нормали к данной элементарной площадке dS .

.

Теорема Остроградского - Гаусса для электростатического поля.

Теорема Остроградского - Гаусса для электростатического поля связывает между собой величину потока Ф_Е вектора напряженности электростатического поля в вакууме через произвольную замкнутую поверхность S с величинойзаряда q, заключенного внутри данной замкнутой поверхности S (рис. 6).

.

Это соотношение есть теорема Остроградского-Гауссадля электростатического поля.

Таккак поток считается положитель­ным, если силовые линии выходят из поверхности S, и отрицательным для линий, входящих в поверхность S, то в случае, если внутри произвольной замкнутой поверхности S находится не один, а несколько (n) разноименных зарялов, то теорема Остроградского - Гаусса для электростатического поля формулируется следующим образом:

поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме через произ­вольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на e₀:

.

Тема 2. Работа сил электростатического поля. Потенциал

Если в электростатическом поле, создаваемом точечным зарядом q, перемещается другой пробный заряд q₀из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории (рис. 7), то при этом совершается работа сил электростатического поля.

Элементарная работа dA силы на элементарном перемещении равна: .

Из рисунка 7 видно, что .

Тогда ( ).

Работа А при перемещении заряда q₀ вдоль траектории от точки 1 до точки 2:

, то есть работа при перемещении заряда из точки 1 в

точку 2 в электростатическом поле не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной и конечной точек. Поэтому электростатическое полеточечного заряда является потенциальным.

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда q₀из точки 1 в точку 2, выражается следующим образом:

,

где φ₁ и φ₂ – потенциалы электростатического поля в точках 1 и 2.

Потенциал электростатического поля определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной С, то есть для поля точечного заряда q:

.

Тогда , .

Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом поле определяется работой, совершаемой силами электростатического поля, при перемещении пробного точечного заряда q₀из точки 1 в точку 2 :

.

Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля

Напряженность и потенциал φ электростатического поля связаны между собой следующим образом:

= – grad φ

или , где

– единичные векторы координатных осей Ох, Оy, Оz, соответственно.

Знак минус в приведенной формуле означает, что вектор напряженности электростатического поля направлен в сторону максимального убывания потенциала j .

Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля используютсяэквипотенциальные поверхности,то естьповерхности, во всех точках которых потенциал j имеет одно и то же значение.

Например, для поля, созданного точечным зарядом q, потенциал j определяется выражением: , а эквипотенциальными поверхностями являются кон­центрические сферы (рис. 8).

Из этого рисунка видно, что в случае точечного заряда силовые линии поля (штриховые линии на рисунке) нормальны (перпендикулярны) к эквипотенциальным поверхностям (сплошные линии на рисунке).

Это свойство нормального взаимного расположения силовых линий и эквипотенциальных поверхностей электростатического поля является общим для любых случаев электростатического поля.

Таким образом, зная расположение силовый линий электростатического поля, можно построить эквипотенциальные поверхности этого электростатического поля и, наоборот, по известному расположению эквипотенциальных поверхностей электростатического поля можно построить силовые линии электростатического поля.

Магнитное поле

Тема 3. Магнитное поле. Закон Био-Савара-Лапласа

Электрический ток создает поле, действующее на магнитную стрелку. Стрелка ориентируется по касательной к окружности, лежащей в плоскости, перпендикуляной к проводнику с током (рис. 9).

Основной характеристикой магнитного поля является вектор индукция . Принято, что вектор индукция магнитного поля направлен в сторону север-ного полюса магнитной стрелки, помещенной в данную точку поля (рис. 9).

По аналогии с электрическим полем, магнитное поле также может быть изображено графически с помощью силовых линий (линий индукции магнитного поля).

Силовая линия – это такая линия, касательная к которой в каждой точке совпадает по направлению с вектором индукции магнитного поля. Силовые линии магнитного поля, в отличие от силовых линий электростатического поля, являются замкнутыми и охватывают проводники с током. Направление силовых линий задается правилом правого винта (правилом буравчика): головка винта, ввинчиваемого по направлению тока, враща­ется в направлении линий Рис. 9

магнитной индукции (рис. 9).

Для нескольких источников магнитного поля согласно принципу суперпозиции магнитных полей индукция результирующего магнитного поля равна векторной сумме индукций всех отдельных магнитных полей:

.

Вектор индукции магнитного поля, создаваемого проводником с током , можно определить с помощью закона Био-Савара-Лапласа.При этомнеобходимо учесть то, что закон Био-Савара-Лапласапозволяет найти модуль и направление лишьвектора индукции магнитного поля, создаваемого элементом проводника с током . Поэтому для определения вектора индукции магнитного поля, создаваемого проводником с током , необходимо первоначально разбить этот проводник на элементы проводника , для каждого элемента с помощью закона Био-Савара-Лапласа найти вектор индукции , а затем, используя принцип суперпозиции магнитных полей, сложить векторно все найденные вектора индукции .

Закон Био-Савара-Лапласав векторной форме:

,

где – индукция магнитного поля в точке M, заданной радиусом-вектором , проведенным от начала вектора до этой точки (рис. 10);

– векторное произведение векторов и ;

– магнитная постоянная,

– магнитная проницаемость среды.

Направление вектора перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и , (рис. 10), и совпадает с касательной к силовой линии магнитного поля. Это направление может быть найдено по правилу правого винта: направление враще­ния головки винта дает направление вектора , если поступательное движение винта соответ­ствует направлению тока в элементе проводника.

В скалярном виде закон Био-Савара-Лапласа:

,

где – угол между векторами и .

Магнитное поле линейного тока.Для нахождения величины индукции магнитного поля, созданного прямым проводником с током бесконечной длины (рис. 11), необходимо разбить весь проводник на элементы , для каждого элемента проводника с током I найти вектор индукции , а затем векторно сложить все найденные .

В произвольной точке М, удаленной от оси проводника на расстояние b, векторы от всех элементов тока имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («к нам»). Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей, в результате чего получено следующее выражение для модуля вектора в точке М:

.