Уравнения плоского движения твердого тела

В декартовой системе координат:

Пусть под действием системы внешних сил тело совершает плоское движение

Из кинематики известно, что плоское движение твердого тела можно рассматривать как поступательное движение полюса (например, центра масс тела) и вращение тела вокруг него.

Поступательная часть движения определяется теоремой о движении центра масс системы:

, причем

Вращательное движение тела вокруг центра масс определяется уравнением вращательного движения:

, причем .

Спроецировав эти векторные уравнения на оси декартовых координат, получим три дифференциальных уравнения плоского движения тела:

;

;

В естественных координатах:

Принцип Даламбера

На принципе Даламбера основан метод кинетостатики, с помощью которого уравнениям движения по форме придается вид уравнений статики.

15.1.1 Принцип Даламбера для материальной точки: Если в любой момент времени к действующим на точку активным силам и реакциям связей присоединить силу инерции, то полученная система сил будет уравновешенной.

.

В проекциях на оси декартовых координат:

;

;

.

В естественных координатах силу инерции раскладывают на нормальную и касательную составляющие:

,

где

15.1.2 Принцип Даламбера для несвободной механической системы: В любой момент времени для всякой несвободной механической системы геометрическая сумма внешних сил, реакций связей и сил инерции равна нулю. Такая система является уравновешенной и к ней можно применить уравнения равновесия статики.

;

,

где - главный вектор сил инерции;

- главный момент сил инерции.

По теореме о движении центра масс главный вектор сил инерции равен:

.

Главный вектор сил инерции механической системы равен произведению массы системы на ускорение центра масс системы и направлен противоположно этому ускорению.

Главный момент сил инерции равен:

;

Главный момент сил инерции механической системы относительно некоторого центра О или оси Z равен взятой со знаком «-» производной по времени от кинетического момента относительно того же центра или той же оси.