Система отсчета. Траектория, длина пути, вектор перемещения
Механика для описания движения тел в зависимости от условий конкретных задач использует разные физические модели. Простейшей моделью является материальная точка - тело, обладающее массой, размерами которого в данной задаче можно пренебречь. Понятие материальной точки - абстрактное, но его введение облегчает решение практических задач. Например, изучая движение планет по орбитам вокруг Солнца, можно принять их за материальные точки.
Произвольное макроскопическое тело или систему тел можно мысленно разбить на малые взаимодействующие между собой части, каждая из которых рассматривается как материальная точка. Тогда изучение движения произвольной системы тел сводится к изучению системы материальных точек. В механике сначала изучают движение одной материальной точки, а затем переходят к изучению движения системы материальных точек.
Под воздействием тел друг на друга тела могут деформироваться, т. е. изменять свою форму и размеры. Поэтому в механике вводится еще одна модель - абсолютно твердое тело. Абсолютно твердым телом называется тело, которое ни при каких условиях не может деформироваться и при всех условиях расстояние между двумя точками (или точнее между двумя частицами) этого тела остается постоянным.
Любое движение твердого тела можно представить как комбинацию поступательного и вращательного движений. Поступательное движение - это движение, при котором любая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллельной своему первоначальному положению. Вращательное движение - это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.
Движение тел происходит в пространстве и во времени. Поэтому для описания движения материальной точки надо знать, в каких местах пространства эта точка находилась и в какие моменты времени она проходила то или иное положение. В системе СИ время измеряется в секундах [t] = c.
Положение материальной точки определяется по отношению к какому-либо другому, произвольно выбранному телу, называемому телом отсчета. С ним связывается система отсчета- совокупность системы координат и часов, связанных с телом отсчета. В декартовой системе координат, используемой наиболее часто, положение точки А в данный момент времени по отношению к этой системе характеризуется тремя координатами х, у и z или радиусом-вектором , проведенным из начала системы координат в данную точку (рис. 1.1).
При движении материальной точки ее координаты с течением времени изменяются. В общем случае ее движение определяется скалярными уравнениями
x = x(t),
y = y(t),(1.1)
z = z(t),
эквивалентными векторному уравнению
(t). (1.2)
Уравнения (1.1) (соответственно (1.2)) называются кинематическими уравнениями движения материальной точки.
Число независимых координат, полностью определяющих положение точки в пространстве, называется числом степеней свободы. Если материальная точка свободно движется в пространстве, то, как уже было сказано, она обладает тремя степенями свободы (координаты х, у и z); если она движется по некоторой поверхности, то - двумя степенями свободы, если вдоль некоторой линии, то - одной степенью свободы.
Исключая t в уравнениях (1.1) и (1.2), получим уравнение траектории движения материальной точки. Траектория движения материальной точки - линия, описываемая этой точкой в пространстве. В зависимости от формы траектории движение может быть прямолиней ным или криволинейным.
Рассмотрим движение материальной точки вдоль произвольной траектории (рис.1.2). Отсчет времени начнем с момента, когда точка находилась в положении А. Длина участка траектории АВ, пройденного материальной точкой с момента начала отсчета времени, называется длиной пути Δs и является скалярной функцией времени в Δs = Δs(t). Размерность пути в СИ- метр (м). Вектор , проведенный из начального положения движущейся точки в положение ее в данный момент времени (приращение радиуса-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени), называется перемещением.
При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и модуль перемещения равен пройденному пути Δs.
Скорость
Для характеристики движения материальной точки вводится векторная величина - скорость, которой определяется как быстрота движения, так и его направление в данный момент времени.
Пусть материальная точка движется по какой-либо криволинейной траектории так, что в момент времени t ей соответствует радиус-вектор (рис. 1.3). В течение малого промежутка времени Δt точка пройдет путь Δs и получит элементарное (бесконечно малое) перемещение .
Вектором средней скорости называется отношение приращения радиуса-вектора точки к промежутку времени Δt:
= . (1.3)
Направление вектора средней скорости совпадает с направлением . При неограниченном уменьшении средняя скорость стремится к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью :
= .
Мгновенная скорость , таким образом, есть векторная величина, равная первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени. Размерность скорости в СМ - метр в секунду (м/с). Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения (рис. 1.3). По мере уменьшения путь Δs все больше будет приближаться к , поэтому модуль мгновенной скорости
υ = . (1.4)
При неравномерном движении модуль мгновенной скорости с течением времени изменяется. В данном случае пользуются скалярной величиной - средней скоростью неравномерного движения:
Из рис. 1.3 вытекает, что > так как Δs > , и только в случае прямолинейного движения
Δs = .
Если выражение ds = υdt (см. формулу (1.4)) проинтегрировать по времени в пределах от t до t + Δt, то найдем длину пути, пройденного точкой за время Δt:
s = . (1.5)
В случае равномерного движения числовое значение мгновенной скорости постоянно; тогда выражение (1.5) примет вид
s = υΔt .
Длина пути, пройденного точкой за промежуток времени от t1до t2, дается интегралом
s = .
Дата добавления: 2016-01-29; просмотров: 1702;