Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью

Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью — это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени описывает одинаковые дуги.

Положение тела на окружности определяется радиусом-вектором r⃗ r→, проведенным из центра окружности. Модуль радиуса-вектора равен радиусу окружности R (рис. 1).

Рис. 1

За время Δt тело, двигаясь из точки А в точку В, совершает перемещение Δr⃗ Δr→, равное хорде АВ, и проходит путь, равный длине дуги l.

Радиус-вектор поворачивается на угол Δφ. Угол выражают в радианах.

Скорость υ⃗ υ→ движения тела по траектории (окружности) направлена по касательной к траектории. Она называется линейной скоростью. Модуль линейной скорости равен отношению длины дуги окружности l к промежутку времени Δt за который эта дуга пройдена:

υ=lΔt. υ=lΔt.

Скалярная физическая величина, численно равная отношению угла поворота радиуса-вектора к промежутку времени, за который этот поворот произошел, называетсяугловой скоростью:

ω=ΔφΔt. ω=ΔφΔt.

В СИ единицей угловой скорости является радиан в секунду (рад/с).

При равномерном движении по окружности угловая скорость и модуль линейной скорости — величины постоянные: ω = const; υ = const.

Положение тела можно определить, если известен модуль радиуса-вектора r⃗ r→ и угол φ, который он составляет с осью Ox (угловая координата). Если в начальный момент времени t₀ = 0 угловая координата равна φ₀, а в момент времени t она равна φ, то угол поворота Δφ радиуса-вектора за время Δt=t−t0=t Δt=t−t0=t равен Δφ=φ−φ0 Δφ=φ−φ0. Тогда из последней формулы можно получить кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности:

φ=φ0+ωt. φ=φ0+ωt.

Оно позволяет определить положение тела в любой момент времени t. Учитывая, что Δφ=lR Δφ=lR, получаем

ω=lRΔt=υR⇒ ω=lRΔt=υR⇒

υ=ωR υ=ωR — формула связи между линейной и угловой скоростью.

Промежуток времени Τ, в течение которого тело совершает один полный оборот, называется периодом вращения:

T=ΔtN, T=ΔtN,

где N — число оборотов, совершенных телом за время Δt.

За время Δt = Τ тело проходит путь l=2πR l=2πR. Следовательно,

υ=2πRT; ω=2πT. υ=2πRT; ω=2πT.

Величина ν, обратная периоду, показывающая, сколько оборотов совершает тело за единицу времени, называется частотой вращения:

ν=1T=NΔt. ν=1T=NΔt.

Следовательно,

υ=2πνR; ω=2πν.