Переходный процесс в электрической цепи, описываемой дифференциальным уравнением 2-го порядка.
Рассмотрим процесс включения электрической цепи, содержащей сопротивление, индуктивность и емкость.
Дифференциальное уравнение, связывающее ЭДС и ток в такой цепи имеет следующий вид:
или
.
Переходный ток ищем в виде суммы принужденной и свободной составляющих
, где
определяется исходя из характера e(t), а ищется в виде суммы экспонент
.
Таким образом
, где
р1 и р2 – корни характеристического уравнения, а А1 и А2 – постоянные интегрирования.
Характеристическое уравнение имеет вид:
или
.
Находим корни характеристического уравнения:
.
Введем обозначения
; , тогда
.
Для определения постоянных интегрирования необходимо знать характер e(t).
Пусть e(t)=E – const, т.е. рассматриваем включение цепи R, L, C к источнику постоянной ЭДС.
1) Определим . Т.к. цепь содержит емкость и включается к источнику постоянной ЭДС то .
2) Запишем переходный ток
.
3) Определим независимые начальные условия
4) По законам коммутации
5) При t=0 имеем:
.
6) Вычислим .
7) Таким образом, для определения постоянных интегрирования имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными.
8) Определим (зависимое начальное условие) по закону Кирхгофа.
. Т.к. , то
9) Определим А1 и А2.
10) Запишем переходной ток.
Проанализируем поведение переходного тока при различных соотношениях между корнями характеристического уравнения.
1) Корни вещественные и различные, т.е. р1≠р2.
р1>р2
Т.к. то в этом случае
, т.е. , .
Тогда:
Такой характер переходного тока называется апериодическим.
2) Корни вещественные и равные, т.е. .
; ; .
Подстановка корней р1=р2=р в выражение для переходного тока приводит к неопределенности вида .
Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, получаем:
К этому же выражению приходим, рассматривая общее решение однородного уравнения с кратными корнями:
.
Найдем А1 и А2.
, т.к. и .
Тогда .
Вычислим производную .
.
, но (определялось нами ранее).
Таким образом, .
Окончательно получаем:
.
Эта функция с одной стороны линейно возрастает с возрастанием t ,а с другой стороны убывает по экспоненциальному закону .
При малых значениях t возрастание по линейному закону имеет большее значение, чем убывание по экспоненциальному. При больших значениях t убывание по экспоненциальному закону становится преобладающим.
Таким образом, переходный ток с течением времени возрастает, достигает максимума, а затем убывает.
При этом процесс остается апериодическим.
3) Корни комплексно-сопряженные.
; ; .
Тогда .
, где - частота свободных колебаний, откуда .
Рассматривая корни в комплексной плоскости, устанавливаем, что они расположены в левой полуплоскости на дуге окружности с радиусом, равным .
Определим переходный ток в цепи:
, где
; .
После подстановки значений корней р1 и р2 получаем:
Учитывая, что , получаем:
.
Полученное выражение показывает, что в цепи возникают колебания с угловой частотой . Амплитуда этих колебаний, равная , убывает по экспоненциальному закону, т.е. рассматриваемые колебания являются затухающими.
Подведем некоторые итоги:
1) Если , то переходный процесс перестает быть апериодическим и имеет колебательный характер. Частота называется угловой частотой свободных или собственных колебаний в цепи R, L, C. - период этих колебаний.
2) Сопротивление , при котором характер переходного процесса все еще остается апериодическим, называется критическим сопротивлением.
3) О характере переходного процесса можно судить по корням характеристического уравнения или по их расположению на комплексной плоскости.
4) Если корни характеристического уравнения отрицательные, вещественные и различные (располагаются на вещественной оси в левой полуплоскости), то переходный процесс имеет апериодический характер.
5) Если корни характеристического уравнения отрицательные, вещественные и равные (располагаются в одной и той же точке вещественной оси в левой полуплоскости), то переходный процесс еще сохраняет апериодический характер.
6) Если корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные (располагаются в левой полуплоскости на полуокружности с радиусом ), характер переходного процесса – затухающие колебания. Колебания в цепи возникают вследствие периодического преобразования энергии электрического поля в энергию магнитного поля и обратно, причем эти колебания сопровождаются потерей в сопротивлении.
Величина называется коэффициентом затухания. При времени амплитуда колебаний в «е» раз меньше начального значения. Следовательно, - является постоянной времени цепи R, L, C.
Чем меньше по сравнению с , тем медленнее затухают колебания и тем больше частота приближается к резонансной частоте .
В пределе, при . Колебания не затухают, а корни характеристического уравнения становятся чисто мнимыми и располагаются на мнимой оси комплексной плоскости.
О быстроте затухания колебательного процесса судят по величине , где t=TCB. Величина называется декрементом колебания (от лат. decrementum – затухание, уменьшение).
Натуральный логарифм этой величины называется логарифмическим декрементом колебания, т.е. .
Декремент колебания можно определить по графику переходного процесса, как отношение двух амплитуд колебания, отстоящих одна от другой на период свободных колебаний.
; .
Дата добавления: 2016-01-26; просмотров: 841;