Переходный процесс в электрических цепях, описываемых дифференциальными уравнениями первого порядка.

Рассмотрим переходный процесс в электрической цепи, содержащей последовательно соединенные индуктивность и активное сопротивление, подключаемые к источнику ЭДС e(t).

Введем следующие обозначения в электрических схемах.

- В момент t=0 ключ замыкается

- В момент t=0 ключ размыкается

а) Рассмотрим схему включения цепи R,L к источнику ЭДС.

Т.к. последовательно включенные элементы R и L могут быть схемой замещения катушки, то часто эту схему называют “включение катушки к источнику ЭДС.”

Расчёт проводим в следующей последовательности :

1) Определим независимые начальные условия. Т.к. цепь содержит только одну индуктивность, то определим ток через индуктивность в докоммутационной схеме.

i(0_-)=0 [А]

2) Начертим послекоммутационую схему и составим дифференциальное уравнение этой цепи.

Т.к. токи и напряжения рассматриваются при расчетах переходных процессов, как функции времени, то при дальнейших вычислениях символ “t” опустим, т.е. i(t)=i; u(t)=u; e(t)=e .

3) Записываем решение этого уравнения в виде суммы принужденной и свободной составляющих.

i= i_пр+ i_св.

4) Для определения i_пр необходимо знать, как задана ЭДС е. Пусть е = Е= const. Тогда

5) Для определения свободной составляющей тока i_св рассмотрим однородное дифференциальное уравнение .

6) Решим это уравнение.

Характеристическое уравнение

- имеет один корень

Тогда свободная составляющая пишется в виде:

7) Записываем выражение для переходного тока:

8) Определим постоянную интегрирования А.

При t=0₊ имеем:

9) На основании первого закона коммутации получаем:

;

Таким образом i(0₊)=0.

10) Вычисляем постоянную интегрирования:

11) Записываем значения переходного тока, как результат решения дифференциального уравнения.

Из курса математического анализа известно, что если функция y=f(t), то подкасательная равна В данном случае при любом значении t величина

Эта величина обозначается и называется постоянной времени цепи (измеряется в секундах ).

при величина свободной составляющей тока убывает в “e”раз. Таким образом, постоянная времени определяется как промежуток времени, по прошествии которого рассматриваемая величина изменяется в “е” раз.

Построим график переходного процесса.

Выражение показывает, что постоянная времени графически определяется длинной подкасательной к графику при любом значении t.

Можно определить постоянную времени так. При

, следовательно, время, за которое ток достигает 63,2% от установившегося значения будет равно постоянной времени.

Как было отмечено ранее, переходный процесс длится теоретически бесконечно большое время.

Практически время переходного процесса определяется промежутком от 3 до 5 значений постоянной времени, т.е. .

ЭДС самоиндукции

. Т.е. при включении цепи R,L в момент включения возникает ЭДС самоиндукции, полностью компенсирующая ЭДС источника. Поэтому, При уменьшении по экспоненциальному закону, по такому же закону изменяется ток . При ток достигает установившегося значения, равного (В полном соответствии с законом Кирхгофа ).

Построим зависимость .

б) Короткое замыкание цепи R,L.

1). Определим независимые начальные условия. При до коммутации

2). Составим схему электрической цепи после коммутации.

В такой схеме ток существует только за счет энергии магнитного поля индуктивности.

Поэтому, когда вся энергия магнитного поля перейдет в тепловую на сопротивлении R, ток должен прекратиться. Следовательно, .

2). Запишем дифференциальное уравнение этой цепи.

Получим однородное уравнение.

3). Ищем ток в виде суммы принужденной и свободной составляющих .

4). Т.к. уравнение однородное ,то , что совпадает с выводами п.1. .

5). Характеристическое уравнение соответствует уравнению, написанному ранее , т.е. и имеет единственный корень

6). Решение для ищем в виде .

7). . При t=0 в соответствии с законом коммутации имеем:

8). Записываем зависимость переходного тока от времени: .

9). Строим график

Покажем, что энергия, переходящая в тепло, за время переходного процесса равна энергии магнитного поля индуктивности. Для этого вычислим интеграл: .

в) Включение цепи R,L к источнику синусоидальной ЭДС.

Пусть

Принужденный ток в этой цепи равен где .

Тогда

Такая запись возможна ,т.к. свободная составляющая не зависит от внешней ЭДС. И все, сказанное ранее о характеристическом уравнении и свободной составляющей, справедливо и для источника синусоидальной ЭДС.

Т.к. (до включения цепи ток в ней отсутствовал и учитывая, что имеем ,

Откуда постоянная интегрирования А равна (не зависит от времени).

Тогда переходный ток равен :

Изобразим график этой зависимости.

Сделаем некоторые выводы.

1) Начальное значение зависит от начальной фазы (т.е .угла ).

2) Наибольшее значение достигается, если .

3) Наибольшее значение переходного тока не превышает .

4) Свободный ток равен нулю ( т.е. в цепи сразу наступает установившийся режим, если

Рассмотрим переходный процесс в цепи, где последовательно включены сопротивления и емкость.

а) Включение такой цепи к источнику ЭДС .

Схема цепи:

Рассмотрим общий случай, когда конденсатор был заряжен до момента коммутации, т.е.

Рассуждения о переходящем процессе будут аналогичны сказанному выше.

1) Определяем независимые начальные условия.

2) Составляем послекоммутационную схему цепи и записываем дифференциальное уравнение для этой цепи.

Т.к. будем искать зависимость напряжения на емкости от времени , то перепишем дифференциальное уравнение.

3). Ищем в виде .

4). Т.к. определяется характером ЭДС, то рассмотрим случай, когда Тогда

5). Составим характеристическое уравнение

Оно имеет единственный корень

6). Свободную составляющую переходного напряжения ищем в виде

7). Записываем переходное напряжение

8). Рассматриваем значения напряжения при имеем:

.

9). Т.к. при (п.4), а по закону коммутации

, то .

10). Тогда

11). Окончательно получаем:

Т.к. при свободная составляющая напряжение уменьшается в «е» раз, - постоянная времени.

При нулевых начальных условиях и

Определим теперь переходный ток в цепи с емкостью.

Построим графики переходного напряжения и тока в цепи RC.

При нулевых начальных условиях

б) Короткое замыкание в цепи RC. ( разряд емкости на сопротивление ).

1) Определяем независимые начальные условия.

2) Записываем дифференциальное уравнение для послекоммутационной схемы.

3). Т.к. уравнение однородное , то ( По окончании переходного процесса конденсатор полностью разряжается ).

4). Тогда .

5). Характеристическое уравнение имеет единственный корень .

6) Определяем постоянную интегрирования.

следовательно .

7) Записываем уравнения переходного напряжения .

8) Записываем уравнения переходного тока.

9) Строим графики переходного напряжения и переходного тока

Покажем, что энергия рассеиваемая на сопротивлении R в течение всего переходного процесса равна энергии электрического поля емкости.

в) Включение цепи RC к источнику синусоидального напряжения.

Пусть .

Принужденный (установившийся) ток в такой цепи равен:

, где

; .

Ищем переходное напряжение на емкости U_C(t) в виде суммы принужденной и свободной составляющих, т.е.

.

.

.

, где .

Если начальное напряжение на емкости равно нулю (нулевые начальные условия), то в соответствии с 2-м законом коммутации

.

Тогда имеем:

и

.

Окончательно получаем закон изменения напряжения на емкости в виде:

Определим переходной ток:

.

.

Сделаем некоторые выводы:

1. Начальное значение U_CB зависит от начальной фазы ЭДС.

2. Если , то свободной составляющей напряжения на емкость не возникает и в цепи сразу без переходного процесса наступает принужденный установившийся режим.

3. Если , то значение принужденного тока достигает максимума.

4. Если , то начальное значение переходного напряжения будет наибольшим.