Общие сведения о напряженном состоянии в точке тела

Выше уже говорилось, что приложенные к твердому телу внешние силы создают в нем внутренние усилия. Последние принято характеризовать соответствующими интенсивностями, т. е. напряжениями. По своей природе напряжение это поверхностная нагрузка, возникающая на внутренних поверхностях соприкасания частей тела. Поэтому напряжение, как и интенсивность внешней поверхностной нагрузки выражается в единицах силы, отнесенной к единицы площади: Па= Н/м².

Пусть имеем твердое тело, нагруженное внешними силами (рис. 2.3.1). Как правило, внутренние усилия неравномерны по объему. Но нередко можно указать область, в которой внутренние усилия равномерны. Возьмем внутри такой области точку В и мысленно выделим вокруг нее малый кубик с ребрами единичной длины.

Рисунок 2.3.1

Свяжем с ребрами оси координат х, у, z (рис. 2.3.1, а). По граням кубика будут действовать усилия 1 * 1, 1 * 1, 1 * 1, где произведение двух единиц — это единичная площадь грани кубика, а , , — полные напряжения по граням с нормалями х, у, z. Обращаем внимание, что в данном случае усилия численно равны напряжениям.

Разложим каждое из усилий , , на нормальную σ и касательную τ составляющую. Последняя в общем случае не параллельна ни одной из осей. Поэтому дополнительно разложим каждую из них на направления, соответствующие осям координат. В итоге, на каждой из граней получим по три усилия, численно равные напряжениям (рис. 2.3.1, б):

σ_x , τ_xy , τ_xz

σ_y , τ_yx , τ_yz

σ_z , τ_zx , τ_zy

Индексы х, у и z у нормальных напряжений соответствуют осям, которые являются нормалями к соответствующим граням. По аналогии первый индекс в обозначении касательного напряжения указывает на направление нормали к рассматриваемой грани (адрес напряжения), второй индекс указывает на ось, в направлении которой действует данное касательное напряжение (значок вектора опускаем).

Растягивающие нормальные напряжения считаются положительными, сжимающие отрицательными. Знак касательного напряжения зависит не только от его направления, но и от направления внешней нормами к той площадке, по которой это касательное напряжение действует. Касательное напряжение считается положительным, если на площадке с нормалью, направленной в положительную сторону одной из осей, оно само действует по положительному направлению другой оси. Касательное напряжение считается отрицательным, если на площадке с нормалью, направленной в положительную сторону одной из осей, оно само действует по отрицательному направлению другой оси.Заметим, что если нормаль к площадке направлена в отрицательную сторону одной из осей, то касательное напряжение положительно, когда оно само действует в отрицательном направлении другой оси. На рис. 2.3.1, б приведен вариант, когда все напряжения (нормальные и касательные) являются положительными.

Из девяти компонентов напряженного состояния независимыми являются только шесть. Действительно, из равенства нулю суммы моментов вокруг оси z всех сил, действующих на единичный кубик, получается, что τ_xy= τ_yx.

Эта формула выражает существо закона парности касательных напряжений. Полностью закон выглядит так:

τ_xy= τ_yx, τ_xz= τ_zx , τ_yz= τ_zy (2.3.1)

Совокупность всех напряжений, действующих по всевозможным плоскостям, проходящим через точку В, представляет напряженное состояние в данной точке, а девять компонентов напряжений, преобразующихся в любой координатной системе при повороте осей по упомянутым формулам, образуют тензор.

Из формул тензорного преобразования вытекает, что в любом случае напряженного состояния в точке можно указать три взаимно перпендикулярные площадки, по которым отсутствуют касательные напряжения. Такие площадки называются главными, а соответствующие нормальные напряжения — главными нормальными напряжениями, которые обозначаются σ₁, σ₂, σ₃. Обычно принимается, что σ₁≥ σ₂≥ σ_3. Напряжение σ₁ является алгебраическим наибольшим, а σ₃ — наименьшим из всех возможных нормальных напряжений, действующих на площадках, проходящих через точку В.