Лекция 24. Формирование логической культуры

План

1. Содержание логической подготовки младших школьников Понятие логического мышления школьника

2. Формирование приемов логического мышления у младших школьников: сравнения, аналогии, анализа и синтеза, классификации, обобщения

3. Способы обоснования истинности суждений – наблюдение, эксперимент, доказательство

4. Способы решения логических задач при изучении начального курса математики

5. Взаимосвязь логического и алгоритмического мышления школьников

Содержание логической подготовки младших школьников Понятие логического мышления школьника

Изучая математику в школе необходимо усвоить определенную систему понятий, предложений и доказательств. Чтобы овладеть этой системой и затем успешно применять приобретенные знания и умения, обучая младших школьников и решая задачу их развития средствами математики, нужно сначала понять, каковы особенности математических понятий, как устроены их определения, предложения, выражающие свойства понятий, и доказательства. Такие знания нужны учителю начальных классов еще и потому, что он первым вводит детей в мир математических знаний, и от того, как грамотно и успешно он это делает, зависит и отношение ребенка к изучению математики в целом.

Изучение этого материала связано с овладением теоретико-множественным языком, который будет использоваться не только при рассмотрении логической структуры математических понятий, предложений и доказательств, но и при построении всего курса математики начальной школы.

Стойлова Л.П. к элементам логики относит следующие разделы математического знания:

1. Множества и операции над ними. 2. Математические понятия. 3. Математические предложения. 4. Математическое доказательство. 5. Текстовая задача и процесс ее решения. 6. Комбинаторные задачи и их решения. 7. Алгоритмы и их свойства.

Рассмотрим линию логико-математических понятий и отно­шений.

Содержание этой линии представляют сле­дующие вопросы:

- высказывание; примеры различных верных и неверных высказываний; числовые равенства и неравенства как выска­зывания; свойства числовых равенств;

- предикаты – предложения с переменными; уравнение и неравенство как предложения с переменными;

- логические связки «и», «или», «если…, то», «верно/неверно, что»;

- слова - основа логической формы предложений: «каждый», «любой», «один из», «все», «некоторые», «все, кроме»;

- отношения «больше», «меньше», «равно»; геометрические отношения параллельности и перпендикулярности; свойства отношений.

Уравне­ние и неравенство, которые обычно относят к алгебраическим понятиям, мы связываем с логико-математической линией. Де­ло в том, что на уравнение и неравенство мы учим учеников смотреть гораздо шире, чем это принято в начальной школе, где традиционно х в уравнении или неравенстве - это лишь неиз­вестное число, которое нужно найти с помощью вычислений. Поэтому сами эти понятия у младших школьников недостаточ­но отчетливо сформированы. Так, уравнением многие дети счи­тают такие записи, как 5 + 7 ==12, х + 3, х -1 < 6.

В соответствии с логико-математическим подходом уравнение и неравенст­во предстают перед учащимися как математические примеры предложений с переменной. Подставляя вместо переменной различные ее значения (числа), дети получают высказывания, определяют, при каких значениях получившееся высказывание верное, а при каких - неверное. При этом вводятся понятия «корень уравнения» и «решение неравенства».

В математической логике высказыванием называют утверждение, о котором можно точ­но сказать, какое оно: истинное или ложное (термины «истинное», «ложное» будут вво­диться в четвертом классе; третьеклассники пользуются терминами «верное» и «неверное» высказывание и вместо термина «утверждение» употребляют слово «предложение»). Итак, вы­сказывание - это предложение, о котором мож­но сказать, верное оно или неверное. Так, выска­зывание «Москва - столица России» - верное, а высказывание «В июне 31 день» - неверное.

В учебнике приводятся примеры предложений, не являю­щихся высказываниями. О них нельзя сказать, верные они или неверные. Высказываниями не являются любые вопроситель­ные и восклицательные предложения (например: «Который час?», «С Новым годом!»), поговорки (обычно образные выра­жения, не составляющие законченного высказывания) или та­кие предложения, истинность которых в данный момент нельзя проверить (например, «Сегодня будет дождь»). Важно, чтобы дети поняли, что не каждое предложе­ние является высказыванием.

Как сказано выше, примерами высказываний являются числовые равенства и неравенства. Так, 15 + 25 = 40 - верное числовое равенство, а 28 : 4 = 8 - неверное числовое равенст­во; числовое неравенство 135 > 70 верное, а числовое неравен­ство 20 • 8 < 100 неверное.

В третьем классе учащиеся знакомятся с простейшими свойствами числовых равенств и неравенств. Равенство (не­равенство) не нарушится, если к обеим его частям прибавить или из обеих его частей вычесть одно и то же число. Обе час­ти равенства или неравенства можно умножить или разде­лить на одно и то же натуральное число. На основе этих свойств можно легко решать некоторые виды уравнений. На­пример, уравнение 186 + х =35 + 186 легко решить, вычитая из обеих его частей число 186. Получится х =35. Корень ви­ден сразу: 35.

Теперь обратимся к предложениям, содержащим пере­менную.

О предложении, содержащем переменную, нельзя сказать, верно оно или неверно, пока не подставлено вместо переменной ее значение. Поэтому предложение с переменной высказы­ванием не является. Такое предложение в ма­тематической логике часто называют высказывательной формой (в третьем классе этот термин не используется).

Рассмотрим примеры. «Город Х находится в России». Если значением Х является Тула, то данное предложение становится верным высказыванием: «Город Тула находится в России». При другом значении Х предложение «Город Х нахо­дится в России» обращается в неверное высказывание. Так, если Х -Лондон, то высказывание «Город Лондон находится в России» неверное.

Формальное определение понятия «урав­нение» учащимся не дается, но они должны хорошо понимать, что уравнение - это, во-первых, равенство (т.е. в записи уравнения обязательно должен быть знак равенства =), во-вторых, в нем должна быть переменная; следовательно, уравнение - это равенство с переменной.

Введя термин «уравнение» и ознакомив детей с его смыс­лом, полезно предложить им прочитать записи: 3 + 4, 7 - х, 9+х=15, 24:3° 8, х+4, х=3, 10 - 7 ° 3, найти среди них уравнение и доказать, что это уравнение.

Рассматривая записи, дети найдут среди них ту, которая является уравнением:

9 + х = 15. Далее надо проверить два усло­вия: 1) является ли оно равенством, 2) есть ли в нем переменная.

В зависимости от числа, которое подставляется вместо буквы, получается вер­ное или неверное равенство. Так, если в уравнение 3 + х = 9 вместо х подставить, например, 5, то получится неверное ра­венство 3+5=9. Можно подставить и другие числа. Но толь­ко при х, равном 6, получается верное равенство 3+6=9. Число 6 называют корнем этого уравнения. Термин «корень» вводится в третьем классе и входит в активный словарь учащихся.

Линия логико-математических понятий и отно­шений, представленная в курсе математики В.Н.Рудницкой, автора учебников математики в дидактической системе «Школа ХХI века», реализована успешно.

В данной дидактической системе используется прием, который можно назвать опережающей многолинейностью. Важнейшее значение придается постоянному использованию сопоставления, сравнения, противопоставления связанных между собой понятий, действий, задач, выяснению сходства в рассматриваемых фактах.

Линия логико-математического понятий и отношений проходит через все четыре года обучения, связывая воедино все разделы программы, способствуя развитию логического мышления школьников.

2. Формирование приемов логического мышления у младших школьников: сравнения, аналогии, анализа и синтеза, классификации, обобщения

Изучение математики влияет на развитие мышления школьников как никакой другой предмет.

Мышление – это психический познавательный процесс отражения существенных связей и отношений предметов и явлений объективного мира. Формами мышления являются понятие, суждение, умозаключение, аналогия. Мыслительными операциями являются анализ и синтез, сравнение, абстрагирование, классификация, обобщение и конкретизация. Выделяют индукцию и дедукцию как способы мышления. По разным основаниям выделяют такие виды мышления: наглядно-действенное, наглядно-образное, словесно-логическое; практическое и теоретическое; репродуктивное (воспроизводящее) и продуктивное (творческое). Теоретическое мышление – мышление на основе теоретических рассуждений и умозаключений. Практическое мышление – мышление на основе суждений и умозаключений, основанных на решении практических задач. (Крысько, с.116).

Развивать мышление – это значит:

- выделять существенные свойства предметов и абстрагировать их от несущественных;

- находить главные связи и отношения вещей и явлений окружающего мира;

- доказывать истинность своих суждений и опровергать ложные умозаключения;

- излагать свои мысли определенно, непротиворечиво и обоснованно;

- осуществлять перенос операций и приемов мышления из одной области в другую;

- предвидеть развитие явлений;

- делать обоснованные выводы (Айсмонтас, с.56)

Развитие мышления школьника тесно связано с формированием приемов мышления (мыслительных операций) в процессе учебной деятельности. Приемы мышления (сравнение, анализ, синтез, аналогия, классификация, обобщение и др.) выступают одновременно как специфические методы научного исследования.

Сравнение – это сопоставление объектов познания с целью нахождения сходства (выделения общих свойств) и различия (выделения особенных свойств) между ними. Сравнение лежит в основе всех других мыслительных операций.

Аналогия – индуктивное умозаключение, когда на основе сходства двух объектов по каким-то одним параметрам делается вывод об их сходстве по другим параметрам. В общем случае схематично рассуждение по аналогии выглядит так:

Объект А обладает признаками а₁, а₂, а₃,…аn,b .

Объект В обладает признаками а₁, а₂, а₃,…аn

Вероятно (возможно) объект В обладает признаком b .

Анализ – это мысленное расчленение предмета познаний на части.

Синтез – мысленное соединение отдельных элементов в единое целое. В реальном мыслительном процессе анализ и синтез всегда выполняются совместно.

Абстракция – это мысленное выделение каких-либо существенных свойств и признаков объектов при одновременном отвлечении от всех других их свойств и признаков. В результате абстракции выделенное свойство или признак становится предметом мышления.

Классификация – прием распределения по группам, разрядам, классам (чего или кого-либо). При разбиении множества на классы необходимо выполнение следующих условий: 1) ни одно из подмножеств не пусто; 2) подмножества попарно не пересекаются; 3) объединение всех подмножеств составляет данное множество.

Обобщение рассматривают как мысленное выделение:

общих свойств в двух или нескольких объектах и объединение этих объектов на основе выделенной общности;

существенных свойств объекта в результате анализа их в виде общего понятия для целого класса объектов.

Конкретизация также выступает в двух формах:

как мысленный переход от общего к единичному, частному;

как восхождение от абстрактно-общего к частному, путем выявления различных свойств и признаков объекта.

Основными компонентами математического образования в школе являются: 1) усвоение учениками определенного объема математических знаний; 2) овладение учениками определенными математическими умениями и навыками; 3) развитие мышления учащихся.

Формирование математического мышления школьников предполагает целенаправленное развитие всех качеств, присущих естественнонаучному мышлению, комплекса мыслительных умений, лежащих в основе методов научного познания, в органическом единстве с формами проявления мышления, характеризующихся спецификой предмета математики.

Выделяют следующие признаки математического мышления:

доминирование логической схемы рассуждения;

лаконизм мышления: предельная скупость, строгость мысли и ее изложения;

четкая расчлененность хода рассуждения;

точность символики.

Основными признаками культуры математического мышления считаются:

- освоение учеником идеи доказательства;

- умение пользоваться определениями понятий (осознавать их логическую структуру, уметь выполнять действие подведения под понятие и выведение следствий);

- владение общими логическими методами доказательства: аналитическим, синтетическим, методом от противного, полной индукцией, математической индукцией;

- владение частными методами и приемами, характерными для той или иной темы.

Для полноценного формирования у учащихся логико-математических понятий процесс усвоения соответствующих знаний и умений должен управляться учителем:

- необходимо целенаправленно заниматься обучением наиболее употребительным приемам доказательства, применению определений понятий;

- формировать умение выполнять логическое действие «подведение под определение»;

- знакомить учащихся с высказываниями (рассматривать не только верные, но и неверные высказывания),

- с предикатами (предложениями с переменными), с логическими связками (и,, или, если.., то, не/верно, что), со словами «каждый», «любой», «один из», «все», «некоторый», «все кроме», составляющие основу логической формы предложения, используемой в логических выводах.

Значительная оставляющая линия логического развития – обучение младших школьников классификации по заданным основаниям и проверки правильности его выполнения.

Аблова В.С выделяет следующие типы заданий по формированию логической линии в курсе математики начальной школы:

знание точно смысла слов и связок : и, или, все, каждый, некоторые;

умение сравнивать;

умение узнавать предмет по данным признакам;

умение устанавливать отношения общего и частного;

умение распределять предметы по определенным признакам группы (группировка предметов);

умение получать умозаключение;

умение обосновывать умозаключение;

умение составлять алгоритм.

В процессе развития логического мышления при изучении математики в начальной школе целесообразно познакомить учащихся с составляющими действиями каждого приема (мыслительной операции). Например.

3 Способы обоснования истинности суждений – наблюдение, эксперимент, доказательство

Формирование у учащихся умения осуществлять дедуктивные рассуждения является обязательным условием их подготовки. Под дедуктивными рассуждениями понимаются умения рассуждать, доказывать, делать вывод.

Суждения бывают единичными, частными и общими. Примеры: «Число 4 – однозначное»; «прямоугольник АВСD не является квадратом», «выражение 2+3 принимает значение 5» - единичные суждения.

В частных суждениях что-то утверждается или отрицается относительно некоторой совокупности предметов из данного класса. Например, «случаи сложения 23+4, 23+30, 23+7 выполняются на основе свойства прибавления числа к сумме».

В общих суждениях что-то утверждается или отрицается относительно всех предметов данной совокупности. Например: «при перестановке слагаемых сумма не изменяется».

Предложения, выражающие суждения, могут быть различными по форме: утвердительными, отрицательными, условными: («если число оканчивается на 0 или 5, то оно делится на 5»).

Суть дедуктивных рассуждений сводится к тому, что на основе некоторого общего суждения о предметах данного класса и некоторого единичного суждения о данном объекте высказывается новое единичное суждение о том же объекте. Общее суждение принято называть общей посылкой, первое единичное суждение – частной посылкой, новое единичное суждение – заключением.

Особенность дедуктивных рассуждений в начальных классах заключается в том, что они применяются в неявном виде, т.е. общая и частные посылки в большинстве случаев опускается, ученики сразу приступают к действию, которое соответствует заключению.