Стандартные функции Matlab
Все операции в Matlab ориентированы прежде всего на работу с матрицами, но могут выть использованы при работе с векторами и скалярными переменными.
Элементарные функции Matlab. К ним относятся следующие функции:
Тригонометрические:
sin(x) sinh(x) asin(x) asinh(x)
cos(x) cosh(x) acos(x) acosh(x)
tan(x) tanh(x) atan(x) atan2(x,y) atanh(x)
cot(x) coth(x) acot(x) acoth(x)
Экспоненциальные:
exp(x) log(x) log10(x) log2(x) pow2(x) sqrt(x)
Функции комплексного аргумента:
abs(z) – модуль комплексного числа; angle(z) – аргумент;
complex(x, y) – формирование комплексного числа x+y*i;
conj(z) – возвращает комплексно-сопряженное (по отношению к z) число;
real(z) – возвращает действительную часть; imag(z) – мнимую часть.
Функции округления и нецелочисленного деления:
fix(x) – округление в сторону к нулю, floor(x) – к –¥, ceil(x) – к +¥,
round(x) – до ближайшего целого;
mod(x, y) – остаток от деления x/y с учетом знака,
rem(x, y) – то же, без учета знака;
sign(x) – знак числа (+1/–1).
Элементарные функции, как и всякие другие, имеют один результат (массив). Элементарные функции могут быть использованы с одинаковым синтаксисом как для чисел, так и для массивов.
Пример 1. Разный тип параметров
» x=-8; X=[5 -1 -2]; A=[1 2 -3; -5 6 7]; z=3-4i;
» abs(x)
ans =
» abs(X)
ans =
5 1 2
» abs(A)
ans =
1 2 3
5 6 7
» abs(z)
ans =
Арифметические операции
Различают матричные и поэлементные арифметические операции.
+ – уточнение знака (унарная), сложение;
– – изменение знака (унарная), вычитание;
Поскольку математический смысл операций матричного и поэлементного сложения и вычитания идентичен:
C = A ± B означает 
синтаксис матричных и поэлементных операций сложения и вычитания одинаков, в них используются одни и те же символы операций.
* – скалярное матричное умножение;
.* – поэлементное умножение;
^ – матричное возведение в степень;
.^ – поэлементное возведение в степень;
\ – матричное деление слева;
/ – матричное деление справа;
./ – поэлементное деление;
' – транспонирование (унарная);
.' – несопряженное транспонирование (унарная).
Все арифметические операции, за исключением указанных, являются бинарными.
В операциях +, –, .*, ./ и .^ либо оба операнда должны иметь одинаковую размерность, либо один из операндов должен быть скалярной величиной.
Например,
» A=[1 2 3; 4 5 6]; B=[7 8 9; 3 2 1];
» A+B
ans =
8 10 12
7 7 7
» B-A
ans =
6 6 6
-1 -3 -5
» A+2
ans =
3 4 5
6 7 8
» A.*B
ans =
7 16 27
12 10 6
» A.*2
ans =
2 4 6
8 10 12
» B./A
ans =
7.0000 4.0000 3.0000
0.7500 0.4000 0.1667
» B./10
ans =
0.7000 0.8000 0.9000
0.3000 0.2000 0.1000
» B.^A
ans =
7 64 729
81 32 1
» A.^2
ans =
1 4 9
16 25 36
Для операции * (матричное произведение) матрица-сомножитель2 должна иметь столько строк, сколько столбцов имеет матрица-сомножитель1:
Zm*n = Xm*k*Yk*n
 |
Поэтому
» A*B
??? Error using ==> *
Inner matrix dimensions must agree.
» A*B'
ans =
50 10
122 28
» A'*B
ans =
19 16 13
29 26 23
39 36 33
Операции транспонирования ' и .' для матриц с действительными коэффициентами абсолютно равнозначны:
» D=[1 2; 3 4; 5 6];
» D'
ans =
1 3 5
2 4 6
» D.'
ans =
1 3 5
2 4 6
Для комплексных чисел и матриц с комплексными коэффициентами операция ' дает транспонированную сопряженную матрицу, а операция .' – транспонированную несопряженную:
» x=2+3i;
» xt=x'
xt =
2.0000 - 3.0000i
» xtt=x.'
xtt =
2.0000 + 3.0000i
» Ac=[1+2i 1+3i 1+4i; 2+3i 2+4i 2+5i];
» Act=Ac'
Act =
1.0000 - 2.0000i 2.0000 - 3.0000i
1.0000 - 3.0000i 2.0000 - 4.0000i
1.0000 - 4.0000i 2.0000 - 5.0000i
» Actt=Ac.'
Actt =
1.0000 + 2.0000i 2.0000 + 3.0000i
1.0000 + 3.0000i 2.0000 + 4.0000i
1.0000 + 4.0000i 2.0000 + 5.0000i
Операция ^ (матричное возведение в степень) выполняется только для квадратных матриц, и означает умножение матрицы саму на себя заданное число раз (второй операнд обязательно скаляр):
» D=[1 2; 3 4];
» D^2
ans =
7 10
15 22
» D^(-8.58)
ans =
1.0e+003 *
-0.9100 - 3.5442i 0.4163 + 1.6212i
0.6244 + 2.4318i -0.2856 - 1.1124i
Операция
» D^(-1)
ans =
-2.0000 1.0000
1.5000 -0.5000
генерирует обратную матрицу D-1.
Операция X/Y эквивалентна X*Y-1, операция X\Y – операции X-1*Y.
Последняя операция широко используется при решении систем линейных уравнений вида
Действительно, представив систему уравнений в матричной форме:
или
A * X = B,
и умножив обе части последнего уравнения на A-1 слева, получим:
A-1 * A * X = A-1 * B,
откуда решение системы уравнений:
X = A-1 * B.
Пример. Решить систему уравнений
Решение сводится к набору в интерактивном режиме следующих команд:
» A=[1 2; 4 5]; B=[3; 6];
» X=A\B
X =
-1
Проверку вычисления корней можно выполнить следующим образом:
» A*X
ans =
Логические операции
& – логическое "и" (0&0 – 0, 1&0 – 0, 0&1 –1, 1&1 – 1);
| – логическое "или" (0|0 – 0, 1|0 – 1, 0|1 – 1, 1|1 – 1);
xor – логическое исключающее "или" (0xor0 – 0, 0xor1 – 1, 1xor0 – 1, 1xor1 – 0);
~ – логическое отрицание (~0 –1, ~1 – 0).
Если логические операции (а также логические функции) выполняются над действительными числами, то ложью считают число нуль, а истиной – все числа, не равные нулю.
Операции отношения (сравнения)
> – больше; >= – больше или равно; < – меньше; <= – меньше или равно;
= = – равно; ~= – не равно.
Результатом операций отношения является истина (1), если отношение верно, и ложь (0) – в противном случае.
При сравнении двух массивов одинакового размера результатом является массив того же размера, состоящий из нулей и единиц, как результатов поэлементных операций сравнения. Если же в этом случае один из операндов – скаляр, то каждый элемент массива поочередно сравнивается со скаляром.
» 2>1
ans =
» 1>=3
ans =
» A=[1 8 3; 6 2 5]; B=[4 3 1; 2 6 8];
» A>3
ans =
0 1 0
1 0 1
» A<B
ans =
1 0 0
0 1 1
Анализ размерности матриц
length(x) – возвращает длину вектора x;
size(A) – возвращает размеры матрицы A по каждому измерению.
» x=[2 5 8];
» A=[1 2 3; 4 5 6];
» nx=length(x)
nx =
» sx=size(x)
sx =
1 3
» [m,n]=size(A)
m =
n =
» m1=size(A,1)
m1 =
» n1=size(A,2)
n1 =
Дополнительно (не читать):
» m2=length(A)
m2 =
» m2=length(A')
m2 =
» B=[1 2; 3 4; 5 6; 7 8];
» lb=length(B)
lb =
Начиная с версии Matlab 5.0, для обращения к последнему элементу массива используется предопределенная переменная end:
» x(end)
ans =
» A(1,end)
ans =
» A(end,2)
ans =
Формирование специальных векторов и матриц
linspace(x0,xk) linspace(x0,xk,k)
– создают вектор-строку x, содержащий k элементов (по умолчанию k=100), равномерно распределенных на интервале [x0; xk]. Разница между двумя соседними элементами есть величина постоянная: x(i) – x(i-1) = hx = const. При этом шаг hx= 
.
logspace(d0,dk) logspace(d0,dk,k)
– создают вектор-строку xl, содержащий k элементов (по умолчанию k=50), равномерно распределенных вдоль логарифмической оси на интервале [10d0, 10dk]. Шаг по показателю степени hd= 
. Отношение двух соседних элементов есть величина постоянная 
=10hd.
» x=linspace(10,40,4)
x =
10 20 30 40
» xl=logspace(1,4,4)
xl =
10 100 1000 10000
» log10(xl)
ans =
1.0000 2.0000 3.0000 4.0000
zeros – матрица, состоящая из нулей; ones – матрица, состоящая из единиц;
rand – матрица, состоящая из случ. чисел с равномерным распределением;
randn – матрица, состоящая из случ. Чисел с нормальным распределением.
Формат обращения:
zeros(n) – формирует квадратную матрицу n´n, состоящую из нулей;
zeros(m, n) – формирует матрицу m´n, состоящую из нулей;
(zeros(1, n) – вектор-строка; zeros(m, 1) – вектор-столбец)
zeros(size(A)) – формирует матрицу, состоящую из нулей, той же размерности, что и матрица A.
Формат обращения к функциям ones, rand и randn аналогичный.
» Z=zeros(2)
Z =
0 0
0 0
» zeros(1,3)
ans =
0 0 0
» ones(size(Z))
ans =
1 1
1 1
Разницу между функциями rand и randn можно показать графически:
» xr=rand(1,100); xrs=sort(xr); bar(xrs)
» yr=randn(1,100); yrs=sort(yr); bar(yrs)
rand randn
eye(n) – формирует единичную диагональную матрицу n´n.
» A=eye(3)
A= 1 0 0
0 1 0
0 0 1
diag(B) (B – двухмерная матрица) – выделяет главную диагональ матрицы B и помещает ее в вектор-столбец;
diag(x) (x – вектор) – формирует диагональную матрицу, используя вектор x в качестве главной диагонали.
» A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
» v=diag(A)
v =
» Av=diag(v)
Av =
1 0 0
0 5 0
0 0 9
Манипуляции с матрицами
tril (A) – формирует треугольную матрицу как нижнюю часть от матрицы A;
triu(A) – формирует треугольную матрицу как верхнюю часть от матрицы А.
» A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
» tril(A)
ans =
1 0 0
4 5 0
7 8 9
» triu(A)
ans =
1 2 3
0 5 6
0 0 9
lu(A) – разложение Холецкого – заменяет квадратную матрицу A скалярным произведением двух треугольных матриц L и U методом Гаусса:
» A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
» [L,U]=lu(A)
L =
0.1429 1.0000 0
0.5714 0.5000 1.0000
1.0000 0 0
U =
7.0000 8.0000 9.0000
0 0.8571 1.7143
0 0 0.0000
» L*U
ans =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
inv(A) – возвращает матрицу A-1, обратную заданной квадратной матрице A;
det(A) – возвращает определитель квадратной матрицы A.
fliplr(A) – поворот матрицы A на 180° в горизонтальном направлении;
flipud(A) – поворот матрицы A на 180° в вертикальном направлении;
rot90(A) – поворот матрицы A на 90° против часовой стрелки;
rot90(A, k) – поворот матрицы A на k*90° против часовой стрелки (k – целое число).
» A=[1 2 3; 4 5 6]
A =
1 2 3 » rot90(A)
4 5 6 ans =
» fliplr(A) 3 6
ans = 2 5
3 2 1 1 4
6 5 4 » rot90(A,3)
» flipud(A) ans =
ans = 4 1
1 2 3 5 2
4 5 6 6 3
Манипуляции с векторами
cross(x, y) – векторное произведение векторов x и y в трехмерном пространстве;
cross(A, B, dim) – векторное произведение многомерных массивов A и B по размерности dim;
dot(x, y) – скалярное произведение векторов x и y;
dot(A, B, dim) – скал. произведение многомерных массивов A и B по размерности dim.
Длины векторов x и y, а также длина матриц A и B по размерности dim должны быть равны 3.
Базовые операции анализа
Пусть a,b,c – числа, х,у,z – векторы, А,В,C – матрицы.
c=max(a, b) – возвращает максимальное из двух чисел a и b (при комплексных аргументах по умолчанию сравниваются модули):
z=max(x, y) – вектор той же размерности, что x и y, составленный из максимальных элементов векторов;
C=max(A, B) – матрица той же размерности, что и , составленная из максимальных элементов матриц.
xmax=max(x) – максимальный элемент вектора x;
[xmax, imax]=max(x) – дополнительно записывает адрес максимального элемента в числовую переменную imax (если максимальных элементов несколько, возвращается адрес первого из них);
amax=max(A) – возвращает вектор-строку amax из максимальных элементов столбцов матрицы А;
[amax, imax]=max(A) – дополнительно формируется вектор-строка imax, составленный из номеров строк, в которых расположены максимальные элементы столбцов.
» a=1; b=2; x=[1 3 2]; y=[2 1 3]; A=[1 2 3; 4 5 6]; B=[3 2 1; 6 5 4];
» c=max(a,b)
c =
» z=max(x,y)
z =
2 3 3
» C=max(A,B)
C =
3 2 3
6 5 6
» xmax=max(x)
xmax =
» [xmax imax]=max(x)
xmax =
imax =
» amax=max(A)
amax =
4 5 6
» [amax imax]=max(A)
amax =
4 5 6
imax =
2 2 2
Работа с функцией min полностью аналогична.
xm=mean(x) – возвращает среднее арифметическое элементов вектора х;
Am=mean(A) – возвращает вектор-строку Am, составленный из средних арифметических элементов столбцов;
» xm=mean(x)
xm =
» Am=mean(A)
Am =
2.5000 3.5000 4.5000
xs=sum(x) – возвращает сумму элементов вектора х;
As=sum(A) – возвращает вектор-строку As, составленный из сумм элементов каждого столбца;
Ads=trace(A) – то же, что sum(diag(A)) – возвращает сумму элементов, расположенных на главной диагонали;
xp=prod(x) – возвращает произведение элементов вектора х;
prod(A) – возвращает вектор-строку Ар, составленный из произведений элементов каждого столбца;
cumsum(x) – кумулятивная сумма (сумма с накоплением) элементов вектора x;
cumprod(х) – кумулятивное произведение (с накоплением) элементов вектора х;
cumsum(A) – кумулятивная сумма элементов матрицы А;
cumprod(A) – кумулятивное произведение элементов матрицы А по столбцам.
» cumsum(x)
ans =
1 4 6
» cumprod(x)
ans =
1 3 6
» cumsum(A)
ans =
1 2 3
5 7 9
» cumprod(A)
ans =
1 2 3
4 10 18
norm(x) – возвращает норму вектора х, равную 
;
norm(x, p) – возвращает р-норму вектора х, равную 
;
norm(x, Inf) – то же, что max(abs(x)) norm(x,-Inf) – то же, что min(abs(x))
xs=sort(x) – сортировка вектора x по возрастанию;
[xs is]=sort(x) – дополнительно возвращает адреса элементов в исходном массиве х в порядке возрастания элементов;
xsd=fliplr(sort(x)) – сортировка вектора х по убыванию;
y=diff(x) – вычисляет конечные разности:
если 
, то 
у1 y2 уn-1
z=diff(x,k) – вычисляет k-ю конечную разность:
z=diff(x,2) 
rank(A) – возвращает ранг матрицы – количество линейно независимых строк (столбцов).
Дата добавления: 2016-01-09; просмотров: 3266;