Способах задания её движения
Траекторией точки называется геометрическое место последовательных положений этой точки в пространстве.
Существует три способа задания движения точки: векторный, координатный и естественный.
При векторном способе задания движения положение точки М определяется заданием радиуса-вектора , проведенного из некоторого заданного центра О (рис. 1):
Рис. 1 |
![](https://helpiks.org/helpiksorg/baza6/401011557181.files/image578.png)
Выражение (1.1) является законом движения при векторном способе. Скорость точки равна первой производной от радиус-вектора точки по времени
. (1.2)
Вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.
Ускорение точки равно первой производной от вектора скорости по времени или второй производной от радиус-вектора по времени
. (1.3)
Вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости траектории и направлен в сторону её вогнутости.
При координатном способе задания движения положение точки М в системе отсчёта Оxyz определяется тремя координатами x, y, z. При движении точки её координаты изменяются с течением времени, следовательно, они являются функциями от времени (рис. 2)
. (1.4)
y |
![](https://helpiks.org/helpiksorg/baza6/401011557181.files/image580.png)
. (1.5)
Рис. 2 |
x |
y |
![](https://helpiks.org/helpiksorg/baza6/401011557181.files/image580.png)
, (1.6)
и направляющие косинусы вектора
. (1.7)
Скорость точки измеряется в м/с.
Проекции ускорения на оси координат равны первым производным от соответствующих проекций скорости по времени или вторым производным от соответствующих координат точки по времени
. (1.8)
Вычислив проекции ускорения на оси координат, можно определить модуль и направление вектора ускорения точки:
(1.9)
(1.10)
Ускорение точки измеряется в м/с2.
При естественном способе задания движения точки известны (рис. 3):
1. Траектория точки АВ.
2. Начало отсчёта О с указанием положительного «+» и отрицательного «-» направлений отсчёта дуговой координаты .
3. Закон изменения дуговой координаты .
Выражение является законом движения при естественном способе задания движения точки.
Модуль скорости при естественном способе равен первой производной от дуговой координаты S по времени
. (1.11)
Рис. 3 |
![](https://helpiks.org/helpiksorg/baza6/401011557181.files/image600.png)
![](https://helpiks.org/helpiksorg/baza6/401011557181.files/image601.png)
![](https://helpiks.org/helpiksorg/baza6/401011557181.files/image602.png)
Вектор ускорения при естественном способе предстаёт как геометрическая сумма векторов касательного
и нормального
ускорений
. (1.12)
Касательное ускорение есть составляющая вектора ускорения, которая получается проектированием вектора
на касательную к траектории в точке
. Касательное ускорение
характеризует изменение модуля вектора скорости
во времени. Модуль касательного ускорения равен первой производной от скорости точки
по времени или второй производной от дуговой координаты
по времени
. (1.13)
Если , то вектор
направляется в сторону положительного отсчёта дуговой координаты S, если
, то – в противоположную сторону.
Нормальное ускорение есть составляющая вектора ускорения, которая получается путём проектирования вектора
на направление главной нормали траектории в точке
. Нормальное ускорение
характеризует изменение вектора скорости
по направлению. Модуль нормального ускорения равен
, (1.14)
где – радиус кривизны траектории в точке M.
Вектор нормального ускорения направлен всегда к центру кривизны траектории.
Учитывая, что ,модуль ускорения точки:
. (1.15)
Рассмотрим частные случаи движения точки:
1. Равномерное прямолинейное движение. В этом случае .
Тогда касательное ускорение
, так как
;
нормальное ускорение
,
так как радиус кривизны прямолинейной траектории . Значит, согласно выражению (1.15), ускорение точки
.
Учитывая, что ,
.
После интегрирования ,
получаем
. (1.16)
Выражение (1.16) является законом движения точки в рассматриваемом случае.
2. Равномерное криволинейное движение. В этом случае .
Тогда ;
.
Ускорение точки , т.е. по модулю и направлению совпадает с нормальным ускорением
. Закон движения точки по траектории в этом случае определяется выражением (1.16).
3. Равнопеременное прямолинейное движение. В этом случае (знак «+» соответствует ускоренному движению точки, знак «–» соответствует замедленному движению).
Учитывая, что ,
.
После интегрирования получается
, (1.17)
где – скорость при
. Выражение (1.17) определяет закон изменения скорости в этом случае.
В рассматриваемом случае нормальное ускорение
, так как
.
В этом случае ускорение точки , т.е. по модулю и направлению совпадает с касательным ускорением
. После повторного интегрирования (1.17) получается выражение, которое описывает закон движения в этом случае
. (1.18)
4. Равнопеременное криволинейное движение. В этом случае, в отличие от рассмотренного в п. 3, , ускорение
. Закон изменения скорости и закон движения точки определяется соответственно выражениями (1.17) и (1.18).
5. Общий случай движения. В этом случае . Тогда закон изменения скорости определяется выражением
. (1.19)
Закон движения точки
. (1.20)
Рассмотрим переход от координатного способа к естественному. Пустьдвижения точки заданы координатным способом, т.е. известны функции (1.4). Найдем закон движения . Дифференциал дуги равен
(1.21)
где ,
,
– дифференциалы координат точки:
,
,
.
Подставляем значения и интегрируем выражение (1.21)
.
Окончательно получаем
, (1.22)
где S0 – дуговая координата при .
Введём понятие о годографе скорости точки.
Точка , двигаясь по криволинейнойтраектории
(рис. 4), занимаетна ней последовательные положения
. Скорость точки в этих положениях равна соответственно
.
Рис.4 |
![](https://helpiks.org/helpiksorg/baza6/401011557181.files/image666.png)
![](https://helpiks.org/helpiksorg/baza6/401011557181.files/image667.png)
![](https://helpiks.org/helpiksorg/baza6/401011557181.files/image668.png)
![](https://helpiks.org/helpiksorg/baza6/401011557181.files/image669.png)
![](https://helpiks.org/helpiksorg/baza6/401011557181.files/image670.png)
Если точку , от которой откладываются скорости движущейся точки, совместить с началом отсчёта системы координат
, то уравнения
,
,
(1.23)
являются параметрическими уравнениями годографа скорости.
В главе «Кинематика точки» можно выделить два основных класса задач:
- определение уравнений движения точки, её траектории, а также скорости, ускорения и радиуса кривизны траектории в заданный момент времени;
- частные случаи движения точки.
Первый класс задач рассмотрим на следующем примере.
Рис.5 |
![](https://helpiks.org/helpiksorg/baza6/401011557181.files/image676.png)
![](https://helpiks.org/helpiksorg/baza6/401011557181.files/image677.png)
![](https://helpiks.org/helpiksorg/baza6/401011557181.files/image678.png)
![](https://helpiks.org/helpiksorg/baza6/401011557181.files/image679.png)
![](https://helpiks.org/helpiksorg/baza6/401011557181.files/image680.png)
![](https://helpiks.org/helpiksorg/baza6/401011557181.files/image669.png)
![](https://helpiks.org/helpiksorg/baza6/401011557181.files/image681.png)
![](https://helpiks.org/helpiksorg/baza6/401011557181.files/image682.png)
1. Найти уравнения движения в системе координат .
Для определения уравнений движения точки выбираем произвольное положение механизма (когда
и
)в системе отсчёта
и выражаем координаты точки
шатуна
,
,
где – выражены в метрах.
2. Определить траекторию точки, построить траекторию и указать положение точки на траектории при
с.
Для определения траектории точки необходимо из полученных уравнений движения
,
исключить параметр времени
. В рассматриваемом случае это можно сделать следующим образом. Перепишем уравнения движения
;
.
Возводя в квадрат эти выражения и складывая, получим уравнение траектории точки:
.
Рис.6 |
![](https://helpiks.org/helpiksorg/baza6/401011557181.files/image669.png)
Находим положение точки при
с. Для этого в полученные уравнения движения подставляем заданное время
,
.
Указываем точку на траектории.
3. Для момента времени с найти скорость точки и построить вектор скорости
.
Определяем проекции скорости точки на оси координат
,
.
При с
;
.
Скорость точки
Зная проекции скорости и
при
с, строим вектор
на рис. 6. Вектор
направлен по касательной к траектории в точке
.
4. Для момента времени с найти ускорение точки и построить вектор
на рисунке.
Определяем проекции ускорения точки на оси координат
,
.
При с
м/с²,
.
Ускорение точки .
Зная проекции ускорения и
, строим вектор ускорения
.
5. В момент времени с найти радиус кривизны траектории
, нормальное an и касательное aτ ускорения точки.
Радиус кривизны определяем из выражения для нормального ускорения , откуда
.
Нормальное ускорение
,
где касательное ускорение
.
При с
.
Находим нормальное ускорение
.
Тогда радиус кривизны траектории
.
Покажем на рис. 6 векторы касательного ускорения , спроектировав ускорение
на направление касательной, и нормального ускорения
, спроектировав
на направление нормали.
Методику решения задач на частные случаи движения точки рассмотрим на следующих двух примерах.
Пример 2. Точка начинает двигаться равноускоренно из состояния покоя по окружности радиусом R = 0,5 м и за первые 5 с проходит путь, равный 2 м. Определить закон движения точки по окружности, приняв за начало отсчёта начальное положение точки, а также её скорость и ускорение в конце 5 с.
Для решения задачи записываем выражения, по которым определяются скорость и закон движения точки при равноускоренном движении:
;
.
По условию данной задачи ,
.
Отсюда ,
.
При с
м. Тогда
.
Скорость точки при с равна
.
Находим нормальное ускорение точки
.
Ускорение точки при с равно
.
Пример 3. Точка движется так, что её касательное ускорение . Определить закон её движения, если при
,
и
.
Касательное ускорение , откуда
.
Интегрируем данное выражение
.
Отсюда (м/с).
С другой стороны, . Значит,
.
Интегрируя данное выражение, получаем:
.
Закон движения точки в данном примере (м).
Примечание. Дуговую координату (рис. 3) не следует путать с проходимым точкой расстоянием. Путь
за время
есть величина всегда положительная и равная сумме проходимых точкой отрезков за данный промежуток времени, в то время как координата
,характеризующая положение точки на траектории, может быть в данный момент времени и отрицательной. Это отличие видно из следующего примера.
Пример 4. Точка (рис. 7) движется по некоторой криволинейной траектории согласно закону
,
– в метрах,
– в секундах. Определить путь
, пройденный точкой за время
с.
Находим моменты времени остановки точки
.
Рис. 7 |
;
с;
с.
Находим положения точки на траектории в моменты времени
,
;
с,
;
с,
;
с,
.
Путь за время с равен сумме криволинейных отрезков
.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Как задаётся движение точки при векторном, координатном и естественном способах?
2. Что называется траекторией точки?
3. Как определяется скорость точки при векторном, координатном и естественном способах задания движения?
4. Как определяется ускорение точки при векторном, координатном и естественном способах задания движения?
5. Что называется годографом скорости точки?
Дата добавления: 2016-01-03; просмотров: 736;