Экспериментальная проверка закона Кулона.

Закон установлен Кулоном в 1785 г. посредством прямых измерений сил взаимодействия между заряженными телами, размеры которых много меньше расстояния между ними. При этом точность опытов была небольшая. Лишь из общих соображений, основанных на аналогии с силами тяготения, существовала уверенность в абсолютной правильности этого закона. Но закон Кулона входит в число основных экспериментальных фактов, на которых построено учение об электричестве. Проверка его справедливости и установление границ применимости являются важнейшими задачами, на решение которых значительные усилия экспериментаторов направлялись вплоть до сегодняшних дней.

Метод Кавендиша. Интересно, что Кавендиш открыл «закон Кулона» за 15 лет до Кулона значительно более оригинальным методом, но свои результаты не опубликовал. Идея Кавендиша состояла в том, чтобы проверить, остается ли электрическое поле внутри заряженной проводящей сферы. Со времен Ньютона было известно, что если силы взаимодействия обратно пропорциональны квадрату расстояния, то внутри сферического слоя поле должно равняться нулю. Поэтому отсутствие поля внутри заряженной сферы означало бы, что электростатические силы, как и гравитационные, обратно пропорциональны квадрату расстояния.

Опыт ставился следующим образом. На заряженный проводящий шар накладывались две проводящие полусферы, плотно пригнанные друг к другу. Затем полусферы убирались и с помощью обычного электроскопа измерялся остаточный потенциал шара, который оказался равным нулю в пределах точки эксперимента.

Для лучшего понимания метода Кавендиша решим такую вспомогательную задачу. Считая, что электрическое поле точечного заряда q, находящегося в начале координат, задается выражением

E→(r→) = qf(r)r→ r ,

где r→ – радиус-вектор точки наблюдения, выяснить, при какой функции f(r) электрическое поле внутри однородно заряженной сферы равно нулю.

Пусть R0 – радиус сферы, σ – поверхностная плотность зарядов. Через точку наблюдения P внутри сферы и центр сферы проведем ось z (рис. 26). Выделим на сфере кольцо, определяемое сферическим углом ν с шириной R0dν. Заряд этого кольца

dq = 2πR02 sinνdν ⋅ σ.

Нетрудно увидеть, что в точке P кольцо создает электрическое поле, имеющее только z — компоненту.

dEz = −dq ⋅ f(r)cosθ,

где r = r(ν) – расстояние от точек кольца до точки наблюдения P, θ – угол, показанный на рисунке.

Поле от всей сферы находится интегрированием по всем кольцам

Ez = −2πR02σ ∫ 0πf(r)sinνcosθdν.

В интеграле перейдем к новой переменной интегрирования r, воспользовавшись геометрическими соотношениями

r2 = R 02 + r 02 − 2R 0r0 cosν,(а)

r0 + rcosθ = R0 cosν.(б)

Из (а) имеем

sinνdν = rdr R0r0,(в)

и

R0 cosν = R02 + r02 − r2 2r0 ,

и из (б) получаем

cosθ = R0 cosν − r0 r ,

что с учетом предыдущего выражения дает

cosθ = R02 − r02 − r2 2r0r .(г)

С использованием соотношений (в), (г) выражение для Ez приобретает вид

Ez = −πR0 r02 σ ∫ R0−r0R0+r0 (R02 − r 02 − r2)f(r)dr.

Теперь вспомним – задача заключается в определении функции f(r), обеспечивающей выполнение условия Ez = 0. Следовательно, имеем интегральное уравнение

∫ R0−r0R0+r0 (R02 − r 02 − r2)f(r)dr = 0.

Пусть f(r) = Φ′(r). Тогда

∫ R0−r0R0+r0 = ∫ R0−r0R0+r0 (R02 − r 02 − r2)f(r)Φ′(r)dr

и интегрируя по частям, получим

∫ R0−r0R0+r0 = (R02−r 02−r2)Φ(r)∣ R0−r0R0+r0 +2∫ R0−r0R0+r0 Φ(r)rdr =

= [R02−r 02−(R 0+r0)2]Φ(R 0+r0)−[R02−r 02−(R 0−r0)2]Φ(R 0−r0)+2∫ R0−r0R0+r0 Φ(r)rdr =

= −2r0(R0+r0)Φ(R0+r0)−2r0(R0−r0)Φ(R0−r0)+2∫ R0−r0R0+r0 Φ(r)rdr = 0.

Интегральное уравнение перепишем, вводя обозначения R1 = R0 − r0, R2 = R0 + r0, откуда r0 = R2−R1 2 ; получим

∫ R1R2 Φ(r) ⋅ rdr = (R2 − R1) ⋅R1Φ(R1) + R2Φ(R2) 2 .(д)

Интеграл в левой части (д) можно заменить выражением [Φ(r) ⋅ r]ср ⋅ (R2 − R1), где нижний индекс означает взятие среднего значения функции на интервале [R1,R2]. В результате имеем

[Φ(r) ⋅ r]ср ⋅ (R2 − R1) = (R2 − R1) ⋅R1Φ(R1) + R2Φ(R2) 2 ,т.е.

[Φ(r) ⋅ r]ср = R1Φ(R1) + R2Φ(R2) 2 .

При любых R1,R2 среднее значение функции на интервале [R1,R2] равно полусумме крайних значений на интервале только в том случае, если эта функция линейная, т.е.

Φ(r) ⋅ r = κ0 + κ1r,Φ(r) = κ0 r + κ1.

Отсюда искомая функция

f(r) = Φ′(r) = −κ0 r2 ,κ0 = const.

Только при f(r) ∼ 1 r2 поле внутри равномерно заряженной сферы тождественно равно нулю.

Итак, если в опыте Кавендиша после снятия двух полусфер заряд шара точно равняется нулю, то из этого следует, что закон Кулона абсолютно точен. К сожалению, экспериментатор никогда не сможет сказать, что заряд точно равен нулю. Он может указать только, что заряд меньше некоторой малой величины и отсюда делают вывод о величине малой добавки ɛ в показателе, если закон Кулона представить в виде

E = q r2+ɛ.