Виды дисперсий в совокупности, разделенной на группы

Изучая вариацию по всей совокупности в целом, изучая дисперсию интересующего нас признака в пределах исследуемой совокупности и опираясь на общую среднюю в своих расчетах мы не можем определить влияние отдельных факторов, характеризующих колеблемость индивидуальных значений (вариант) признака.

Это можно сделать при помощи группировок, разделив изучаемую совокупность на группы, однородные по признаку-фактору. При этом можно определить три показателя колеблемости признака в совокупности: общую дисперсию, межгрупповую дисперсию и среднюю из внутригрупповых дисперсий.

Общая дисперсия характеризует вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших вариацию:

,

где – общая средняя для всей изучаемой совокупности;

n – численность изучаемой совокупности.

Межгрупповая дисперсияотражает систематическую вариацию изучаемого признака, которая возникает под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки:

,

где – частная средняя по j-ой группе;

n_j – число единиц в j-ой группе;

k - число групп.

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки:

,

где x_ij –значение i-го признака в j-ой группе.

Средняя из внутригрупповых дисперсийотражает вариацию значений признака под влиянием неучтенных факторов по совокупности в целом:

.

Правило сложения дисперсий

Общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:

.

Согласно этому правилу, общая дисперсия, возникающая под действием всех факторов, равна сумме дисперсий, появляющихся под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет группировочного признака. Зная любые два вида дисперсий, можно определить или проверить правильность расчета третьего вида.

Это правило сложения дисперсий имеет большую практическую значимость, т.к. позволяет выявить зависимость результата от определяющих факторов с помощью соотношения межгрупповой и общей дисперсии. Это соотношение называется коэффициентом детерминации:

.

Он показывает, какая доля в общей дисперсии приходится на дисперсию, обусловленную вариацией признака, положенного в основу группировки.

Корень квадратный из коэффициента детерминации называется эмпирическое корреляционное отношение:

,

.

Это отношение характеризует влияние признака, положенного в основание группировки, на вариацию результативного признака. Если η = 0, то группировочный признак не оказывает влияния на результативный. Если η = 1, то результативный признак изменяется только в зависимости от признака, положенного в основание группировки, а влияние прочих факторов равно нулю. Промежуточные значения оцениваются в зависимости от близости к предельным значениям.

Пример.

Имеются данные об объеме выполненных работ проектно-изыскательными организациями на предприятиях разных форм собственности (табл. 8.4). Определить общую дисперсию, внутригрупповые, среднюю из внутригрупповых, межгрупповую.

Таблица 8.4 – Распределение предприятий по объему выполнения проектно-изыскательных работ объема выполненных работ

Алгоритм решения следующий:

1) Определим средний объем выполненных работ на предприятиях двух форм собственности (общая средняя):

млн. руб.

2) Определим средние объемы выполненных работ по предприятиям каждой формы собственности (частные средние по группам):

млн. руб.; млн. руб.

3) Рассчитаем внутригрупповые дисперсии:

;

.

4) Рассчитаем среднюю из внутригрупповых дисперсий:

.

5) Рассчитаем межгрупповую дисперсию:

.

6) Рассчитаем общую дисперсию:

.

7) Найдем общую дисперсию по правилу сложения дисперсий:

.

8) Рассчитаем коэффициент детерминации:

или 88,9%

Коэффициент детерминации показывает, что дисперсия объема выполненных работ зависит от формы собственности предприятия на 88,9%. Остальные 11,1% определяются множеством других неучтенных факторов.

9) Определим эмпирическое корреляционное отношение:

.

Полученное значение позволяет утверждать, что существует тесная связь между формой собственности предприятия и объемом выполненных проектно-изыскательных работ.